Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Các đỉnh miền nghiệm: $A(5;4)$ (giao $2x+y=14$ và $2x+5y=30$), $B(10;2)$ (giao $2x+5y=30$ với $x=10$), $C(10;9)$, $D(2,5;9)$ (giao $2x+y=14$ với $y=9$). Vì $F(x;y)=x+3y$ tuyến tính nên max đạt tại đỉnh: $F(A)=17$, $F(B)=16$, $F(C)=37$, $F(D)=29,5$. Vậy $\max F=37$ tại $C(10;9)$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 5x-4y\le 10\\ 4x+5y\le 10\end{array}$. Miền nghiệm là phần chung của ba nửa mặt phẳng: bên phải (kể cả) trục tung $x=0$; phía dưới đường thẳng $d_1:5x-4y=10$ (vì $O(0;0)$ thỏa $0\le 10$); phía dưới đường thẳng $d_2:4x+5y=10$ (vì $O(0;0)$ thỏa $0\le 10$). Ba đường biên cắt nhau tại ba đỉnh: giao của $x=0$ và $d_1$ là $A\left(0;-\frac{5}{2}\right)$; giao của $x=0$ và $d_2$ là $B(0;2)$; giao của $d_1$ và $d_2$: giải hệ $\{\begin{array}{l}5x-4y=10\\ 4x+5y=10\end{array}$, nhân phương trình thứ nhất với 5 và thứ hai với 4 rồi cộng: $25x-20y+16x+20y=50+40\Rightarrow 41x=90\Rightarrow x=\frac{90}{41}$, suy ra $y=\frac{5x-10}{4}=\frac{\frac{450}{41}-10}{4}=\frac{50}{41\cdot 4}=\frac{10}{41}$, tức $C\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$. Vậy miền nghiệm là miền tam giác với ba đỉnh $A\left(0;-\frac{5}{2}\right)$, $B(0;2)$, $C\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn C (mã đề 0102).

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm gồm ba đường biên: $x=0$ (do $x\ge 0$), đường thẳng $5x-4y=10$ và đường thẳng $4x+5y=10$. Các giao điểm: $x=0$ với $5x-4y=10$ cho $(0;-\frac{5}{2})$; $x=0$ với $4x+5y=10$ cho $(0;2)$; giao của hai đường thẳng: nhân phương trình thứ nhất với 5 và thứ hai với 4 rồi cộng: $25x-20y+16x+20y=50+40\Rightarrow 41x=90\Rightarrow x=\frac{90}{41}$, suy ra $y=\frac{5x-10}{4}=\frac{10}{41}$. Vậy miền nghiệm là tam giác với ba đỉnh $(0;-\frac{5}{2})$, $(0;2)$, $\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$. Kết quả khớp đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên trong hình đi qua hai điểm $(0;4)$ và $(4;0)$, nên có phương trình $\frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1$, tức $x+y=4$. Miền không bị gạch nằm phía dưới (gốc $O$ với $x+y=0\le 4$ thuộc miền này), nên bất phương trình là $x+y\le 4$. Kiểm tra các phương án khác: $x-y\ge 2$ có biên đi qua $(2;0),(0;-2)$; $x-4y\ge 4$ có biên đi qua $(4;0),(0;-1)$; $x+y\ge 2$ có biên đi qua $(2;0),(0;2)$ — đều không khớp hình vẽ. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 0101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thử lần lượt các điểm vào hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x-y+2>0\\ 2x+y>3\end{array}$:
- Điểm $(1;1)$: $x-y+2=2>0$ nhưng $2x+y=3$ không thỏa $>3$, loại.
- Điểm $(1;2)$: $x-y+2=1>0$ và $2x+y=4>3$, thỏa cả hai bất phương trình.
- Điểm $(2;-1)$: $x-y+2=5>0$ nhưng $2x+y=3$ không thỏa $>3$, loại.
- Điểm $(-1;2)$: $x-y+2=-1<0$, loại.
Vậy miền nghiệm chứa điểm $(1;2)$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thay x=3, y=2 vào bất phương trình: $2\cdot 3+(m-1)\cdot 2\le 24\iff 6+2m-2\le 24\iff 2m\le 20\iff m\le 10$. Vì $m$ nguyên thuộc đoạn $[0;20]$ nên $m\in \{0,1,2,\dots ,10\}$, có tất cả 11 giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 102: 11).

(AI giải đề cho tôi)
Hoa mua 10 quyển vở với giá 7000 đồng/quyển nên tốn $10\cdot 7000=70000$ đồng. Số tiền còn lại là $100000-70000=30000$ đồng. Gọi $x$ là số chiếc bút bi mua được, giá mỗi chiếc 5000 đồng, điều kiện không quá số tiền còn lại: $5000x\le 30000\iff x\le 6$. Vậy Hoa có thể mua tối đa 6 chiếc bút bi. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 102: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ (nét đứt) đi qua hai điểm $(0;-1)$ và $(2;0)$ nên có phương trình $y=\frac{x}{2}-1$, tức $x-2y=2$. Miền gạch chéo nằm phía dưới đường thẳng $d$ và không bao gồm $d$ (vì $d$ vẽ nét đứt). Thử điểm $O(0;0)$ thuộc miền gạch chéo: $x-2y=0-0=0<2$. Vậy miền gạch chéo là miền nghiệm của bất phương trình $x-2y<2$, tương ứng đáp án A. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ $O(0;0)$ vào từng hệ bất phương trình. Với đáp án A: $x+3y=0<0$ là sai, nên $O$ không thuộc miền nghiệm của hệ A. Với B: $0\ge 0$ đúng và $2\cdot 0+0-4=-4<0$ đúng, nên $O$ thuộc miền nghiệm. Với C: $0-6=-6<0$ đúng và $0+0+4=4>0$ đúng, nên $O$ thuộc miền nghiệm. Với D: $-6<0$ đúng và $4\ge 0$ đúng, nên $O$ thuộc miền nghiệm. Vậy hệ mà $O$ không thuộc miền nghiệm là hệ A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thay x=3, y=2 vào bất phương trình: $2\cdot 3+(m-1)\cdot 2\le 24\iff 6+2m-2\le 24\iff 2m+4\le 24\iff m\le 10$. Vì $m\in [0;20]$ và $m$ nguyên nên $m\in \{0;1;2;...;10\}$, có tất cả 11 giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn (11).

(AI giải đề cho tôi)
Hoa mua 10 quyển vở hết $10\times 7000=70000$ đồng. Số tiền còn lại là $100000-70000=30000$ đồng. Số bút bi tối đa là $\frac{30000}{5000}=6$ chiếc. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 101: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ (vẽ nét đứt) đi qua hai điểm $(0;-1)$ và $(2;0)$, nên phương trình của $d$ là $y=\frac{x}{2}-1$, tức $x-2y=2$. Miền gạch chéo nằm phía dưới đường thẳng $d$ và không bao gồm $d$ (vì $d$ là nét đứt). Thử điểm $(0;0)$ trong miền gạch chéo: $x-2y=0<2$, thỏa mãn. Vậy miền nghiệm là $x-2y<2$. Kiểm tra các phương án khác: $x-2y>1$ loại vì $(0;0)$ không thỏa; $2x-y<0$ loại vì $(0;0)$ không thỏa; $x-2y\le 3$ loại vì miền phải bao gồm cả đường biên $x-2y=3$, không phải $d$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thử lần lượt các điểm vào hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x-y+2>0\\ 2x+y>3\end{array}$. Điểm A $(-1;2)$: $x-y+2=-1-2+2=-1<0$ (loại). Điểm B $(2;-1)$: $x-y+2=2+1+2=5>0$ nhưng $2x+y=4-1=3\ngtr 3$ (loại). Điểm C $(1;2)$: $x-y+2=1-2+2=1>0$ và $2x+y=2+2=4>3$, thỏa cả hai bất phương trình. Điểm D $(1;1)$: $x-y+2=2>0$ nhưng $2x+y=3\ngtr 3$ (loại). Vậy miền nghiệm chứa điểm $(1;2)$, khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua các điểm $(-2;0)$ và $(0;-2)$ nên có phương trình $x+y=-2$. Miền không bị gạch nằm phía dưới trục $Ox$ (nên $y\le 0$) và nằm phía trên đường thẳng $x+y=-2$ (thử điểm $(0;0)$... thực tế thử điểm trong miền, ví dụ $(-1;-0,5)$: $x+y=-1,5\ge -2$ đúng). Vậy miền nghiệm là hệ $\{\begin{array}{l}y\le 0\\ x+y\ge -2\end{array}$. Kiểm tra: điểm $(0;-1)$ thuộc miền không gạch, thỏa $y\le 0$ và $0+(-1)=-1\ge -2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: cả ba bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn. b) Sai: thay (0;0) vào bất phương trình thứ ba: 0 - 0 + 2 = 2 ≤ 0 sai, nên (0;0) không phải nghiệm. c) Đúng: ba đường thẳng x+y=2, x-y=-2, x-2y=-2 cắt nhau tạo tam giác với các đỉnh (0;2), (2/3;4/3), (-2;0); các bất phương trình đều có dấu ≤, ≥ nên miền nghiệm là tam giác kể cả biên. d) Sai: F=3x+4y tại các đỉnh: F(0;2)=8, F(2/3;4/3)=22/3, F(-2;0)=-6. Giá trị nhỏ nhất là -6 đạt tại x=-2; y=0, không phải tại (0;2). Khớp đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ (1) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay x=0, y=0: bất phương trình thứ nhất 0≤0 đúng, thứ hai 2≥0 đúng, nhưng thứ ba 0-0+2=2≤0 sai. Vậy (0;0) không phải nghiệm của hệ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ba đường thẳng x+y=2, x-y=-2, x-2y=-2 tạo thành tam giác với các đỉnh (0;2), (2/3;4/3), (-2;0). Do các dấu ≤, ≥ (kể cả biên), miền nghiệm là miền tam giác gồm cả các cạnh.
d) (AI giải đề cho tôi)
F=3x+4y tại các đỉnh: F(0;2)=8, F(2/3;4/3)=22/3≈7,33, F(-2;0)=-6. Giá trị nhỏ nhất của F là -6, đạt được khi x=-2; y=0, không phải khi x=0; y=2.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số tiền là $12000x+8000y\le 200000$. Chia hai vế cho 4000 ta được $3x+2y\le 50$. Vậy $a=2$, $b=50$, suy ra $P=a+b=2+50=52$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 0102: 52).

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn bất phương trình: $x-2+2(y-1)>2x+4\iff x-2+2y-2>2x+4\iff 2y-x-8>0\iff y>\frac{x}{2}+4$. Thử từng điểm: $A(1;1)$: $1>4,5$ sai; $C(4;3)$: $3>6$ sai; $B(1;5)$: $5>4,5$ đúng; $D(0;4)$: $4>4$ sai (không thỏa dấu strict). Vậy miền nghiệm chứa điểm $B(1;5)$, tương ứng phương án C (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: cả ba bất phương trình đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. b) Sai: thay $(0;0)$ vào bất phương trình thứ ba: $0-0+2=2\le 0$ là sai, nên $(0;0)$ không phải nghiệm của hệ. c) Đúng: ba đường thẳng $x+y=2$, $x-y=-2$, $x-2y=-2$ cắt nhau tạo thành tam giác với ba đỉnh $(0;2)$, $(2/3;4/3)$, $(-2;0)$; do các bất phương trình đều có dấu '=' nên miền nghiệm là tam giác kín, bao gồm cả các cạnh. d) Sai: xét $F=3x+4y$ tại các đỉnh: $F(0;2)=8$; $F(2/3;4/3)=2+16/3=22/3\approx 7,33$; $F(-2;0)=-6$. Vậy giá trị nhỏ nhất $F=-6$ đạt tại $x=-2$; $y=0$, không phải tại $x=0$; $y=2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ (1) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(0;0)$ vào bất phương trình $x-2y+2\le 0$ ta được $2\le 0$, vô lí. Vậy $(0;0)$ không là nghiệm của hệ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ba đường thẳng $x+y=2$, $x-y=-2$, $x-2y=-2$ tạo thành tam giác với các đỉnh $(0;2)$, $(2/3;4/3)$, $(-2;0)$. Vì các bất phương trình đều không chặt nên miền nghiệm là tam giác kín, gồm cả các cạnh.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F=3x+4y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của miền tam giác: $F(0;2)=8$, $F(2/3;4/3)=22/3$, $F(-2;0)=-6$. Vậy $\min F=-6$ tại $x=-2$; $y=0$, không phải tại $x=0$; $y=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số tiền phải trả là $12000x+8000y\le 200000$. Chia hai vế cho $4000$ ta được $3x+2y\le 50$. Vậy $a=2$, $b=50$, suy ra $P=a+b=2+50=52$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, Câu 3: 52).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: cả ba bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn nên (I) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Sai: thay $(-1;2)$ vào $x\ge 0$ ta được $-1\ge 0$, vô lý, nên $(-1;2)$ không là nghiệm của hệ (I).
c) Đúng: thay $O(0;0)$ vào $2x+3y\le 6$ được $0\le 6$ đúng, nên nửa mặt phẳng bờ $d_1:2x+3y=6$ (kể cả $d_1$) chứa $O$ là miền nghiệm của $2x+3y\le 6$.
d) Đúng: miền nghiệm của hệ là phần chung của: nửa mặt phẳng $x\ge 0$ (bên phải trục $Oy$), nửa mặt phẳng dưới $d_1$ chứa $O$, và nửa mặt phẳng trên $d_2:2x-3y=1$ chứa $O$ (vì $0\le 1$ đúng). Ba đỉnh: giao $d_1$ với $Oy$ là $(0;2)$, giao $d_2$ với $Oy$ là $(0;-\frac{1}{3})$, giao $d_1$ và $d_2$: giải $2x+3y=6$, $2x-3y=1$ được $x=\frac{7}{4},y=\frac{5}{6}$. Đây đúng là miền tam giác (phần không bị gạch) như hình vẽ. Đối chiếu đáp án nguồn (Mã đề 1003, Phần II Câu 4, trang 9): a Đ, b S, c Đ, d Đ — khớp hoàn toàn với kết quả giải.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả ba bất phương trình đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên (I) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(-1;2)$ vào $x\ge 0$: $-1\ge 0$ sai, nên $(-1;2)$ không là nghiệm của hệ (I).
c) (AI giải đề cho tôi)
$O(0;0)$ thỏa $0\le 6$ nên nửa mặt phẳng bờ $d_1:2x+3y=6$ (kể cả $d_1$) chứa $O$ là miền nghiệm của $2x+3y\le 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là phần chung của $x\ge 0$, phía dưới $d_1$ chứa $O$, phía trên $d_2$ chứa $O$; tam giác với các đỉnh $(0;2)$, $(0;-\frac{1}{3})$, $(\frac{7}{4};\frac{5}{6})$, đúng như phần không bị gạch trong hình.