Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$. $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$ hoặc $x>-1$; $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<-1$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(-1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;-1)$. Cực đại tại $x=-3$ với $y_{CĐ}=y(-3)=\frac{-27}{3}+2\cdot 9-9-4=-9+18-9-4=-4$. Cực tiểu tại $x=-1$ với $y_{CT}=y(-1)=-\frac{1}{3}+2-3-4=-\frac{16}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=x^2+4x+3$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=-3$ hoặc $x=-1$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$ hoặc $x>-1$; $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<-1$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(-1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;-1)$. Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ với $y_{CĐ}=y(-3)=\frac{-27}{3}+2\cdot 9+3\cdot (-3)-4=-9+18-9-4=-4$, tức điểm cực đại $(-3;-4)$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ với $y_{CT}=y(-1)=\frac{-1}{3}+2-3-4=-\frac{16}{3}$, tức điểm cực tiểu $\left(-1;-\frac{16}{3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: điểm cực tiểu là $(1;1)$, điểm cực đại là $(3;5)$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$, đồng biến trên $(1;3)$.
a) Đúng: với $x\in (1;3)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm số đồng biến trên $(1;3)$.
b) Sai: giá trị cực đại là $f(3)=5$, không phải $3$.
c) Sai: trên $(3;+\infty )$ hàm số nghịch biến nên với $3<4<5$ ta có $f(4)>f(5)$, do đó khẳng định $f(4)<f(5)$ là sai.
d) Đúng: đường thẳng qua hai điểm cực trị $(1;1)$ và $(3;5)$ có hệ số góc $k=\frac{5-1}{3-1}=2$, phương trình $y=2(x-1)+1=2x-1$. Kết quả khớp đáp án mã đề 102 (Câu 2: Đ, S, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có cực tiểu tại $x=1$ và cực đại tại $x=3$, nên $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;3)$, hàm số đồng biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại của hàm số là $f(3)=5$ (theo đồ thị), không phải $3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(3;+\infty )$ hàm số nghịch biến nên $f(4)>f(5)$, do đó khẳng định $f(4)<f(5)$ sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(1;1)$ và $(3;5)$. Đường thẳng qua chúng có hệ số góc $k=\frac{5-1}{3-1}=2$, phương trình $y=2x-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu xảy ra khi $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$. Theo bảng: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi từ $-$ sang $+$ (cực tiểu); tại $x=-1$ đổi từ $+$ sang $-$ (cực đại); tại $x=1$ đổi từ $-$ sang $+$ (cực tiểu); tại $x=4$ đổi từ $+$ sang $-$ (cực đại). Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu, đáp án D. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=2$, $x=4$, $x=6$. Qua $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $f$ đạt cực tiểu tại $x=2$. Qua $x=4$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $f$ đạt cực đại tại $x=4$. Qua $x=6$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $f$ đạt cực tiểu tại $x=6$. Tại $x=3$ thì $f^{\prime }(3)\ne 0$ nên không phải điểm cực trị. Vậy phát biểu đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-2$ và $x=1$, nên hàm số đạt cực tiểu tại đúng 2 điểm này. Tại $x=-1$ và $x=4$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu, khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;4)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(4;6)$, $f^{\prime }(x)>0$ với $x>6$. Tại $x=4$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=4$. Tại $x=2$ và $x=6$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên là điểm cực tiểu; $x=3$ không phải điểm $f^{\prime }=0$. Đáp án D, trùng với đáp án ma đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(3;+\infty )$; hàm số đi từ $-\infty$ lên $f(0)=2$, xuống $f(3)=-5$, rồi lên $+\infty$.
a) Sai: vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to -\infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất là $-5$ (đây chỉ là giá trị cực tiểu).
b) Đúng: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=3$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$.
c) Sai: hàm số nghịch biến trên $(0;3)$, không đồng biến trên $(-\infty ;3)$.
d) Đúng: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ nên hàm đạt cực đại, giá trị cực đại $f(0)=2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to -\infty$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất là $-5$; $-5$ chỉ là giá trị cực tiểu.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=3$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên $(0;3)$ nên không đồng biến trên $(-\infty ;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x=0$ nên hàm đạt cực đại với giá trị $f(0)=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số không xác định tại $x=1$ và $x=4$ (giá trị tiến tới $-\infty$ nên đây là hai tiệm cận đứng, không phải điểm cực trị). Tại $x=2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=-2$. Vậy hàm số có đúng 1 cực trị, khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 17 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(x) đổi dấu + → − tại x=0 nên f đạt cực đại tại x=0 với giá trị cực đại f(0)=2; f'(x) đổi dấu − → + tại x=3 nên f đạt cực tiểu tại x=3 với giá trị cực tiểu f(3)=−5. a) Sai: hàm số tăng lên +∞ khi x→+∞ nên không có giá trị nhỏ nhất (−5 chỉ là giá trị cực tiểu). b) Đúng: f' đổi dấu từ âm sang dương tại x=3, hàm đạt cực tiểu tại x=3. c) Sai: hàm chỉ đồng biến trên (−∞;0) và (3;+∞), trên (0;3) hàm nghịch biến nên không đồng biến trên (−∞;3). d) Đúng: giá trị cực đại bằng f(0)=2. Đáp án đúng: b và d, khớp với đáp án nguồn (bd).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số tăng lên +∞ khi x→+∞ nên không có giá trị nhỏ nhất; −5 chỉ là giá trị cực tiểu tại x=3.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) đổi dấu từ − sang + khi qua x=3 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên (0;3) nên không thể đồng biến trên khoảng (−∞;3); hàm chỉ đồng biến trên (−∞;0) và (3;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) đổi dấu từ + sang − khi qua x=0 nên hàm đạt cực đại tại x=0 với giá trị cực đại f(0)=2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số không xác định tại $x=1$ và $x=4$ (tại đó $y\to -\infty$, đây là hai tiệm cận đứng), nên hai điểm này không phải cực trị. Tại $x=2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=2$ là điểm cực đại. Vậy hàm số có đúng 1 cực trị, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 19 = 1).

Đs: 10

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$: trên $(-\infty ;-2)$ dương, $(-2;0)$ âm, $(0;2)$ dương, $(2;4)$ âm, $(4;+\infty )$ dương. Điểm cực tiểu xảy ra khi $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương: tại $x=0$ (dù $f^{\prime }$ không xác định tại $x=0$, hàm liên tục nên vẫn có thể cực tiểu, dấu đổi từ $-$ sang $+$) và tại $x=4$ (đổi từ $-$ sang $+$). Tại $x=-2$ và $x=2$, $f^{\prime }$ đổi từ $+$ sang $-$ nên là cực đại. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(x)<0 trên (-∞;0) và (2;+∞), f'(x)>0 trên (0;2); hàm đạt cực tiểu tại x=0 với giá trị -4, cực đại tại x=2 với giá trị 0.
a) Sai: trên (0;2) hàm đồng biến (f'>0), nên hàm không nghịch biến trên toàn (0;+∞).
b) Sai: hàm bậc ba chỉ có 2 điểm cực trị (x=0 và x=2).
c) Đúng: giá trị cực đại 0, giá trị cực tiểu -4, tổng bằng -4.
d) Đúng: A(0;-4), B(2;0), O(0;0). OA=4 (trên trục Oy), OB=2 (trên Ox), tam giác OAB vuông tại O nên S = (1/2)·4·2 = 4.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0;2) có f'(x)>0 nên hàm đồng biến, không nghịch biến trên toàn khoảng (0;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm bậc ba có f' đổi dấu tại x=0 và x=2, tức chỉ có 2 điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại bằng 0 (tại x=2), giá trị cực tiểu bằng -4 (tại x=0), tổng bằng -4.
d) (AI giải đề cho tôi)
OA=4, OB=2, tam giác vuông tại O nên S = 1/2·4·2 = 4.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-3$ đạo hàm đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu), tại $x=-2$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại), tại $x=3$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu), tại $x=5$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại). Cả 4 điểm đều là điểm cực trị vì $f^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi điểm. Vậy hàm số có $4$ điểm cực trị, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ và hai nhánh. Trên nhánh phải, hàm số giảm rồi tăng, đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ $x=-1$ và tung độ $y=1$ (đường nét đứt chỉ giá trị $1$ trên trục $Oy$ ứng với điểm thấp nhất của nhánh phải). Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(-1;1)$. Các điểm $(-2;-3)$, $(-3;-7)$ chỉ là các điểm trên nhánh trái (nhánh trái đơn điệu, không có cực trị), và $(-7;-3)$ không phải điểm đặc biệt của đồ thị. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2(x^2-5x+6)=(x-1{)}^2(x-2)(x-3)$. $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1,2,3$. Xét dấu: $(x-1{)}^2\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }$ do $(x-2)(x-3)$ quyết định: $f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;2)$, $f^{\prime }<0$ trên $(2;3)$, $f^{\prime }>0$ trên $(3;+\infty )$. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải điểm cực trị. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=2$ là điểm cực đại; tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đáp án C (khớp với đáp án của đề mã 0119).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x+9}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+9)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+3x+1-x^2-x-9}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$. Hàm số có hai điểm cực trị khi $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$: $x^2+2x-8=0\iff x=2$ hoặc $x=-4$ (đều khác $-1$, thỏa mãn). Theo Vi-ét, $x_1{x}_2=\frac{-8}{1}=-8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;4)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(4;+\infty )$. Tại $x=-2$ và $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu không xảy ra (dấu giữ nguyên qua các điểm đó: + sang + và - sang -), nên không phải cực trị. Tại $x=-1$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ + thành - nên là điểm cực đại. Tại $x=4$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ - thành + nên là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(3-x{)}^3(x-2{)}^{2}x$ với các nghiệm $x=0,2,3$. Với $x<0$: $(3-x{)}^3>0,(x-2{)}^2>0,x<0$ nên $f^{\prime }<0$. Với $0<x<2$: $f^{\prime }>0$. Với $2<x<3$: $f^{\prime }>0$ (do $(x-2{)}^2>0$). Với $x>3$: $f^{\prime }<0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$ (cực tiểu), không đổi dấu tại $x=2$, đổi từ $+$ sang $-$ tại $x=3$ (cực đại). Hàm số có đúng 1 điểm cực tiểu, khớp đáp án B.