Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Theo bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, đồng biến trên $(0;2)$, cực tiểu tại $x=0$ với $y=1$, cực đại tại $x=2$ với $y=5$.
a) Sai (vì hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ nên $a<0$).
b) Đúng (cực đại tại $x=2$).
c) Đúng (vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to -\infty$ và $f(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, phương trình $2f(x)-e=0$ luôn có nghiệm âm).
d) Sai (hàm số nghịch biến trên $(2;+\infty )$, không đồng biến trên $(1;5)$).
(Nguồn lời giải trang 18 liệt kê các ý theo thứ tự: a) đồng biến trên $(1;5)$ - Sai; b) cực đại tại $x=2$ - Đúng; c) $a>0$ - Sai; d) phương trình $2f(x)-e=0$ luôn có một nghiệm âm - Đúng. Khớp với đáp án nguồn trang 13: SDDS.)
a) Sai.
b) Đúng.
c) Đúng.
d) Sai.

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff x(x-1)(x-2{)}^2=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}\right]$. Lập bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: trên các khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;1)$, $(1;2)$, $(2;+\infty )$ dấu của $f^{\prime }(x)$ lần lượt là $+$, $-$, $+$, $+$. Ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=0$ và $x=1$, do đó hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$ qua từng điểm: tại $x=-3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-3$ là điểm cực đại. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải cực trị. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đạt cực đại tại điểm $(0;1)$ và đạt cực tiểu tại điểm $(2;-3)$ (điểm thấp nhất của đồ thị, có hoành độ $x=2$ và tung độ $y=-3$ theo các đường chỉ dẫn trên hình). Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=1$. Tại $x=-3$ và $x=3$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu $f(\pm 3)=-1$. Vậy giá trị cực đại bằng $1$, chọn đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 201, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x^2(x-1)(x-2{)}^3$. Với $x<1$: $x^2>0$, $(x-1)<0$, $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$. Với $1<x<2$: $(x-1)>0$, $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$. Với $x>2$: cả ba nhân tử dương nên $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (không phải cực trị). Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, có $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -1$. Vì đạo hàm không đổi dấu (luôn âm) trên mỗi khoảng xác định và không tồn tại điểm nào $y^{\prime }=0$, hàm số không có điểm cực trị. Vậy hàm số có 0 điểm cực trị, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $y^{\prime }$: tại $x=-2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-2$ là điểm cực tiểu. Tại $x=0$, $y^{\prime }=0$ nhưng dấu của $y^{\prime }$ không đổi (vẫn $+$) nên $x=0$ không phải điểm cực trị. Tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=3$ là điểm cực đại. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đáp án C. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 002, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$; đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=1$ nên đạt cực tiểu tại $x=1$. a) Sai: hàm chỉ đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(0;1)$, nên không đồng biến trên $(-1;+\infty )$. b) Đúng như trên. c) Sai: hàm chỉ có hai điểm cực trị là $x=0$ và $x=1$. d) Đúng: trên $(-\infty ;0)$ hàm tăng từ $-2$ đến $0$ nên cắt ngang $y=-\frac{1}{2}$ tại một nghiệm; trên $(0;1)$ hàm giảm từ $0$ đến $-1$ nên có thêm một nghiệm; trên $(1;+\infty )$ hàm tăng từ $-1$ đến $+\infty$ nên có thêm một nghiệm. Vậy $f(x)=-\frac{1}{2}$ có ba nghiệm phân biệt. Kết quả a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng khớp với đáp án chính thức SDSD của mã đề 002.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(0;1)$ nên không đồng biến trên $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ qua $x=0$ (cực đại) và từ $-$ sang $+$ qua $x=1$ (cực tiểu).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ có hai điểm cực trị $x=0$ và $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;1)$, $(1;+\infty )$ giá trị $f(x)$ đều đi qua $-\frac{1}{2}$ nên phương trình có ba nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(0;1)$.
a) Sai: Trên $(-1;+\infty )$ hàm số không đồng biến hoàn toàn vì nghịch biến trên $(0;1)$.
b) Đúng: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$; đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ nên đạt cực tiểu tại $x=1$.
c) Sai: Hàm số chỉ có 2 điểm cực trị ($x=0$ và $x=1$).
d) Sai: Trên $(-\infty ;0)$ hàm tăng từ $-2$ đến $0$, trên $(0;1)$ giảm từ $0$ đến $-1$, trên $(1;+\infty )$ tăng từ $-1$ đến $+\infty$. Giá trị $\frac{1}{2}$ chỉ thuộc khoảng giá trị $(-1;+\infty )$ trên nhánh cuối, nên phương trình $f(x)=\frac{1}{2}$ chỉ có 1 nghiệm. (Khớp đáp án chính thức mã đề 001: SDSS.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(0;1)$ nên không đồng biến trên $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$ tại $x=0$ (cực đại) và $-\to +$ tại $x=1$ (cực tiểu).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ có 2 điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị $\frac{1}{2}$ chỉ nằm trong khoảng giá trị của nhánh $(1;+\infty )$, nên phương trình chỉ có 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-2x+1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ khi $x=1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-3)$ thì $y^{\prime }>0$, trên $(-3;-1)$ thì $y^{\prime }<0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-3$. Khi đó $y(-3)=\frac{(-3{)}^2-2(-3)+1}{-3+1}=\frac{16}{-2}=-8$. Vậy điểm cực đại là $(-3;-8)$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 3102, Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=3$. Hai điểm cực trị là $x_1=-1,x_2=3$. Khi đó $x_1^2+x_2^2=1+9=10$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng mã đề 3102.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+\frac{2}{3}$, ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$; $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$, và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm (dương ngoài khoảng $(1;3)$, âm trong khoảng $(1;3)$). a) $x=1$ là hoành độ điểm cực đại (vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ + sang −), nhưng điểm cực đại của đồ thị là điểm $(1;2)$ chứ không phải $x=1$, nên khẳng định a) Sai (khớp bảng đáp án chính thức mã đề 3102: S). b) $x=3$ là hoành độ điểm cực tiểu; giá trị cực tiểu là $y(3)=\frac{27}{3}-18+9+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\ne 3$, nên khẳng định b) Sai. c) $y^{\prime }$ có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có hai điểm cực trị: điểm cực đại $(1;2)$ và điểm cực tiểu $(3;\frac{8}{3})$; khẳng định c) Đúng. d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị $\sqrt{(3-1{)}^2+{\left(\frac{8}{3}-2\right)}^2}=\sqrt{4+\frac{4}{9}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\ne \frac{\sqrt{13}}{13}$; khẳng định d) Sai. Kết luận: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai — khớp bảng đáp án nguồn (mã đề 3102, hàng 4: SSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ + sang − qua $x=1$ nên $x=1$ là hoành độ điểm cực đại. Tuy nhiên điểm cực đại của đồ thị là điểm $(1;2)$ chứ không phải $x=1$, nên khẳng định a) Sai (khớp đáp án chính thức mã đề 3102: S).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $x=3$ là hoành độ điểm cực tiểu; giá trị cực tiểu là $y(3)=\frac{27}{3}-18+9+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\ne 3$. Khẳng định b) Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=x^2-4x+3$ có hai nghiệm phân biệt $x=1,x=3$ và đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên hàm số có hai điểm cực trị: $(1;2)$ và $(3;\frac{8}{3})$. Khẳng định c) Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hai điểm cực trị là $(1;2)$ và $(3;\frac{8}{3})$; khoảng cách $=\sqrt{4+\frac{4}{9}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\ne \frac{\sqrt{13}}{13}$. Khẳng định d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $N(t)=1000+\frac{100t}{100+t^2}$ với $t\ge 0$. Ta có $N^{\prime }(t)=100\cdot \frac{(100+t^2)-t\cdot 2t}{(100+t^2{)}^2}=\frac{100(100-t^2)}{(100+t^2{)}^2}$. Cho $N^{\prime }(t)=0$ thì $t^2=100$, với $t\ge 0$ nên $t=10$. Với $0\le t<10$ thì $N^{\prime }(t)>0$, với $t>10$ thì $N^{\prime }(t)<0$, nên $N(t)$ đạt cực đại tại $t=10$ giây. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 3102, câu 2 Phần III: 10).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(0;1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(1;2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$; tại $x=0$ đạo hàm không xác định nhưng dấu $y^{\prime }$ không đổi (+ sang +) nên $x=0$ không phải cực trị. a) Đúng: hàm số có đúng hai cực trị là $x=1$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu). b) Sai: giá trị cực đại bằng $f(1)=1$, không phải $0$ (giá trị $0$ tại $x=0$ không phải cực đại vì $y^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=0$). c) Sai: hàm chỉ đạt cực đại tại $x=1$ (không đạt cực đại tại $x=0$) và cực tiểu tại $x=2$; cách phát biểu gộp sai. d) Sai: hàm không đạt cực tiểu tại $x=-1$; điểm cực tiểu là $x=2$ với giá trị $f(2)=-1$. Kết quả Đúng–Sai–Sai–Sai khớp với đáp án nguồn (ĐSSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm có đúng hai cực trị: cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=2$ (tại $x=0$, $y^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị).
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại bằng $f(1)=1$, không phải $0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực đại tại $x=1$ (không phải $x=0$ vì $y^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=0$) và cực tiểu tại $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm không đạt cực tiểu tại $x=-1$; cực tiểu tại $x=2$ với giá trị $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét bảng dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không xác định (dấu $\Vert$) nhưng $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu. Tại $x=1$ và $x=2$, $f^{\prime }(x)=0$ nhưng không đổi dấu ($+$ rồi $+$) nên không phải cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=3$. Vì hệ số $a=1>0$, $y^{\prime }$ âm trên $(1;3)$ và dương ngoài khoảng đó, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$. Tọa độ điểm cực tiểu: $y(3)=\frac{27}{3}-18+9+1=9-18+9+1=1$, tức điểm cực tiểu là $(3;1)$. Khớp với đáp án D (mã đề 3101, Câu 5 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=\frac{x^2+3x+5}{x-1}$, TXD $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+3)(x-1)-(x^2+3x+5)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-8}{(x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=-2$ hoặc $x=4$. Vì $y^{\prime }>0$ khi $x<-2$, $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<1$ và $1<x<4$, $y^{\prime }>0$ khi $x>4$, nên hàm số đạt cực đại tại $x_1=-2$ và cực tiểu tại $x_2=4$. Tính $y_1=y(-2)=\frac{4-6+5}{-2-1}=\frac{3}{-3}=-1$. Vậy $3x_2+2y_1=3\cdot 4+2\cdot (-1)=10$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^6-12x^5+1$ có $y^{\prime }=6x^5-60x^4=6x^4(x-10)$. Với $x\ne 0$, $6x^4>0$ nên dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $(x-10)$: $y^{\prime }<0$ khi $x<10$ và $y^{\prime }>0$ khi $x>10$; tại $x=0$ hàm số không đổi dấu (vì $y^{\prime }=0$ chỉ do nhân tử $x^4$). Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;10)$ và đồng biến trên $(10;+\infty )$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=a=10$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 1: 10).

$y^{\prime }=3x^2-12x+9$
$y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$
Bảng xét dấu

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(5;+\infty )$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;5)$
$x_{CD}=-1,y_{CD}=2033$
$x_{CT}=5,y_{CT}=1925$