Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3a{x}^2+2bx$. Vì $A(2;-2)$ là điểm cực trị nên $y^{\prime }(2)=0\Rightarrow 12a+4b=0\Rightarrow b=-3a$. Điểm $A$ thuộc đồ thị: $8a+4b+2=-2\Rightarrow 8a-12a=-4\Rightarrow a=1$, suy ra $b=-3$. Vậy $y=x^3-3x^2+2$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba là điểm uốn, với $y^{\prime \prime }=6x-6=0\Rightarrow x_0=1$, $y_0=1-3+2=0$. Do đó $2x_0-y_0=2\cdot 1-0=2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$: đúng. b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; xét dấu $f^{\prime }$: $f^{\prime }$ dương trên $(-\infty ;0)$, âm trên $(0;2)$, dương trên $(2;+\infty )$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=2$. Do đó khẳng định đạt cực tiểu tại $x=0$ là sai. c) Trên $[0;4]$: $f(0)=0$, $f(2)=-4$, $f(4)=64-48=16$ nên GTLN bằng 16: đúng. d) $y=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)(x-3{)}^2}=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ với $x\ne 3$. Tại $x=1$: tử khác 0 nên $x=1$ là tiệm cận đứng; tại $x=3$: sau khi rút gọn mẫu vẫn triệt tiêu tại $x=3$ và tử $9\ne 0$ nên $x=3$ cũng là tiệm cận đứng. Vậy có 2 tiệm cận đứng, khẳng định 'là 1' sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực đại (cực tiểu tại $x=2$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16$ nên GTLN trên $[0;4]$ bằng 16.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ ($x\ne 3$) có 2 tiệm cận đứng $x=1$ và $x=3$, không phải 1.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+48}{x-1}$, $y^{\prime }=\frac{(2x)(x-1)-(x^2+48)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-48}{(x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0$: $x^2-2x-48=0\Rightarrow x=-6$ hoặc $x=8$. Tọa độ cực trị: $A(8;y(8))$ với $y(8)=\frac{64+48}{7}=16$; $B(-6;y(-6))$ với $y(-6)=\frac{36+48}{-7}=-12$. Hình chữ nhật tô đậm có các cạnh theo phương ngang bằng $|8-(-6)|=14$ và theo phương dọc bằng $|16-(-12)|=28$. Diện tích $=14\times 28=392$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=\frac{2x(x-1)-(x^2+48)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-48}{(x-1{)}^2}$. Hai điểm cực trị có hoành độ $x^2-2x-48=0\iff x=-6$ hoặc $x=8$. Tại $x=8$: $y=\frac{64+48}{7}=16$ (điểm $A$). Tại $x=-6$: $y=\frac{36+48}{-7}=-12$ (điểm $B$). Hình chữ nhật tô đậm có chiều ngang $8-(-6)=14$ và chiều cao $16-(-12)=28$, nên diện tích $=14\times 28=392$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 392.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x^2-2x-48}{(x-1{)}^2}=0\iff x=-6$ hoặc $x=8$. Tại $x=8$: $y=\frac{64+48}{7}=16$ (điểm cực tiểu $A(8;16)$); tại $x=-6$: $y=\frac{36+48}{-7}=-12$ (điểm cực đại $B(-6;-12)$). Hình chữ nhật tô đậm có các cạnh song song trục, đỉnh đối diện là $A$ và $B$: chiều rộng $8-(-6)=14$, chiều cao $16-(-12)=28$. Diện tích $=14\times 28=392$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2$.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ — Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Bảng biến thiên: $f$ tăng trên $(-\infty ;0)$, giảm trên $(0;2)$, tăng trên $(2;+\infty )$ nên cực tiểu tại $x=2$, không phải $x=0$ (tại $x=0$ là cực đại) — Sai.
c) Trên $[0;4]$: $f(0)=0$, $f(2)=-4$, $f(4)=64-48=16$. Giá trị lớn nhất bằng 16 — Đúng.
d) $y=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)(x-3{)}^2}=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ với $x\ne 3$. Tại $x=1$ và $x=3$ mẫu số về 0 trong khi tử số khác 0 (tại $x=3$, tỉ số ~ $\frac{9}{2(x-3)}\to \infty$), nên đồ thị có 2 tiệm cận đứng $x=1$ và $x=3$, không phải 1 — Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)=0\iff x=0,x=2$; hàm đạt cực tiểu tại $x=2$ (cực đại tại $x=0$).
c) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16$ nên max trên $[0;4]$ bằng 16.
d) (AI giải đề cho tôi)
Rút gọn $y=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ ($x\ne 3$); tiệm cận đứng là $x=1$ và $x=3$, tức có 2 đường.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+48}{x-1}$, $y^{\prime }=\frac{(2x)(x-1)-(x^2+48)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-48}{(x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x^2-2x-48=0\Rightarrow x=8$ hoặc $x=-6$. Vậy $A(8;y(8))$ với $y(8)=\frac{64+48}{7}=16$ và $B(-6;y(-6))$ với $y(-6)=\frac{36+48}{-7}=-12$. Hình chữ nhật tô đậm có các cạnh song song trục tọa độ đi qua $A$ và $B$: chiều rộng $=8-(-6)=14$, chiều cao $=16-(-12)=28$. Diện tích $=14\times 28=392$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 4, Phần III: 392).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x^2+6x+9=-3(x-3)(x+1)=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=3$. Tại $x=-1$: $y=1+3-9+1=-4$; tại $x=3$: $y=-27+27+27+1=28$. Đường thẳng qua $(-1;-4)$ và $(3;28)$ có hệ số góc $\frac{28+4}{3+1}=8$, phương trình $y=8x+4\iff 8x-y+4=0$. Vậy $a=8,b=-1$, do đó $a+2b=8+2(-1)=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ bán hàng là $R^{\prime }(x)$. Ta có $R^{\prime }(x)=\frac{25000e^{-x}}{(1+5e^{-x}{)}^2}$. Xét $R^{\prime \prime }(x)$, tốc độ bán đạt cực đại khi $5e^{-x}=1$, tức $x=\ln 5\approx 1,61$ năm. Vậy tốc độ bán hàng đạt tối đa vào thời điểm năm thứ $2$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x^2+6x+9=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Tại $x=-1$: $y=-(-1{)}^3+3(-1{)}^2+9(-1)+1=1+3-9+1=-4$, điểm cực trị $(-1;-4)$. Tại $x=3$: $y=-27+27+27+1=28$, điểm cực trị $(3;28)$. Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $k=\frac{28-(-4)}{3-(-1)}=\frac{32}{4}=8$, phương trình $y=8x+4\iff 8x-y+4=0$. Vậy $a=8,b=-1$, do đó $a+2b=8+2(-1)=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ (hàm bậc ba cắt trục hoành tại $x=-2$, $x=0$, $x=2$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $x>2$):
a) Trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, không nghịch biến → Sai.
b) $f^{\prime }(x)=0$ và đổi dấu tại $x=-2$, $x=0$, $x=2$ nên $f(x)$ có ba điểm cực trị (cực đại tại $x=\pm 2$, cực tiểu tại $x=0$) → Đúng.
c) Trên đoạn $[-2;2]$: $f$ nghịch biến trên $(-2;0)$ và đồng biến trên $(0;2)$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$, tức ${\min }_{[-2;2]}f=f(0)$ → Đúng.
d) Vì $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)\cup (2;+\infty )$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$ nên $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Điểm $x=0$ là điểm cực tiểu với $f(0)>0$, còn $x=\pm 2$ là các điểm cực đại với $f(\pm 2)>f(0)>0$. Do đó $f(x)>0$ trên $[-2;2]$ và phương trình $f(x)=0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt (một nghiệm trên $(-\infty ;-2)$ và một nghiệm trên $(2;+\infty )$), không thể có tới 3 nghiệm phân biệt → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 0105, Phần II Câu 2, trang 17): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-2)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ và đổi dấu tại $x=-2,0,2$ nên $f(x)$ có ba điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f$ nghịch biến trên $(-2;0)$, đồng biến trên $(0;2)$ nên GTNN trên $[-2;2]$ là $f(0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)\cup (2;+\infty )$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$ nên $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Điểm $x=0$ là điểm cực tiểu với $f(0)>0$, còn $x=\pm 2$ là các điểm cực đại với $f(\pm 2)>f(0)>0$. Do đó $f(x)>0$ trên $[-2;2]$ và $f(x)=0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt (một nghiệm trên $(-\infty ;-2)$ và một nghiệm trên $(2;+\infty )$), không thể có tới 3 nghiệm phân biệt → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ (hàm bậc ba cắt trục hoành tại $x=-2,x=0,x=2$): $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$.
a) Sai: trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, không nghịch biến.
b) Đúng: $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2$ ($+$ sang $-$), $x=0$ ($-$ sang $+$), $x=2$ ($+$ sang $-$) nên $f$ có ba điểm cực trị (hai cực đại tại $x=\pm 2$, một cực tiểu tại $x=0$).
c) Đúng: trên $[-2;2]$, $f$ nghịch biến trên $[-2;0]$ rồi đồng biến trên $[0;2]$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$, bằng $f(0)$.
d) Sai: vì $f$ là hàm bậc bốn nên $f(x)\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Trên $(-\infty ;-2]$, $f$ đồng biến đến $f(-2)>f(0)>0$ nên không có nghiệm; trên $[-2;2]$, $f(x)\ge f(0)>0$ nên không có nghiệm; trên $(2;+\infty )$, $f$ giảm từ $f(2)>0$ xuống $-\infty$ nên có đúng 1 nghiệm. Vậy phương trình $f(x)=0$ có tối đa 2 nghiệm phân biệt, không phải 3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-2)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2,x=0,x=2$ nên $f$ có ba điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$, $f$ giảm trên $[-2;0]$ và tăng trên $[0;2]$ nên min bằng $f(0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(0)>0$ và $f(-2),f(2)>f(0)$, hàm bậc bốn đi lên $+\infty$ hai đầu nên $f(x)=0$ có tối đa 2 nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm logistic $N(t)=\frac{5000}{1+49e^{-0.8t}}$. Tốc độ lây lan $N^{\prime }(t)=\frac{5000\cdot 49\cdot 0.8e^{-0.8t}}{(1+49e^{-0.8t}{)}^2}$ đạt cực đại khi $49e^{-0.8t}=1$ (điểm uốn của đường logistic), tức $e^{-0.8t}=\frac{1}{49}\Rightarrow t=\frac{\ln 49}{0.8}\approx \frac{3.8918}{0.8}\approx 4.86$ tuần. Làm tròn đến hàng đơn vị: $t\approx 5$ tuần. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2 = 5).

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-x^2-4x-3}{(x+2{)}^2}$.
Cho $y^{\prime }=\frac{-x^2-4x-3}{(x+2{)}^2}=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=-3\end{array}$.
Lập bảng xét dấu đúng và tính đúng tọa độ 2 điểm cực trị $A(-1;3)$ ; $B(-3;7)$ (vì $y(-3)=\frac{-(-3{)}^2+(-3)+5}{-3+2}=\frac{-7}{-1}=7$).
Tìm được độ dài $AB=\sqrt{(-1-(-3){)}^2+(3-7{)}^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f^{\prime }(x)$ tiếp xúc trục hoành tại $x=-3$ (cực đại của $f^{\prime }$ bằng 0, nghiệm kép), có cực tiểu tại $(0;-3)$ và cắt trục hoành tại $x=1$. Vậy $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x+3{)}^2(x-1)$. Kiểm tra: $f^{\prime }(0)=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot (-1)=-3$; $f^{\prime }(-2)=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot (-3)=-1$, khớp đồ thị. Do đó $f^{\prime }(x)<0$ với $x<1$ (trừ $x=-3$), $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$.
a) Sai: $f^{\prime }$ không đổi dấu qua nghiệm kép $x=-3$ nhưng đổi dấu từ âm sang dương qua $x=1$, nên $f$ có đúng một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$).
b) Sai: trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)\le 0$ nên $f$ nghịch biến, không đồng biến.
c) Sai: với $x>1$ thì $f^{\prime }(x)>0$ nên $f$ đồng biến trên $(1;+\infty )$; vì $2<4$ nên $f(2)<f(4)$, tức $f(2)-f(4)<0$.
d) Đúng: $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=\frac{1}{3}(x+3{)}^2(x-1)-(x-1)=(x-1)\left[\frac{(x+3{)}^2}{3}-1\right]$. Trên $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$: $x-1<0$ và $x+3\in \left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ nên $\frac{(x+3{)}^2}{3}<\frac{9}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}<1$, do đó cả hai thừa số đều âm, $g^{\prime }(x)>0$: $g$ đồng biến trên khoảng này.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x+3{)}^2(x-1)$ không đổi dấu qua nghiệm kép $x=-3$ nhưng đổi dấu từ âm sang dương qua $x=1$, nên $f$ có đúng một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)\le 0$ nên $f$ nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x>1$ nên $f$ đồng biến trên $(1;+\infty )$; vì $2<4$ nên $f(2)<f(4)$, suy ra $f(2)-f(4)<0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $g^{\prime }(x)=(x-1)\left[\frac{(x+3{)}^2}{3}-1\right]>0$ trên $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$ vì cả hai thừa số đều âm, nên $g$ đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+2$. a) $y^{\prime }=3x^2-3$ đúng. b) $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$; hai điểm cực trị là $(-1;4)$ và $(1;0)$, khoảng cách $=\sqrt{(1+1{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$, sai. c) Điểm cực đại là $(-1;4)$ (vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=-1$), không phải $(1;0)$, sai. d) Trên $[0;3]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(3)=27-9+2=20$ nên GTLN $=20$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3$ theo quy tắc đạo hàm của đa thức.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(-1;4)$ và $(1;0)$, khoảng cách $=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại là $(-1;4)$; $(1;0)$ là điểm cực tiểu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(3)=20$ nên GTLN trên $[0;3]$ là 20.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm: $f(x)=x^3+3x$ có $f^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ với mọi $x$ nên không có cực trị. $g(x)=\frac{1}{x}$ có $g^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ trên từng khoảng xác định, không có cực trị. $h(x)=x^4$ có $h^{\prime }(x)=4x^3$, $h^{\prime }(0)=0$ và $h^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=0$ nên $h$ có cực tiểu tại $x=0$. $k(x)=x-{\sin }^{2}x$ có $k^{\prime }(x)=1-\sin 2x\ge 0$ với mọi $x$; tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ thì $k^{\prime }(x)=0$ nhưng $k^{\prime \prime }(x)=-2\cos 2x=0$ và $k^{\prime }$ không đổi dấu (vì $k^{\prime }\ge 0$ mọi nơi), nên $k$ không có cực trị. Vậy chỉ có 1 hàm số có cực trị là $h$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm cực đại $(0;2)$, điểm cực tiểu $(2;-2)$, nên $f^{\prime }(x)=kx(x-2)$, $f(0)=2$, $f(2)=-2$. Suy ra $f(x)=x^3-3x^2+2$ (kiểm tra: $f(2)=8-12+2=-2$ đúng).
a) $A(0;2),B(2;-2)$ nên $AB=\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ → Đúng.
b) $g(x)=f(x^2)=x^6-3x^4+2$, $g^{\prime }(x)=6x^5-12x^3=6x^3(x^2-2)=0$ cho $x=0,\pm \sqrt{2}$: 3 điểm cực trị, không phải 2 → Sai.
c) Trên $[-2;2]$, $f^{\prime }(x)=3x(x-2)\ge 0$ khi $x\le 0$ và $\le 0$ khi $0\le x\le 2$, nên min tại $x=2$: $f(2)=-2$ → Đúng.
d) $f$ nghịch biến trên $(0;2)$, còn trên $(-\infty ;0)$ đồng biến, nên không nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Cực đại $(0;2)$, cực tiểu $(2;-2)$, $AB=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x^2)=x^6-3x^4+2$, $g^{\prime }(x)=6x^3(x^2-2)=0$ tại $x=0,\pm \sqrt{2}$: 3 điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$, min tại $x=2$ với $f(2)=-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f$ chỉ nghịch biến trên $(0;2)$; trên $(-\infty ;0)$ hàm đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm bậc ba $y=f(x)$ có điểm cực tiểu tại $(0;-4)$ và điểm cực đại tại $(2;0)$, đồng thời đi qua điểm $(1;-2)$. Viết $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Vì $f(0)=-4$ nên $d=-4$. Cực trị tại $x=0$ và $x=2$ nên $f^{\prime }(x)=3a(x-0)(x-2)=3a{x}^2-6ax$, suy ra $c=0$, $b=-3a$. Do $f(1)=-2$: $a-3a-4=-2\Rightarrow -2a=2\Rightarrow a=-1$, $b=3$. Kiểm tra: $f(2)=-8+12-4=0$ khớp đồ thị. Vậy giá trị cực tiểu là $-4$, giá trị cực đại là $0$, tổng bằng $0+(-4)=-4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2102, Phần III Câu 4: $-4$).

Xét $g(0)=f(0)+8$ và $h(0)=f(0)+12$ nên rõ ràng tại 0 thì đồ thị $h(x)$ cao hơn $f(x)$ và ta xác định được đồ thị của hai hàm số này. Từ đề bài ta biết $g(x)$ sẽ đi qua cực trị của $h(x)$ nên tọa độ điểm cắt:
$$g(x)=h(x)\iff f(x)-\frac{8}{3}x+8=f(x)-4x+12\Rightarrow x=3.$$
Mà điểm đó cũng là điểm cực trị của $h(x)$ nên $h^{\prime }(3)=f^{\prime }(3)-4=0\Rightarrow f^{\prime }(3)=4$. Vậy $g^{\prime }(3)=f^{\prime }(3)-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$.
(Ghi chú: nguồn trang 17 ghi $h^{\prime }(0)$, $f^{\prime }(0)$, $g^{\prime }(0)$ thay vì $h^{\prime }(3)$, $f^{\prime }(3)$, $g^{\prime }(3)$ — đây là lỗi đánh máy của nguồn; lập luận đúng với đối số $x=3$ cho kết quả $\frac{4}{3}$, khớp đáp án A.)