Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có: $g^{\prime }(x)=2x\cdot f^{\prime }(x^2-2)$

$\Rightarrow g^{\prime }(x)=0\iff 2x\cdot f^{\prime }(x^2-2)=0\iff [<table><tbody><tr><td>2x=0</td></tr><tr><td>f^{\prime }(x^2-2)=0</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x^2-2=-1</td></tr><tr><td>x^2-2=1</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=\pm 1</td></tr><tr><td>x=\pm \sqrt{3}</td></tr></tbody></table>.$

Ta có bảng xét dấu:

[IMAGE_1]

Do $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $5$ điểm nên hàm số $g(x)$ có $5$ điểm cực trị.

*(Ghi chú: Bảng đáp án trang 7 và phương án gạch chân trang 16 chọn **C. 5** theo số điểm cực trị ở dòng kết luận lời giải; trong khi nhãn đầu lời giải ghi `Chọn A` tương ứng với $3$ điểm cực tiểu $x\in \{-\sqrt{3};0;\sqrt{3}\}$.)*

Chọn A.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0⟺x^2(x+1)(x-1{)}^3=0⟺x=0,x=-1,x=1$.
Trong đó $x=0$ là nghiệm bội chẵn (bậc 2) nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua $x=0$.
Nghiệm $x=-1$ (bội 1) và $x=1$ (bội 3) là các nghiệm bội lẻ nên $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua chúng.
Vậy hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị.

Chọn C.
Từ bảng biến thiên, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm $x=2$.
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2$.

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $x=-2$ (từ $+$ sang $-$) và $x=0$ (từ $-$ sang $+$), không đổi dấu khi đi qua $x=2$. Do đó hàm số có $2$ điểm cực trị.

Ta có $g^{\prime }(x)=(3x^2-3)f^{\prime }(x^3-3x)=0\iff x=\pm 1$ hoặc $x^3-3x\in \{u_1;u_2;u_3\}$, trong đó $u_1<-2$, $u_2\in (-2;0)$, $u_3\in (0;2)$ là $3$ điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$. Xét hàm $u(x)=x^3-3x$ có $u(-1)=2$ (cực đại) và $u(1)=-2$ (cực tiểu): phương trình $x^3-3x=u_1<-2$ có $1$ nghiệm đơn; các phương trình $x^3-3x=u_2\in (-2;2)$ và $x^3-3x=u_3\in (-2;2)$ mỗi phương trình có $3$ nghiệm đơn phân biệt khác $\pm 1$. Vậy $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $2+1+3+3=9$ điểm, nên hàm số $g(x)$ có $9$ điểm cực trị.

Ta có: $f^{\prime }(x)=x^2(x-2)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)=x^2(x-2{)}^2(x+2)(x-1)(x-3)$.
Các nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ là:
- $x=0$ (nghiệm bội 2)
- $x=2$ (nghiệm bội 2)
- $x=-2$ (nghiệm bội 1, đổi dấu)
- $x=1$ (nghiệm bội 1, đổi dấu)
- $x=3$ (nghiệm bội 1, đổi dấu)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$:
- Khi qua $x=-2$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương $⟹$ điểm cực tiểu.
- Khi qua $x=1$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm $⟹$ điểm cực đại.
- Khi qua $x=3$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương $⟹$ điểm cực tiểu.
Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực đại (tại $x=1$).

Ta có $y^{\prime }=x^2-8x-1$.
Chia $y$ cho $y^{\prime }$ ta được:
$y=y^{\prime }\cdot \left(\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}\right)-\frac{34}{3}x+\frac{8}{3}$.
Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A,B$ có phương trình là $y=-\frac{34}{3}x+\frac{8}{3}$.
Hệ số góc của đường thẳng $AB$ chính là $P=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{34}{3}$.

Xét hàm số $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+m$.
Ta có: $f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x+1)(x-2)$.
$f^{\prime }(x)=0⟺x=-1$, $x=0$, $x=2$.
Các giá trị cực trị của $f(x)$ là:
$f(-1)=3(-1{)}^4-4(-1{)}^3-12(-1{)}^2+m=m-5$.
$f(0)=m$.
$f(2)=3(16)-4(8)-12(4)+m=48-32-48+m=m-32$.
Ta có $m-32<m-5<m$.
Hàm số $f(x)$ đã có sẵn 3 điểm cực trị.
Số điểm cực trị của hàm số $y=|f(x)|$ bằng 5 khi và chỉ khi phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm đơn phân biệt (không trùng với các điểm cực trị) hoặc đồ thị $f(x)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
Điều này xảy ra khi trục hoành $y=0$ nằm ngoài khoảng giữa các cực trị hoặc chỉ cắt đồ thị tại 2 điểm:
Trường hợp 1: Trục hoành nằm trên tất cả các điểm cực trị: $m\le 0$ (không có giá trị nguyên dương).
Trường hợp 2: Trục hoành nằm giữa $f(2)$ và $f(-1)$: $m-32<0\le m-5⟺5\le m<32$.
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{5,6,\dots ,31\}$.
Số giá trị nguyên dương của $m$ là: $31-5+1=27$ giá trị.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=2</td></tr></tbody></table>$
Vì $a=1>0$ nên điểm cực đại của đồ thị hàm số đạt tại $x=0$, với $y(0)=2$. Vậy điểm cực đại là $(0;2)$.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ ($y_{\text{CĐ}}=2$) và đạt cực tiểu tại $x=1$ ($y_{\text{CT}}=-1$). Do đó mệnh đề B đúng.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy hàm số có $a=2$ điểm cực trị nằm ngoài trục hoành và đồ thị cắt trục hoành tại $b=3$ điểm phân biệt đơn. Khi đó số điểm cực trị của hàm số $y=|f(x)|$ là $a+b=2+3=5$ điểm cực trị.

Chọn B.
Từ bảng biến thiên, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm $x=1$.
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

Chọn D.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0⟺(x+1{)}^2(x-1{)}^3(2-x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=-1</td></tr><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=2</td></tr></tbody></table>$.
Nghiệm $x=-1$ có bội chẵn (bậc 2) nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi đi qua $x=-1$.
Các nghiệm $x=1$ (bội 3) và $x=2$ (bội 1) có bậc lẻ nên $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua chúng.
Vậy hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị.

Dựa vào bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$, nên điểm cực tiểu của hàm số là $x=-1$.

Ta có $y^{\prime }=-3x^2+2ax+b=0$ có hai nghiệm $x=-1,x=2$, nên theo định lí Vi-ét: $\frac{2a}{3}=1\Rightarrow 2a=3$ và $-\frac{b}{3}=-2\Rightarrow b=6$. Vậy $T=b^2-2a=36-3=33$.

Dựa vào bảng xét dấu $f^{\prime }(x)$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=1$ nên hoành độ điểm cực tiểu của hàm số đã cho bằng $1$.

Vì hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $3$ điểm $x_1,x_2,x_3$ nên đồ thị hàm số đã cho có $3$ điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-4$, nên điểm cực đại của hàm số là $x=-4$.

Dựa vào bảng biến thiên, tại $x=-2$ đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-2$.

Dựa vào bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1,x=0,x=2,x=4$ (tổng cộng 4 lần đổi dấu).
Do đó hàm số có 4 điểm cực trị.