Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

$g^{\prime }(x)=2(x-1)f^{\prime }(x^2-2x+m)$. $g^{\prime }(x)=0⟺x=1$ hoặc $x^2-2x+m=u_i$ với $u_i$ là các nghiệm bội lẻ của $f^{\prime }(x)$. Để hàm số có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình bậc hai có đúng 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 1, tìm được 4 giá trị nguyên của $m$. Chọn D.

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

$y^{\prime }=12x^3-8x$.

$y^{\prime }=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=\frac{\sqrt{6}}{3}</td></tr><tr><td>x=-\frac{\sqrt{6}}{3}</td></tr></tbody></table>$.

Bảng biến thiên:

[IMAGE_1]

Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị.

Ta có $g^{\prime }(x)=(e^x-x-1)f^{\prime }\left(e^x-\frac{x^2+2x}{2}\right)$.

Xét $g^{\prime }(x)=0\iff (e^x-x-1)f^{\prime }\left(e^x-\frac{x^2+2x}{2}\right)=0\iff [<table><tbody><tr><td>e^x-x-1=0(1)</td></tr><tr><td>e^x-\frac{x^2+2x}{2}=-2(2)</td></tr><tr><td>e^x-\frac{x^2+2x}{2}=1(3)</td></tr><tr><td>e^x-\frac{x^2+2x}{2}=4(4)</td></tr></tbody></table>$.

Ta xét $u(x)=e^x-x-1;v(x)=e^x-\frac{x^2+2x}{2}$.

Ta có $u^{\prime }(x)=e^x-1;u^{\prime }(x)=0\iff x=0$.

Bảng biến thiên của $u(x)$:

[IMAGE_1]

Vậy $u(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ (không đổi dấu qua $x=0$).

Xét hàm số $v(x)=e^x-\frac{x^2+2x}{2}$.

Ta có $v^{\prime }(x)=e^x-x-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bảng biến thiên của $v(x)$:

[IMAGE_2]

Khi đó các phương trình $(2),(3),(4)$ có nghiệm duy nhất và $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số $g(x)$ có $3$ điểm cực trị.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm đơn $x=0$ và $x=1$ (không đổi dấu qua nghiệm kép $x=-2$), nên hàm số có $2$ điểm cực trị.

Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=-1$ (từ + sang -) và qua $x=3$ (từ + sang -). Tại $x=0$ và $x=1$, đạo hàm không đổi dấu. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn D.

$y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x+3}{(x-1{)}^2}>0$ hoặc theo biến đổi hàm số có cực đại tại $x=0$. Chọn B.

$f^{\prime }(x)=(x-1)(x+1)(x+2{)}^3$. Các nghiệm bội lẻ là $x=1,x=-1,x=-2$. Đạo hàm đổi dấu qua cả 3 nghiệm này, do đó hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn B.

Đặt $g(x)=f(3-x)⟹g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(3-x)=-((3-x{)}^2-1)(3-x-4)=(x-2)(x-4)(x+1)$. Lập bảng xét dấu, ta thấy $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại 1 điểm, do đó hàm số có 1 điểm cực đại. Chọn D.

Từ bảng biến thiên ta thấy:
- Hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=1$, giá trị cực tiểu là $y_{CT}=0$.
- Hàm số không xác định tại $x=-1$ nên không đạt cực trị tại điểm này, do đó A và C sai.
- Giá trị cực tiểu bằng 0 chứ không phải bằng 1, do đó D sai.
Vậy đáp án đúng là B.

Số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ bằng số lần đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các nghiệm của phương trình $f^{\prime }(x)=0$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$:
- Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $x=x_1<0$ và đổi dấu từ âm sang dương (hoặc tiếp xúc tại các điểm khác mà không đổi dấu).
- Tại các điểm khác trên đồ thị, đồ thị chỉ tiếp xúc với trục hoành hoặc không cắt đổi dấu.
Do đó $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu đúng 1 lần, suy ra hàm số $y=f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị.

Ta có: $y^{\prime }=2x^2-2mx-2(3m^2-1)=2[x^2-mx-(3m^2-1)]$.
Đặt $g(x)=x^2-mx-3m^2+1$.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt:
$\Delta =(-m{)}^2-4(1)(-3m^2+1)=m^2+12m^2-4=13m^2-4>0⟺m^2>\frac{4}{13}(\ast )$.
Theo định lý Vi-ét cho phương trình $g(x)=0$:
$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1{x}_2=-3m^2+1\end{array}$.
Theo giả thiết:
$x_1{x}_2+2(x_1+x_2)=1⟺(-3m^2+1)+2m=1⟺-3m^2+2m=0⟺m(2-3m)=0⟺[<table><tbody><tr><td>m=0</td></tr><tr><td>m=\frac{2}{3}</td></tr></tbody></table>$.
Kiểm tra điều kiện $(\ast )$:
- Với $m=0$: $m^2=0<\frac{4}{13}$ (loại).
- Với $m=\frac{2}{3}$: $m^2=\frac{4}{9}$. Vì $\frac{4}{9}>\frac{4}{13}$ nên thỏa mãn điều kiện $(\ast )$.
Vậy chỉ có đúng 1 giá trị thực của $m$ thỏa mãn là $m=\frac{2}{3}$.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+1$. Xét phương trình $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=-1$.
Từ đồ thị của $y=f^{\prime }(x)$, đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị tại các điểm có hoành độ $x=-1$ và $x=1$. Tại lân cận điểm $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dưới đường thẳng $y=-1$ lên phía trên đường thẳng $y=-1$, tức là $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=1$. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm $x=2,x=3$ (nghiệm đơn) và $x=4$ (nghiệm bội chẵn 4).
Do $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi qua các nghiệm đơn $x=2$ và $x=3$, nên hàm số đã cho có đúng 2 điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và giá trị cực đại tương ứng là $y_{\text{CĐ}}=5$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=2</td></tr></tbody></table>$
Vì $a=1>0$ nên điểm cực đại đạt tại $x=0$ và $y(0)=2$. Vậy tọa độ điểm cực đại là $(0;2)$.

Hàm số có 3 điểm cực trị khi $m>0$. Tọa độ 3 điểm cực trị là $A(0;m-1)$, $B(-\sqrt{m};-m^2+m-1)$, $C(\sqrt{m};-m^2+m-1)$.
Diện tích tam giác: $S=m^2\sqrt{m}=m^{\frac{5}{2}}=2\Rightarrow m^5=4\Rightarrow m=\sqrt[5]{4}\approx 1,32\in (1;2)$.

Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm dương phân biệt, do đó $f(x)$ có 3 điểm cực trị dương. Hàm số $g(x)=f(|x|+m)$ có đúng 7 điểm cực trị khi phương trình có 3 nghiệm dương lớn hơn $-m$, dẫn đến đúng 1 giá trị nguyên của $m$.

Đồ thị có 3 điểm cực trị khi $m>0$. Tọa độ điểm cực trị trên trục tung là $A(0;16m^2-m+1)$.
Để $H(0;1)$ là trực tâm của tam giác $ABC$, ta sử dụng điều kiện $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ và $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=0$.
Giải phương trình tìm được $m_0\approx 0,5\in (0;1)$.

Ta thấy hàm số $y=-x^4+2x^2+3$ có $a\cdot b=-1\cdot 2<0$ nên đồ thị hàm số đã cho có $3$ điểm cực trị suy ra loại câu A, C.

Mà hệ số $a=-1<0$ nên suy ra đồ thị hàm số có $1$ điểm cực tiểu và $2$ điểm cực đại.

Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x+m$, ta có ${\Delta }^{\prime }=9-3m$.

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\prime }>0\iff 9-3m>0\iff m<3$.

Vậy $m<3$.