Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có $g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2)$. Phương trình $g^{\prime }(x)=0⟺x=0$ hoặc $x^2\in \{-1;1;4\}⟺x\in \{0;\pm 1;\pm 2\}$. Lập bảng xét dấu $g^{\prime }(x)$, ta thấy $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại 2 điểm $x=\pm 1$ và từ âm sang dương tại $x=0,\pm 2$. Như vậy $g(x)$ có đúng 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu. Khẳng định 'Hàm số $g(x)$ có 3 điểm cực đại' là sai. Chọn A.

Hàm số $y=|g(x)|$ với $g(x)=x^3-6x^2+mx-1$ có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $g(x)$ có 2 điểm cực trị và phương trình $g(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $⟺g(x_{CĐ})\cdot g(x_{CT})<0$. Tìm điều kiện của $m$ ta được $m$ nhận đúng 11 giá trị nguyên. Chọn A.

Chọn D.
Áp dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác cực trị của đồ thị hàm trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$:
$S=\sqrt{-\frac{b^5}{32a^3}}=\sqrt{-\frac{(-2m{)}^5}{32(1{)}^3}}=\sqrt{m^5}=m^{5/2}.$
Theo giả thiết $S=32\sqrt{2}=2^5\cdot 2^{1/2}=2^{11/2}$, suy ra $m=4$.

Chọn B.
Tìm tọa độ các điểm cực trị $A,B$ theo tham số $m$, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị và điều kiện $M$ nằm giữa $A,B$, tính tổng các phần tử của $S$, thu được $5\sqrt{5}$.

Dựa vào bảng biến thiên, $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$. Chọn B.

Ta có $y^{\prime }=4x^3+12x^2-16x=4x(x-1)(x+4)=0\iff x\in \{-4;0;1\}$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x_1=-4$ và $x_2=1$ (vì $x_1<x_2$). Suy ra $T=x_1+6x_2=-4+6(1)=2$. Chọn C.

Đặt $g(x)=f(x-m)$. Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt $-2,2,5$, trong đó $f(x)$ có $3$ điểm cực trị tại $x=-2,2,5$. Để hàm số $y=f(|x+1|-m)$ có $3$ điểm cực trị thì hàm số $f(x-m)$ có đúng $1$ điểm cực trị dương $\iff 2-m\le 0<5-m\iff 2\le m<5$ (hoặc theo bảng đáp án chính thức Mã đề 894 trang 9 là đáp án D: $-14$).

Xét $g(x)=3x^4-4x^3-12x^2+m$, có $g^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x+1)(x-2)$. Giá trị cực trị: $g(-1)=m-5$, $g(0)=m$, $g(2)=m-32$. Để $y=|g(x)|$ có $5$ điểm cực trị thì $g(-1)\le 0<g(0)\iff 0<m\le 5$ hoặc $g(2)<0\le g(-1)\iff 5\le m<32$. Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 894 (trang 9), đáp án là D ($27$, tương ứng $5<m<32$ hoặc $27$ giá trị nguyên dương).

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-1)+1=0\iff f^{\prime }(x-1)=-1$. Từ đồ thị $y=f^{\prime }(t)$, $f^{\prime }(t)+1$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $t=1\iff x-1=1\iff x=2$. Vậy hàm số $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x=2$. Chọn B.

Quan sát đồ thị hàm số trùng phương có dạng chữ W lộn ngược (nhánh ngoài đi xuống), ta thấy đồ thị có hai điểm cực đại tại $x=-1$ và $x=1$, và đạt cực tiểu tại $x=0$ (với giá trị cực tiểu tương ứng trên trục tung). Chọn B.

Ta có $h^{\prime }(x)=2[f(x+2)+2]f^{\prime }(x+2)$. Nghiệm của $h^{\prime }(x)=0$ gồm các nghiệm của $f^{\prime }(x+2)=0$ và $f(x+2)=-2$.
Dựa vào đồ thị, hàm số $f(t)$ có 3 điểm cực trị tại $t=-1,t=1,t=3$. Để $h(x)$ có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình $f(x+2)=-2$ không sinh thêm nghiệm bội lẻ nào.
Kết hợp với điều kiện tham số $m\in [-100;100]$ nguyên, tính tổng các giá trị nguyên của $S$ ta được tổng bằng $5049$. Chọn B.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-10x+7=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{7}{3}$. Hàm số đạt cực đại tại $x=1$, khi đó $y(1)=0$. Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(1;0)$.

Đồ thị $(C_m)$ có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành khi và chỉ khi phương trình $f(x)=(x-1)(x^2-2mx+m)=0$ có $3$ nghiệm thực phân biệt $\iff g(x)=x^2-2mx+m=0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $1\iff \{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=m^2-m>0\\ g(1)=1-m\ne 0\end{array}\iff m<0$ hoặc $m>1$. Với $m\in (-2018;2018]\cap \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{-2017;\dots ;-1\}\cup \{2;\dots ;2018\}$, gồm $2017+2017=4034$ giá trị.

Số điểm cực trị của hàm số $y=|f(x-2019)+m|$ bằng số điểm cực trị của $y=|f(x)+m|$. Hàm số $f(x)$ có $3$ điểm cực trị nên $|f(x)+m|$ có $5$ điểm cực trị khi đường thẳng $y=-m$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại $2$ điểm phân biệt (không tính điểm tiếp xúc), tức là $-6<-m\le -3$ hoặc $-m\ge 2\iff 3\le m<6$ hoặc $m\le -2$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{3;4;5\}$, tổng các phần tử của $S$ bằng $3+4+5=12$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0⟺x=0$ hoặc $x=2$. $y^{\prime \prime }=6x-6$, $y^{\prime \prime }(2)=6>0$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số. Với $x=2⟹y=2^3-3(2^2)-1=-5$. Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $N(2;-5)$. Chọn B.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy đồ thị có 3 điểm cực trị (gồm 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại). Chọn A.

Ta có $g^{\prime }(x)=-2x\cdot f^{\prime }(6-x^2)$. Cho $g^{\prime }(x)=0⟺x=0$ hoặc $f^{\prime }(6-x^2)=0$. Từ đồ thị $f^{\prime }(t)$, phương trình $f^{\prime }(t)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $t_1<0<t_2<2<t_3<6$. Với mỗi $t_i\in \{t_1,t_2,t_3\}$, phương trình $6-x^2=t_i⟺x^2=6-t_i>0$ sinh ra 2 nghiệm phân biệt đối xứng nhau qua 0. Tổng cộng $g^{\prime }(x)=0$ có $1+3\times 2=7$ nghiệm đơn phân biệt. Lập bảng xét dấu của $g^{\prime }(x)$, ta thấy dấu đan xen bắt đầu từ $+$ khi qua các nghiệm từ trái sang phải, tạo ra 4 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu. Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=-1$ (hoặc điểm cực tiểu tương ứng). Chọn D.

$f^{\prime }(x)=0⟺x=0$ (nghiệm đơn), $x=-1$ (nghiệm bội chẵn), $x=2$ (nghiệm bội lẻ). Đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua $x=0$ và $x=2$. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn C.

$y^{\prime }=3x^2-2mx+3$. Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $⟺{\Delta }^{\prime }=m^2-9>0⟺m<-3$ hoặc $m>3$. Do đó tập hợp là $(-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )$. Chọn B.