Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Điểm cực đại của hàm số $y=f(x)$ là điểm mà tại đó đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua nghiệm.
Quan sát đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, đồ thị cắt trục hoành và đổi dấu từ dương sang âm tại đúng 1 điểm duy nhất. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại. Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$.

Phương trình $x^4-3m{x}^2-4=0$ luôn có $2$ nghiệm thực đối nhau $\pm x_0$ với $x_0^2=\frac{3m+\sqrt{9m^2+16}}{2}$. Đồ thị hàm số $y=|x^4-3m{x}^2-4|$ có đúng $3$ điểm cực trị khi hàm bên trong chỉ có $1$ điểm cực trị, tức $m\le 0$. Khi đó $A(0;4),B(-x_0;0),C(x_0;0)$ và $S_{ABC}=4x_0>4\iff x_0^2>1\iff m>-1$. Kết hợp $m\le 0,m\in \mathbb{Z}$ được duy nhất $m=0$ ($1$ giá trị).

Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng số nghiệm bội lẻ của $y^{\prime }=0\iff f^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(f(x)-1)=0$. Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có $4$ nghiệm đơn $x\in \{-1;1;3;6\}$. Các phương trình $f(x)=0,f(x)=2,f(x)=4,f(x)=7$ lần lượt có $2,4,2,0$ nghiệm bội lẻ. Vậy hàm số có $4+2+4+2=12$ điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (với giá trị cực tiểu $y_{CT}=-6$) và đạt cực đại tại $x=-1$ (với giá trị cực đại $y_{CĐ}=5$).

Hàm số $h(x)=x^3-3x^2-9x-5$ có hai điểm cực trị $x=-1$ ($h(-1)=0$) và $x=3$ ($h(3)=-32$). Hàm số $y=\left|h(x)+\frac{m}{2}\right|$ có $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $h(x)=-\frac{m}{2}$ có $3$ nghiệm phân biệt $\iff -32<-\frac{m}{2}<0\iff 0<m<64$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên có $63$ giá trị.

Chọn A.
+) Xét hàm số $f(x)=x^4$, ta có $f^{\prime }(x)=4x^3,f^{\prime \prime }(x)=12x^2$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ nhưng $f^{\prime \prime }(0)=0$, không thỏa mãn $f^{\prime \prime }(0)>0$. Do đó khẳng định i) sai và khẳng định iii) cũng sai (vì tại $x=0$ có $f^{\prime \prime }(0)=0$ nhưng vẫn đạt cực trị).
+) Xét hàm số $f(x)=-x^4$, ta có $f^{\prime }(x)=-4x^3,f^{\prime \prime }(x)=-12x^2$. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ nhưng $f^{\prime \prime }(0)=0$, không thỏa mãn $f^{\prime \prime }(0)<0$. Do đó khẳng định ii) sai.
Vậy cả 3 khẳng định đều sai, số khẳng định đúng là 0.

Chọn B.


Trên khoảng $(0;+\infty )$, xét phương trình $f^{\prime }(x)=0$:
$(x-1{)}^3(2^x-2){\log }_{2}x=0⟺x=1$.
Tại lân cận điểm $x=1$:
- Khi $0<x<1$:
$x-1<0\Rightarrow (x-1{)}^3<0$,
$2^x<2\Rightarrow 2^x-2<0$,
${\log }_{2}x<0$.
Tích của ba số âm là một số âm: $f^{\prime }(x)<0$.
- Khi $x>1$:
$x-1>0\Rightarrow (x-1{)}^3>0$,
$2^x>2\Rightarrow 2^x-2>0$,
${\log }_{2}x>0$.
Tích của ba số dương là một số dương: $f^{\prime }(x)>0$.
Do đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=1$.
Vậy trên khoảng $(0;+\infty )$ hàm số có đúng một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại $x=1$.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=\pm 2$ với giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}}=3$. Chọn D.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu tại $x=0$ (từ dương sang âm) và tại $x=1$ (từ âm sang dương), không đổi dấu tại $x=2$. Do đó hàm số có đúng $1$ điểm cực tiểu (tại $x=1$). Chọn D.

Đặt $t=x+1$, đường cong $(C_2)$ trở thành $y=2t^4-4t^2+3m+4$, có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác cân có tỉ số chiều cao trên đáy tương ứng với $a_2=2,b_2=-4$. Hai tam giác cực trị đồng dạng khi $\frac{b_1^3}{a_1}=\frac{b_2^3}{a_2}$ (hoặc nghịch đảo), từ đó giải được $m=1+\sqrt{2}\approx 2,414\in (2;3)$. Chọn B.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2(1)-3(1)}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0,\forall x\ne -1$. Do đạo hàm không đổi dấu và không triệt tiêu nên hàm số không có điểm cực trị nào. Chọn B.

Từ đồ thị hàm số, điểm cực đại của đồ thị là $(1;1)$, nên giá trị cực đại của hàm số là $y_{\text{CĐ}}=1$. Chọn C.

Ta có $f^{\prime }(x)=4(x-3{)}^3$ đổi dấu khi qua $x=3$, nên hàm số có đúng $1$ điểm cực trị. Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=2$ và giá trị cực đại bằng $y_{CĐ}=3$.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm bội lẻ là $x=2$ và $x=-\frac{3}{2}$ (nghiệm $x=-1$ là nghiệm bội chẵn nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu qua $x=-1$). Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

Hàm số đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu, tức là các nghiệm bội lẻ của $f^{\prime }(x)=0$. Ta thấy $x=0$ là nghiệm bội 2, $x=1$ là nghiệm bội 3 (bội lẻ), $x=2$ là nghiệm bội 4, $x=3$ là nghiệm bội 5 (bội lẻ). Do đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua 2 điểm $x=1$ và $x=3$. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và giá trị cực đại tương ứng là $y_{CĐ}=1$. Vậy mệnh đề 'Giá trị cực đại của hàm số bằng 1' là đúng. Chọn A.

Tính đạo hàm $f^{\prime }(x)=2(x-1)(m{x}^2+4mx-m+n-2)+(x-1{)}^2(2mx+4m)=(x-1)[2(m{x}^2+4mx-m+n-2)+(x-1)(2mx+4m)]=(x-1)(4m{x}^2+10mx-6m+2n-4)$.
Vì hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ nên $f^{\prime }(-1)=0⟺(-2)(4m-10m-6m+2n-4)=0⟺-12m+2n-4=0⟺n=6m+2$.
Phương trình đạo hàm trong ngoặc trở thành: $4m{x}^2+10mx+6m=0⟺2m(2x^2+5x+3)=0⟺2m(x+1)(2x+3)=0$.
Nghiệm còn lại là $x=-\frac{3}{2}\in \left[-\frac{7}{2};-\frac{5}{4}\right]$. Qua điểm $x=-\frac{3}{2}$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-\frac{3}{2}$. Chọn B.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có ba nghiệm đơn hoặc bội lẻ: $x=\frac{1}{2}$ (nghiệm bội 1), $x=0$ (nghiệm bội 3), $x=-2$ (nghiệm bội 1). Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua cả ba điểm này. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn C.