Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.
Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{5\cdot 2-(-1)\cdot 1}{(x+2{)}^2}=\frac{11}{(x+2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -2$.
Do đạo hàm không đổi dấu trên từng khoảng xác định nên hàm số không có điểm cực trị.

Chọn D.
Từ bảng xét dấu đạo hàm ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1,x=0,x=2,x=4$.
Do đó hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.

Chọn D.
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua 2 điểm $x=-1$ và $x=1$.
Tại $x=0$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn mang dấu âm).
Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x+2a$.
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu $A(2;-2)$ suy ra:
$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(2)=0\\ y(2)=-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}3(2{)}^2-6(2)+2a=0\\ 2^3-3(2{)}^2+2a(2)+b=-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2a=0\\ -4+4a+b=-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=0\\ b=2\end{array}$.
Vậy $a+b=0+2=2$.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=3x^2+2ax+b$.
Đồ thị đi qua $(1;0)$ và nhận $(-2;0)$ làm điểm cực trị nên:
$\{\begin{array}{l}y(1)=0\\ y(-2)=0\\ y^{\prime }(-2)=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}1+a+b+c=0\\ -8+4a-2b+c=0\\ 12-4a+b=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a+b+c=-1\\ 4a-2b+c=8\\ 4a-b=12\end{array}$.
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất: $3a-3b=9⟺a-b=3⟺b=a-3$.
Thay vào phương trình thứ ba: $4a-(a-3)=12⟺3a=9⟺a=3$.
Từ đó $b=3-3=0$.
Thay vào phương trình thứ nhất: $c=-1-3-0=-4$.
Kiểm tra lại: $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$ đổi dấu khi qua $x=-2$, do đó $(-2;0)$ đúng là điểm cực trị.
Vậy $T=a^2+b^2+c^2=3^2+0^2+(-4{)}^2=9+0+16=25$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$.
$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\\ x& =2\end{array}$
$y^{\prime \prime }=6x-6$.
Ta có $y^{\prime \prime }(0)=-6<0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$, $y(0)=2$.

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(0;2)$.

Từ bảng biến thiên của $y=f(x)$:
- Trên $(-\infty ;1)$, hàm số có 1 điểm cực đại tại $x=-1$ với $y(-1)=2>0$. Khi qua cực đại, giá trị hàm số đi từ $-\infty$ lên $2$ rồi xuống $-\infty$, nên đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, đóng góp 2 điểm cực trị và 1 điểm cực đại cũ đổi thành cực đại của $|f(x)|$.
- Trên $(1;+\infty )$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với $y(3)=-4<0$. Nhánh này đi từ $+\infty$ xuống $-4$ rồi lên $+\infty$, nên cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Khi lấy trị tuyệt đối, 2 giao điểm này biến thành 2 cực tiểu, và điểm cực tiểu cũ thành 1 cực đại.
Kết hợp việc suy diễn bảng biến thiên của hàm số $y=|f(x)|$, tổng số điểm cực trị của hàm số $y=|f(x)|$ là $4$ điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, tại $x=1$ đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm và hàm số đạt cực đại với giá trị cực đại là $y_{\text{CĐ}}=3$.

Ta có đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-6mx+(m^2+5m-5)$ và $f^{\prime \prime }(x)=6x-6m$.
Để $x=1$ là điểm cực đại của hàm số thì điều kiện cần là $f^{\prime }(1)=0$:
$3-6m+m^2+5m-5=0⟺m^2-m-2=0⟺[\begin{array}{rl}& m=-1\\ & m=2\end{array}$
Kiểm tra điều kiện đủ $f^{\prime \prime }(1)<0$:
- Với $m=-1$: $f^{\prime \prime }(1)=6-6(-1)=12>0⟹x=1$ là điểm cực tiểu (loại).
- Với $m=2$: $f^{\prime \prime }(1)=6-6(2)=-6<0⟹x=1$ là điểm cực đại (thỏa mãn).
Vậy $m=2$.

Xét hàm số $g(x)=f(x^3-3x)$.
Ta có $g^{\prime }(x)=(3x^2-3)f^{\prime }(x^3-3x)=3(x^2-1)f^{\prime }(x^3-3x)$.
$f^{\prime }(u)=(u-1)(u+2)\sqrt[3]{u-3}=0⟺u\in \{-2;1;3\}$.
Tại mỗi nghiệm $u=-2,u=1,u=3$ thì $f^{\prime }(u)$ đều đổi dấu (các nhân tử đều có bậc lẻ).
Xét hàm số $u(x)=x^3-3x$:
- $u^{\prime }(x)=3x^2-3=0⟺x=\pm 1$.
- Bảng biến thiên của $u(x)$:
- $u(x)$ tăng từ $-\infty$ đến cực đại $u(-1)=2$.
- $u(x)$ giảm từ 2 xuống cực tiểu $u(1)=-2$.
- $u(x)$ tăng từ $-2$ đến $+\infty$.
Số nghiệm của phương trình $f^{\prime }(u(x))=0$:
- $u(x)=3>2$: có 1 nghiệm đơn $x_1>1$.
- $u(x)=1\in (-2;2)$: có 3 nghiệm đơn phân biệt $x_2<-1<x_3<1<x_4$.
- $u(x)=-2$: có 1 nghiệm đơn $x_5=-2$ và 1 nghiệm kép tại $x=1$.
Tại điểm $x=1$: nhân tử $x^2-1$ có nghiệm đơn $x=1$, trong khi $(u(x)+2)$ có nghiệm bội chẵn tại $x=1$, do đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=1$.
Tại điểm $x=-1$: nhân tử $x^2-1$ có nghiệm đơn $x=-1$, còn $u(-1)=2\notin \{-2;1;3\}$, do đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=-1$.
Như vậy, $g^{\prime }(x)=0$ có 7 nghiệm phân biệt làm $g^{\prime }(x)$ đổi dấu.
Xét dấu của $g^{\prime }(x)$ khi $x\to -\infty$:
- $x^2-1>0$.
- $u(x)\to -\infty ⟹(u-1)<0,(u+2)<0,\sqrt[3]{u-3}<0⟹f^{\prime }(u)<0$.
Vậy $g^{\prime }(x)<0$ khi $x\to -\infty$ và $g^{\prime }(x)>0$ khi $x\to +\infty$.
Qua 7 điểm cực trị đổi dấu liên tiếp:
$g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại đúng 4 điểm cực đại.
Vậy hàm số có 4 điểm cực đại.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm:
- $x=1$ (nghiệm bội 1, bậc lẻ) $⟹f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=1$.
- $x=2$ (nghiệm bội 2, bậc chẵn) $⟹f^{\prime }(x)$ không đổi dấu qua $x=2$.
- $x=3$ (nghiệm bội 3, bậc lẻ) $⟹f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=3$.
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị (tại $x=1$ và $x=3$).

Chọn A.
Từ bảng biến thiên, ta thấy $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=1$, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

Chọn B.
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1,x=0,x=2$.
Khi đi qua $x=4$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn âm).
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=4x^3-6x+a$. Vì $A(2;-2)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên $y^{\prime }(2)=0⟺4\cdot 2^3-6\cdot 2+a=0⟺a=-20$. Thay $a=-20$ và tọa độ $A(2;-2)$ vào phương trình hàm số: $2^4-3\cdot 2^2-20\cdot 2+b=-2⟺16-12-40+b=-2⟺b=34$. Vậy $S=59b-a=59\cdot 34-(-20)=2026$.

Từ bảng biến thiên, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=-1$. Do đó hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.

Từ bảng xét dấu của đạo hàm, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=1$ (từ âm sang dương) và khi qua $x=2$ (từ dương sang âm). Khi qua $x=-1$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn mang dấu âm). Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 25 chọn đáp án C.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và giá trị cực tiểu tương ứng là $y_{CT}=-2$.

Chọn đáp án C.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 34 chọn đáp án C.

Từ bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua 2 điểm (từ dương sang âm hoặc ngược lại), và không đổi dấu tại điểm còn lại.
Do đó hàm số có đúng 2 điểm cực trị.

Chọn đáp án C.

Hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $x=0$ (từ $-$ sang $+$) và $x=3$ (từ $+$ sang $-$), nên hàm số có $2$ điểm cực trị.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm duy nhất khi qua $x=-2$ ($x=0$ là nghiệm bội chẵn, $x=\frac{1}{2}$ đổi dấu từ âm sang dương), nên hàm số có $1$ điểm cực đại.