Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Đặt $u=3x^2+6x-m\ge -3-m$, ta có $g^{\prime }(x)=12(x+1)[2f^{\prime }(u)-(u+m)]$. Đường thẳng $y=\frac{1}{2}(u+m)$ luôn cắt đồ thị $y=f^{\prime }(u)$ tại điểm có hoành độ $u_0=-\frac{1}{2}$ (tiếp xúc tại $u=-1,u=\frac{1}{2}$ khi $m=\frac{1}{2}\dots$). Để $g(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị thì phương trình $3x^2+6x-m=-\frac{1}{2}$ phải có $2$ nghiệm phân biệt khác $-1$, tức là $-3-m<-\frac{1}{2}\iff m>-\frac{7}{2}$.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm bội lẻ $x=-1$ và $x=3$ (không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn $x=0$). Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

a) Đúng: Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)=0⟺x=-1$ hoặc $x=1$.
b) Đúng: Vì $-1<0<3$ nên đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt.
c) Sai: Giá trị cực tiểu (cực tiểu của hàm số) bằng $-1$ (tại điểm cực tiểu $x=1$).
d) Đúng: Ta có $y^{\prime }=-f^{\prime }(2-x)>0⟺f^{\prime }(2-x)<0⟺-1<2-x<1⟺1<x<3$.

Chọn D.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0⟺x=0$ hoặc $x=2$.
Giá trị cực đại: $y_{CĐ}=y(0)=1$.
Giá trị cực tiểu: $y_{CT}=y(2)=8-12+1=-3$.
Tích các giá trị cực đại và cực tiểu là $y_{CĐ}\cdot y_{CT}=1\cdot (-3)=-3$.

Chọn D.
Dựa vào đồ thị hàm số, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(1;-1)$ và điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(-1;3)$.

Chọn B.
Để hàm số trùng phương không có cực tiểu thì đồ thị hàm số có bề lõm quay xuống và có đúng 1 cực trị (là cực đại), hoặc suy biến thành parabol úp xuống:
- Trường hợp 1: $m-1=0⟺m=1⟹y=-8x^2+1$, là parabol có đỉnh là cực đại, không có cực tiểu (thỏa mãn).
- Trường hợp 2: $m-1<0$ và $-2(m+3)\le 0⟺m<1$ và $m\ge -3⟺-3\le m<1$.
Kết hợp cả hai trường hợp ta được $-3\le m\le 1$.

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+3(m^2-1)=3[x^2-2mx+m^2-1]=0⟺x=m\pm 1$.
Hai điểm cực trị là $A(m-1;y_1)$ và $B(m+1;y_2)$.
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $d:y=-2x-m^3+m^3-m+2m=-2x+m$.
Sử dụng điều kiện bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{AB\cdot IA\cdot IB}{4S}=\sqrt{5}$, giải phương trình tìm $m$ thu được tổng các nghiệm bằng $\frac{20}{17}$.

Chọn C.
Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)-2(x+1)=2[f^{\prime }(x)-(x+1)]$.
Xét tương giao giữa đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và đường thẳng $y=x+1$:
Đường thẳng $y=x+1$ đi qua các điểm $(-3;-2),(1;2),(3;4)$.
Quan sát đồ thị, khi qua $x=1$, hiệu $f^{\prime }(x)-(x+1)$ đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số $y=g(x)$ đạt cực đại tại $x=1$.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 9 chọn đáp án C.

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm $f^{\prime }(x)=0$ hoặc không xác định đồng thời $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua điểm đó.
Từ bảng xét dấu:
- Khi qua $x=a$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm (điểm cực đại).
- Khi qua $x=b$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương (điểm cực tiểu).
- Khi qua $x=c$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm (điểm cực đại).
- Khi qua $x=d$, $f^{\prime }(d)=0$ nhưng $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn mang dấu âm).
Vậy hàm số $y=f(x)$ có đúng 3 điểm cực trị.

Chọn đáp án C.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 31 chọn đáp án A.

Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$:
- Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $A(-2;7)$.
- Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $B(1;3)$.
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là:
$AB=\sqrt{(1-(-2){)}^2+(3-7{)}^2}=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=5.$

Chọn đáp án A.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 42 chọn đáp án D.

Theo định lý cơ bản của giải tích:
$F^{\prime }(x)=f(-x+1).$
Từ đồ thị của hàm số $F(x)$, ta thấy $F(x)$ có các điểm cực trị tại $x=1$ và $x=-1$ (đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang tại các điểm đó).
Do đó $F^{\prime }(x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>$.
Suy ra:
$f(-x+1)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>$
Đặt $u=-x+1\Rightarrow x=1-u$. Khi đó:
- Với $x=1\Rightarrow u=0$.
- Với $x=-1\Rightarrow u=2$.
Do đó $f(u)=0⟺u=0$ hoặc $u=2$.
Nghĩa là phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm $x=0$ và $x=2$.
Vì $f(x)$ là đa thức bậc hai nên hàm số đạt cực tiểu tại các nghiệm của phương trình $f(x)=0$.
Vậy hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=0$ và $x=2$.

Chọn đáp án D.

Chọn C.
Từ bảng xét dấu ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=-3$, $x=0$ và $x=3$ nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Chọn B.
Quan sát bảng biến thiên, ta thấy $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$, do đó điểm cực đại của hàm số $y=f(x)$ là $x=0$.

Ta có $f^{\prime }(t)=(2t-k{t}^2)e^{-kt}=t(2-kt)e^{-kt}$ nên c) Sai.
Do $f(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=4$ nên $f^{\prime }(4)=0⟹2-4k=0⟺k=\frac{1}{2}$, suy ra a) Đúng và b) Đúng.
d) Đúng: Các thế hệ sinh ra tại $t=4$ ($10$ cá thể), $t=8$ ($100$ cá thể), $t=12$ ($1000$ cá thể), $t=16$ ($10000$ cá thể). Vì mỗi cá thể chỉ sống được đúng $6$ tuần nên tại $t=17$, chỉ còn các cá thể sinh ra tại $t=12$ (được $5$ tuần tuổi) và $t=16$ (được $1$ tuần tuổi), tổng cộng là $1000+10000=11000$ cá thể.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=0⟺x=0$ hoặc $x=2$. Bảng biến thiên:



Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=0,y=2$. Do đó tọa độ điểm cực đại của đồ thị là $(0;2)$.

Điều kiện xác định $x\le 2$. Đặt $g(x)=f(\sqrt{2-x})$, ta có $g^{\prime }(x)=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}{f}^{\prime }(\sqrt{2-x})$. Dựa vào đồ thị $f^{\prime }(t)$, $f^{\prime }(t)=0⟺t=-1,t=1,t=4$. Do $\sqrt{2-x}\ge 0$, phương trình có nghiệm $\sqrt{2-x}=1⟺x=1$ và $\sqrt{2-x}=4⟺x=-14$. Lập bảng xét dấu $g^{\prime }(x)$ trên $(-\infty ;2)$, ta thấy hàm số có đúng 3 điểm cực trị trong đó có 3 điểm cực tiểu khi xét tính liên tục tại biên hoặc đổi dấu đạo hàm.