Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và giá trị cực đại là $y_{CĐ}=5$.

Từ bảng xét dấu đạo hàm, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-1$ và $x=4$, nên hàm số có $2$ điểm cực đại.

Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy đồ thị có $2$ điểm cực đại và $2$ điểm cực tiểu, tức là hàm số có tất cả $4$ điểm cực trị.

Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và giá trị cực đại là $y=1$.

Đặt $h(x)=f(2-x)$. Từ đồ thị ta có $h^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$, suy ra $f^{\prime }(u)=0\iff u=-1$ hoặc $u=1$. Hàm số $x^{2023}+2022x-m^2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $|x^{2023}+2022x-m^2|+m\ge m$ với một điểm cực tiểu duy nhất. Để hàm số $g(x)$ có nhiều điểm cực trị nhất thì $m<-1$. Với $m\in (-2022;2022)$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{-2021;-2020;\dots ;-2\}$, gồm $2020$ giá trị nguyên.

Từ bảng biến thiên, điểm cực tiểu của hàm số là $x=1$ và giá trị cực tiểu tương ứng là $y_{CT}=-1$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=-1$ (từ $+$ sang $-$), qua $x=3$ (từ $-$ sang $+$), và qua $x=4$ (từ $+$ sang $-$). Tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn mang dấu $-$). Do đó hàm số có đúng 3 điểm cực trị. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn C.

Ta có $g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2+1)$. Để $g(x)$ có 9 điểm cực trị thì phương trình $f^{\prime }(x^2+1)=0$ phải có 8 nghiệm phân biệt khác 0, tương đương với $f^{\prime }(t)=0$ có 4 nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Phương trình $t^2-7t+10=0\iff t=2$ hoặc $t=5$ (đều $>1$). Do đó tam thức $h(t)=t^2-2(m+1)t+2m+6=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 và khác 2, 5. Giải điều kiện ${\Delta }^{\prime }>0$, $af(1)>0$, $S/2>1$, kết hợp với $m\le 2022,m\in \mathbb{Z}$, ta tìm được 2019 giá trị nguyên của $m$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{4}{3}$ (hai nghiệm đơn), nên hàm số có $2$ điểm cực trị. Chọn B.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{ct}=-3$. Chọn đáp án C.

Dựa vào đồ thị hàm số trùng phương, hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x=-1$ và $x=1$, giá trị cực tiểu tương ứng là $y_{ct}=2$ (đạt cực đại tại $x=0$ với $y_{cđ}=3$). Vậy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng $2$. Chọn đáp án A.

Dựa vào đồ thị hàm số, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là $(1;-1)$, còn điểm cực đại có tọa độ là $(-1;3)$. Do đó khẳng định đúng là C. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn C.

Dựa vào bảng xét dấu $f^{\prime }(x)$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1$ (từ $+$ sang $-$), $x=2$ (từ $-$ sang $+$), $x=4$ (từ $+$ sang $-$), $x=5$ (từ $-$ sang $+$). Tại $x=3$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (giữ dấu $+$). Do đó hàm số có 4 điểm cực trị. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.

Điểm $x=1$ là nghiệm bội chẵn nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu qua $x=1$. Do đó để hàm số có đúng một điểm cực trị thì phương trình $x^2+mx+9=0$ hoặc vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép, hoặc có hai nghiệm trong đó có nghiệm bằng 0. Vì hệ số tự do là 9 nên phương trình không có nghiệm $x=0$. Do đó điều kiện là $\Delta =m^2-36\le 0\iff -6\le m\le 6$. Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;4;5\}$ (hoặc trường hợp mở rộng loại $m=6$). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn D.

Đạo hàm $y^{\prime }=(2x-2)f^{\prime }\left(x^2-2x+\frac{m}{2}\right)$. Hàm số có 9 điểm cực trị khi phương trình $f^{\prime }\left(x^2-2x+\frac{m}{2}\right)=0$ có 8 nghiệm phân biệt khác 1.

Dựa vào đồ thị $f^{\prime }(x)$, phương trình $f^{\prime }(u)=0$ có các nghiệm phân biệt, dẫn đến điều kiện của tham số $m$ để đồ thị có đúng 4 giao điểm sinh ra 8 nghiệm phân biệt. Giải bất phương trình cho $m$ ta tìm được 11 giá trị nguyên thuộc $(-10;10)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $4$ điểm $x=-1$, $x=0$, $x=2$, $x=4$ nên hàm số đã cho có $4$ điểm cực trị.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm $x=3$.

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $3$ điểm $x=-1,x=0,x=1$ (qua $x=2$ đạo hàm không đổi dấu), nên hàm số có $3$ điểm cực trị. Chọn C.

Quan sát đồ thị hàm số, điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(0;4)$, do đó hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$ và giá trị cực đại là $y_{CĐ}=4$. Mệnh đề 'Hàm số đạt cực đại tại $x=4$' là sai. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn C.

Bảng biến thiên / xét dấu cho biết các điểm cực trị và nghiệm của hàm số $f(x)$. Hàm số $g(x)=x^4[f(x+1){]}^2\ge 0$. Đạo hàm $g^{\prime }(x)=4x^3[f(x+1){]}^2+2x^{4}f(x+1)f^{\prime }(x+1)=2x^{3}f(x+1)[2f(x+1)+x{f}^{\prime }(x+1)]$. Dựa vào bảng biến thiên của $f(x)$, hàm số có giá trị cực tiểu bằng $-2$ và cực đại bằng $3$. Phương trình $f(x+1)=0$ có 4 nghiệm đơn, tại đó $[f(x+1){]}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 nên mỗi nghiệm đơn này là một điểm cực tiểu của $g(x)$. Kết hợp với điểm $x=0$ và nghiệm của thừa số còn lại, ta xác định được hàm số $g(x)$ có đúng 5 điểm cực trị. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 34), chọn D.