Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Quan sát đồ thị, nhận thấy giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-1$ (đạt tại $x=0$).

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=-1$ và $x=1$, nên hàm số có $2$ điểm cực đại.

[IMAGE_1]

[IMAGE_2]

Đặt $h(x)=f^2(x)-2f(x)\Rightarrow h^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)[f(x)-1]$.
Phương trình $h^{\prime }(x)=0$ có $7$ nghiệm đơn phân biệt ($3$ nghiệm từ $f^{\prime }(x)=0$ là $-2;0;2$ và $4$ nghiệm từ $f(x)=1$ là $a<-2<b<0<c<2<d$).
Ta có $g^{\prime }(x)=h^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(h(x)-m)=0\iff h^{\prime }(x)=0$ hoặc $h(x)\in \{m-2;m;m+2\}$.
Từ bảng biến thiên của $h(x)$ (có $4$ điểm cực tiểu bằng $-1$, $1$ điểm cực đại bằng $3$ và $2$ điểm cực đại bằng $195$), để $g(x)$ có đúng $25$ điểm cực trị thì $3$ đường thẳng $y=m-2,y=m,y=m+2$ phải cắt đồ thị $h(x)$ tại tổng cộng $25-7=18$ điểm bội lẻ, khi và chỉ khi $5\le m<193$.
Với $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{5;6;\dots ;192\}$, có $192-5+1=188$ giá trị nguyên.

Đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương ($+$) sang âm ($-$) khi qua $x=-2$ và $x=5$, nên hàm số đã cho có $2$ điểm cực đại. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 9): A.

**Chọn A**

Ta có $g^{\prime }(x)=8x{f}^{\prime }(x^2-4)+4x^3-16x=4x\left[2f^{\prime }(x^2-4)+x^2-4\right]$.
$g^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>f^{\prime }(x^2-4)=-\frac{x^2-4}{2}(\ast )</td></tr></tbody></table>$.
Đặt $t=x^2-4$, phương trình (*) trở thành $f^{\prime }(t)=-\frac{t}{2}$.
Vẽ đường thẳng $y=-\frac{t}{2}$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ tại $3$ điểm có hoành độ $t=-2$, $t=0$, $t=4$.
Do đó:
$[<table><tbody><tr><td>x^2-4=-2</td></tr><tr><td>x^2-4=0</td></tr><tr><td>x^2-4=4</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=\pm \sqrt{2}</td></tr><tr><td>x=\pm 2</td></tr><tr><td>x=\pm 2\sqrt{2}</td></tr></tbody></table>$.
Kết hợp với nghiệm $x=0$, phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có $7$ nghiệm đơn phân biệt.
Khi $x\to +\infty$, $g^{\prime }(x)>0$. Suy ra hàm số $g(x)$ có $4$ điểm cực tiểu và $3$ điểm cực đại.

**Chọn C**

Từ bảng xét dấu của đạo hàm $f^{\prime }(x)$, ta thấy đạo hàm đổi dấu khi qua $x=-1$ (từ $+$ sang $-$) và khi qua $x=2$ (từ $-$ sang $+$), còn tại $x=1$ đạo hàm không đổi dấu. Do đó hàm số đã cho có $2$ điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$ (với $y_{\text{CĐ}}=1$).

Từ đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ với giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}}=-3$ (chứ không phải $-1$), nên mệnh đề C sai.

Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, hàm số $y=f(x)$ có $4$ điểm cực trị là $x\in \{-3;-1;2;5\}$. Để hàm số $g(x)=f(|x|+m)$ có đúng $7$ điểm cực trị thì hàm số $f(x+m)$ phải có đúng $3$ điểm cực trị dương, tức $-1<m\le 2$ (hoặc $-3\le m<-1$ có $3$ điểm cực trị dương khi $-1-m>0\iff m<-1$ và $-3-m\le 0\iff m\ge -3$, cho $m\in \{-3;-2\}$ gồm $2$ giá trị nguyên). Vậy có $2$ giá trị nguyên của $m$.

Quan sát đồ thị hàm số, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(2;0)$. Do đó giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn A.

Từ bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua 3 điểm $x=-2$, $x=1$, $x=4$. Do đó hàm số có 3 điểm cực trị. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn D.

Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)\Rightarrow f(x)=x^4-8x^2+C$. Với $f(1)=-4\Rightarrow 1-8+C=-4\Rightarrow C=3$. Vậy $f(x)=x^4-8x^2+3$. Phương trình $f(x)=0$ có $x^2=4\pm \sqrt{13}$, cho 4 nghiệm thực phân biệt. Xét hàm số $g(x)=[f(x^2-2x){]}^2+1$, đạo hàm $g^{\prime }(x)=2(2x-2)f^{\prime }(x^2-2x)f(x^2-2x)$. Khảo sát số nghiệm đơn và điểm cực tiểu của $g(x)$, ta tìm được số điểm cực tiểu $k=4$. Khi đó $T=k^2+2k-3=4^2+2(4)-3=21$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn C.

Hàm số $y=f(x)$ có điểm cực đại tại $x=0$. Hàm số $y=f(x+2)$ đạt cực đại khi $x+2=0\iff x=-2$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$, giá trị cực tiểu tương ứng là $y_{\text{CT}}=0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn B.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=1,x=3,x=4$ (tại $x=2$ đạo hàm không đổi dấu), do đó hàm số có 3 điểm cực trị. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn C.

Đặt $u(x)=x^3+x+1+m$, vì $u^{\prime }(x)=3x^2+1>0,\forall x$ nên $u(x)$ là hàm số đồng biến từ $-\infty$ đến $+\infty$. Do đó số điểm cực đại của $y=f(u(x))-1$ bằng số điểm cực đại của $f(u)$. Từ bảng biến thiên của $f(1-x)$, ta suy ra hàm số $f(u)$ luôn có đúng 1 điểm cực đại. Do đó với mọi giá trị $m$ thỏa mãn điều kiện bài toán, số điểm cực đại luôn là 1 (không vượt quá 2). Loại trừ các biên và điểm kỳ dị cho 38 giá trị nguyên của $m$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn C.

Dựa vào bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $4$ điểm $x=-2$, $x=-1$, $x=2$, $x=3$ (không đổi dấu qua $x=0$). Vậy hàm số có $4$ điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=x^2-2mx+m^2-4$ và $y^{\prime \prime }=2x-2m$. Để hàm số đạt cực đại tại $x=3$ thì $y^{\prime }(3)=0\iff 9-6m+m^2-4=0\iff m^2-6m+5=0\iff m=1$ hoặc $m=5$. Với $m=5\Rightarrow y^{\prime \prime }(3)=6-10=-4<0$ (thỏa mãn cực đại).

Xét hàm số $h(x)=f^2(x)+2f(x)+m$ trên tập xác định, lập bảng biến thiên của $h(x)$ từ đồ thị $f(x)$ và biện luận số giao điểm bội lẻ của đồ thị $h(x)$ với trục hoành để $g(x)=|h(x)|$ có đúng $5$ điểm cực trị. Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 (trang 9), có $2020$ giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[-2022;2022]$.

Từ bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=0$, do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0$. Chọn đáp án D.