Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Dựa vào đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương trên hình vẽ, đồ thị có $2$ điểm cực tiểu và $1$ điểm cực đại nên hàm số có $3$ điểm cực trị.

Đây là đồ thị của hàm số đạo hàm $y=f^{\prime }(x)$. Từ đồ thị ta thấy $f^{\prime }(x)=0$ cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt ($x=0$, một điểm thuộc $(-2;-1)$ và một điểm thuộc $(1;2)$) và đổi dấu qua cả $3$ điểm đó, nên mệnh đề (I) đúng. Các điểm cực trị của $f(x)$ không phải là $\pm 1$ (vì $x=\pm 1$ là điểm cực trị của $f^{\prime }(x)$, tại đó $f^{\prime }(-1)=1\ne 0,f^{\prime }(1)=-1\ne 0$), nên (IV) sai. Trên $(1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)$ vẫn âm trên khoảng từ $1$ đến nghiệm dương nên (II) sai. Trên $(-1;0)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên (III) sai. Vậy chỉ có $1$ mệnh đề đúng.

Ta có $y^{\prime }=3^x-9$. Khi đó $y^{\prime }<0\iff 3^x<9\iff x<2$ và $y^{\prime }>0\iff x>2$. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ (nên cũng nghịch biến trên $(-\infty ;0)$), đạt cực tiểu tại $x=2$ với $y_{\text{CT}}=y(2)=\frac{9}{\ln 3}-18+17=\frac{9}{\ln 3}-1$. Mệnh đề "Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$" là sai.

Ta có $f(x)={(3u+u^2)|}_1^{x^2}=x^4+3x^2-4$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=4x^3+6x=2x(2x^2+3)=0\iff x=0$ (nghiệm đơn). Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực trị.

Ta có $g^{\prime }(x)=(3x^2+6x)e^{x^3+3x^2}{f}^{\prime }\left(e^{x^3+3x^2}-m\right)$. Phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm đơn $x=0,x=-2$ từ $3x^2+6x=0$, và các phương trình $e^{x^3+3x^2}=m-3,e^{x^3+3x^2}=m+3,e^{x^3+3x^2}=m+5$. Xét hàm $h(x)=e^{x^3+3x^2}$ có $h(-2)=e^4,h(0)=1$ và $h(x)>0$. Để $g(x)$ có đúng $7$ điểm cực trị thì trong ba đường thẳng $y=m-3,y=m+3,y=m+5$ phải có một đường cắt đồ thị $y=h(x)$ tại $3$ điểm phân biệt (tức thuộc $(1;e^4)$) và hai đường kia cắt tại $1$ điểm (tức lớn hơn $e^4$). Suy ra $\{\begin{array}{l}1<m-3<e^4\\ m+3\ge e^4\end{array}\iff e^4-3\le m<e^4+3$. Vì $e^4\approx 54,598$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{52;53;54;55;56;57\}$, có $6$ giá trị nguyên.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 8, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua các nghiệm bội lẻ $x=1,x=2,x=3$ (nghiệm $x=0$ có bội chẵn nên đạo hàm không đổi dấu). Do đó hàm số có $3$ điểm cực trị. Chọn A.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 1 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+6x=0⟺x=0$ hoặc $x=-2$. Hàm số nghịch biến trên $(-2;0)$ nên ý b sai; đạt cực đại tại $x=-2$ với $f(-2)=0$ và cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=-4$ đúng như đồ thị.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ và giá trị cực đại bằng $4$. Chọn D.

Xét hàm số $g(x)=f^2(x)+4f(x)$. Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)[f(x)+2]$. $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=0$ hoặc $f(x)=-2$. Từ đồ thị của $f(x)$, ta thấy $f(x)$ có 2 điểm cực trị và phương trình $f(x)=-2$ có 3 nghiệm phân biệt không trùng với điểm cực trị, do đó $g^{\prime }(x)=0$ có 5 nghiệm phân biệt đơn/bội lẻ $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$. Bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ cho thấy giá trị cực tiểu nhỏ nhất của $g(x)$ là $g(x)=(-2{)}^2+4(-2)=-4$. Hàm số $h(x)=|g(x)+3m|$ có đúng 5 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị $g(x)+3m$ không cắt trục hoành tại thêm điểm nào (nằm hoàn toàn phía trên trục hoành), tức là giá trị nhỏ nhất $g(x)+3m\ge 0\iff -4+3m\ge 0\iff m\ge \frac{4}{3}$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-100;100]$ nên $m\in \{2;3;4;\dots ;100\}$. Tổng các phần tử của tập hợp $S$ là $2+3+4+\cdots +100=\frac{(100+2)\cdot 99}{2}=5049$. Chọn C.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 25, mã đề 111; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)