Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đặc trưng trung tâm mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Số côn trùng tổng cộng: $n=6+12+23+31+39=111$. Đại diện mỗi nhóm là giá trị trung tâm: $[0;20)\to 10$, $[20;40)\to 30$, $[40;60)\to 50$, $[60;80)\to 70$, $[80;100]\to 90$. Tổng tích: $10\cdot 6+30\cdot 12+50\cdot 23+70\cdot 31+90\cdot 39=60+360+1150+2170+3510=7250$. Tuổi thọ trung bình: $\bar{x}=\frac{7250}{111}\approx 65,3$ ngày.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=10+18+23+20+15=86$. Số học sinh tương ứng 75% là $0,75\cdot 86=64,5$. Cộng dồn tần số: nhóm $[4;5)$ có 10, nhóm $[5;6)$ có 28, nhóm $[6;7)$ có 51, nhóm $[7;8)$ có 71. Vì $51<64,5\le 71$, giá trị phân vị 75% nằm trong nhóm $[7;8)$. Áp dụng công thức nội suy: $p_{75}=7+\frac{64,5-51}{20}\cdot 1=7+0,675=7,675\approx 7,68$ giờ. Vậy có 75% số học sinh ngủ ít nhất khoảng 7,68 giờ trong một buổi tối.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh: $n=3+5+28+14+8=58$. Giá trị đại diện của mỗi nhóm là trung điểm: $165;195;225;255;285$ (cm). Số cm trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 165+5\cdot 195+28\cdot 225+14\cdot 255+8\cdot 285}{58}=\frac{495+975+6300+3570+2280}{58}=\frac{13620}{58}\approx 234,8$ cm. Vậy thành tích trung bình nhảy xa khoảng $234,8$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh: $n=3+5+12+15+10+5=50$. Đại diện mỗi nhóm lần lượt là $4,5;5,5;6,5;7,5;8,5;9,5$. Số trung bình ghép nhóm: $\bar{x}=\frac{3\cdot 4,5+5\cdot 5,5+12\cdot 6,5+15\cdot 7,5+10\cdot 8,5+5\cdot 9,5}{50}=\frac{13,5+27,5+78+112,5+85+47,5}{50}=\frac{364}{50}=7,28\approx 7,3$. Vậy điểm trung bình của nhóm học sinh là $7,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh tổng cộng: $n=4+9+15+10+2=40$. Đại diện mỗi nhóm là giá trị trung tâm: nhóm $[0;4)$ có $2$; $[4;8)$ có $6$; $[8;12)$ có $10$; $[12;16)$ có $14$; $[16;20]$ có $18$. Thời gian tự học trung bình: $\bar{x}=\frac{2\cdot 4+6\cdot 9+10\cdot 15+14\cdot 10+18\cdot 2}{40}=\frac{8+54+150+140+36}{40}=\frac{388}{40}=9,7$ giờ/tuần. Vậy thời gian tự học trung bình mỗi tuần của học sinh lớp 11B là $9,7$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Sử dụng giá trị đại diện của mỗi nhóm (giá trị giữa): $[30;60)\to 45$, $[60;90)\to 75$, $[90;120)\to 105$, $[120;150)\to 135$, $[150;180)\to 165$. Thời gian trung bình: $\bar{x}=\frac{45\cdot 8+75\cdot 15+105\cdot 17+135\cdot 7+165\cdot 3}{50}=\frac{360+1125+1785+945+495}{50}=\frac{4710}{50}=94,2$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
a) Khoảng đại diện các nhóm lần lượt là 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5. Thời gian tự học trung bình: $\bar{x}=\frac{6\cdot 1,5+14\cdot 2,5+12\cdot 3,5+5\cdot 4,5+3\cdot 5,5}{40}=\frac{9+35+42+22,5+16,5}{40}=\frac{125}{40}=3,125$ giờ. Trung vị: $n=40$ nên $\frac{n}{2}=20$; tần số tích lũy: nhóm [1;2) là 6, nhóm [2;3) là 20, nhóm [3;4) là 32. Vì 20 nằm ở nhóm [3;4) (giá trị thứ 20 là điểm cuối nhóm [2;3), giá trị thứ 21 thuộc nhóm [3;4)), theo công thức trung vị nhóm chứa $\frac{n}{2}$: $Me=3+\left(\frac{20-20}{12}\right)\cdot 1=3$ giờ. b) Vì thời gian tự học trung bình $\bar{x}=3,125\ge 3$ giờ nên điều kiện thứ nhất của định hướng được thỏa mãn. Ngoài ra, số học sinh tự học từ 3 giờ trở lên là $12+5+3=20$ học sinh, chiếm $\frac{20}{40}\cdot 100\%=50\%\ge 50\%$, nên điều kiện thứ hai cũng thỏa mãn. Kết luận: phong trào tự học của lớp 11B đạt mức Tốt theo định hướng của giáo viên.

Cỡ mẫu $n=100$ nên $\frac{n}{4}=25$. Vì $22<25\le 22+23=45$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[30;60)$. Chọn A.

Nhóm chứa mốt là $[60;70)$ (có tần số lớn nhất là 16). Ta có $u_m=60$, $n_{m-1}=11$, $n_m=16$, $n_{m+1}=15$, độ dài nhóm $h=10$.
Mốt của mẫu số liệu là $M_o=60+\frac{16-11}{(16-11)+(16-15)}\cdot 10=60+\frac{25}{3}=\frac{205}{3}\approx 68,3$.

Cỡ mẫu $n=60$. Ta có $\frac{n}{2}=30$, nhóm chứa trung vị là $[60;70)$ (do $5+8=13<30<38$). Khi đó $M_e=60+\frac{30-13}{25}\cdot 10=66,8$. Chọn D.

Cỡ mẫu $n=60$. Ta có $\frac{3n}{4}=45$, mà $5+8+25=38<45<38+20=58$ nên nhóm chứa $Q_3$ là $[70;80)$. Khi đó $Q_3=70+\frac{45-38}{20}\cdot (80-70)=73,5$. Chọn B.

Cỡ mẫu $n=4+6+8+18+4=40$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x}=\frac{4\cdot 18,5+6\cdot 23,5+8\cdot 28,5+18\cdot 33,5+4\cdot 38,5}{40}=\frac{1200}{40}=30$.

Cỡ mẫu $n=30⟹\frac{n}{2}=15$. Tần số tích lũy của nhóm $[50;60)$ là $7<15$ và của nhóm $[60;70)$ là $7+16=23\ge 15$, nên trung vị thuộc khoảng $[60;70)$.

Cỡ mẫu $n=5+9+12+10+6=42$. Ta có $\frac{n}{4}=10,5$, mà tần số tích lũy của nhóm $[0;20)$ là $5<10,5$ và của nhóm $[20;40)$ là $5+9=14\ge 10,5$, nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là $[20;40)$.

- Ý a) Sai: Nhóm chứa mốt là $[6;8)$, mốt của mẫu số liệu là $M_o=6+\frac{37-20}{(37-20)+(37-21)}\cdot 2=6+\frac{34}{33}=\frac{232}{33}\approx 7,03\ne 7,5$.
- Ý b) Đúng: Số giờ làm thêm trung bình là $\bar{x}=\frac{3\cdot 12+5\cdot 20+7\cdot 37+9\cdot 21+11\cdot 10}{100}=6,94\ge 6$.
- Ý c) Đúng: Tổng số sinh viên được điều tra là $n=12+20+37+21+10=100$.
- Ý d) Đúng: Tứ phân vị thứ hai (trung vị) thuộc nhóm $[6;8)$ và bằng $Q_2=6+\frac{50-32}{37}\cdot 2=6+\frac{36}{37}\approx 6,97>6,5$.

Cỡ mẫu là $n=3+12+15+24+2=56$. Nhóm chứa trung vị là $[15,5;18,5)$. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $M_e=15,5+\frac{\frac{56}{2}-(3+12)}{15}\cdot 3=18,1$.

Cỡ mẫu $n=20$, nhóm chứa trung vị là $[15;20)$ nên $M_e=15+\frac{10-(1+3)}{8}\cdot 5=18,75$.

Cỡ mẫu $n=5+20+18+7+3=53$. Tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm $[45;50)$: $Q_1=45+\frac{\frac{53}{4}-5}{20}\cdot 5=47,0625\approx 47,1$.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x}=\frac{2\cdot 6+7\cdot 8+7\cdot 10+3\cdot 12+1\cdot 14}{20}=9,4\in [9;11)$.

Cỡ mẫu $n=20+65+40+25+12+10+8+5=185$, suy ra $\frac{n}{4}=46,25\in (20;85]$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[90;120)$. Do đó $a=90,b=120\Rightarrow S=a+b=210$.