Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $25x^2+70x+13\ge 0$. Tam thức có $\Delta =70^2-4\cdot 25\cdot 13=4900-1300=3600$, hai nghiệm $x=\frac{-70\pm 60}{50}$, tức $x=-\frac{13}{5}$ và $x=-\frac{1}{5}$. Vì hệ số $a=25>0$ nên tam thức dương ngoài khoảng hai nghiệm: $x\le -\frac{13}{5}$ hoặc $x\ge -\frac{1}{5}$. Vậy $\mathcal{D}=\left(-\infty ;-\frac{13}{5}\right]\cup \left[-\frac{1}{5};+\infty \right)$, tương ứng phương án D (lưu ý đề in gốc dùng $-\frac{1}{5}$, khớp với phương án D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $P(x)>1000$: $-25x^2+550x-1800>1000\iff -25x^2+550x-2800>0\iff x^2-22x+112<0$. Phương trình $x^2-22x+112=0$ có $\Delta =484-448=36$, nghiệm $x=\frac{22\pm 6}{2}$, tức $x=8$ và $x=14$. Vậy $P(x)>1000\iff 8<x<14$, khoảng $(a;b)=(8;14)$ nên $a+b=8+14=22$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{25x^2+70x+13}$ xác định khi $25x^2+70x+13\ge 0$. Xét tam thức bậc hai: $\Delta =70^2-4\cdot 25\cdot 13=4900-1300=3600>0$, có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{-70\pm 60}{50}$, tức $x_1=-\frac{13}{5}$, $x_2=-\frac{1}{5}$. Vì hệ số $a=25>0$ nên tam thức dương ngoài khoảng hai nghiệm: $25x^2+70x+13\ge 0\iff x\le -\frac{13}{5}$ hoặc $x\ge -\frac{1}{5}$. Vậy $\mathcal{D}=\left(-\infty ;-\frac{13}{5}\right]\cup \left[-\frac{1}{5};+\infty \right)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai cần hệ số của $x^2$ khác 0: $2m-4\ne 0\iff m\ne 2$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $-x^2+x+2>0\iff x^2-x-2<0\iff (x-2)(x+1)<0\iff -1<x<2$. Vậy tam thức nhận giá trị dương trên khoảng $(-1;2)$, khớp đáp án D (mã đề 0102).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2-x-2$ có $a=1>0$, nghiệm $x=-1$ và $x=2$ (vì $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$). Với $a>0$, tam thức âm giữa hai nghiệm, tức $f(x)<0$ khi $x\in (-1;2)$. Vậy đáp án D, trùng với bảng đáp án mã đề 0101 (Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{2x^2-5x+2}$ xác định khi $2x^2-5x+2\ge 0$. Phương trình $2x^2-5x+2=0$ có nghiệm $x=\frac{1}{2}$ và $x=2$ (vì $\Delta =25-16=9$). Do hệ số $a=2>0$ nên tam thức dương ngoài khoảng nghiệm: $2x^2-5x+2\ge 0⟺x\le \frac{1}{2}$ hoặc $x\ge 2$. Vậy tập xác định là $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right]\cup [2;+\infty )$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0003, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{2x^2-5x+2}$ xác định khi $2x^2-5x+2\ge 0$. Phương trình $2x^2-5x+2=0$ có nghiệm $x=\frac{1}{2}$ và $x=2$ (vì $\Delta =25-16=9$). Do hệ số $a=2>0$, tam thức $2x^2-5x+2$ dương ngoài khoảng hai nghiệm, nên điều kiện là $x\le \frac{1}{2}$ hoặc $x\ge 2$. Vậy tập xác định là $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right]\cup [2;+\infty )$, trùng với đáp án B (khớp với đáp án nguồn: mã đề 0001, câu 12 là B).

Lợi nhuận mỗi tháng của cửa hàng: $L(x)=(20-x)(x-11)=-x^2+31x-220$.
ĐK thỏa đề: $L(x)\ge 18,(x\ge 11)$.
Giải BPT: $-x^2+31x-238\ge 0\iff 14\le x\le 17$.
Mức giá cửa hàng đưa ra là từ 14 đến 17 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ dương với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol hướng lên ($a>0$) và không cắt trục hoành ($\Delta <0$). Nếu $\Delta =0$ thì $f(x)=0$ tại đỉnh, không thỏa $f(x)>0$ với mọi $x$. Vậy điều kiện là $\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta <0\end{array}$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 1002).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$ âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol có bề lõm hướng xuống ($a<0$) và đồ thị không cắt trục hoành ($\Delta <0$). Nếu $\Delta =0$ thì $f(x)\le 0$ và $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=0$, không thỏa $f(x)<0$ với mọi $x$. Vậy điều kiện là $\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta <0\end{array}$, tương ứng phương án A (khớp với đáp án nguồn).

Lợi nhuận mỗi tháng của cửa hàng: $L(x)=(18-x)(x-10)=-x^2+28x-180$.
ĐK thỏa đề: $L(x)\ge 15,(x\ge 10)$.
Giải BPT: $-x^2+28x-195\ge 0\iff 13\le x\le 15$.
Mức giá cửa hàng đưa ra là từ 13 đến 15 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=(m-3)x^2-2(m-2)x+4$.
a) Tam thức bậc hai luôn âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi hệ số $a<0$ (tức $m<3$) và ${\Delta }^{\prime }<0$ với ${\Delta }^{\prime }=(m-2{)}^2-4(m-3)\cdot 4=m^2-20m+52$. Đây đúng là tiêu chuẩn cần và đủ, nên khẳng định a) Đúng.
b) Với $m\ne 3$, hệ số của $x^2$ là $m-3\ne 0$, nên $f(x)$ là tam thức bậc hai. Đúng.
c) Khi $m=3$: $f(x)=-2x+4=0\iff x=2$, phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$. Đúng.
d) Khi $m=4$: $f(x)=x^2-4x+4=(x-2{)}^2\ge 0$ nhưng $f(2)=0$, nên $f(x)$ không luôn nhận giá trị dương với mọi $x\in \mathbb{R}$. Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án chính thức DDDS (mã đề 1002, PHẦN II Câu 2).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu chuẩn để tam thức bậc hai luôn âm là $a<0$ và ${\Delta }^{\prime }<0$, tức $m<3$ và ${\Delta }^{\prime }=m^2-20m+52<0$. Khẳng định đúng tiêu chuẩn này nên Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m\ne 3$ thì $a=m-3\ne 0$, nên $f(x)$ là tam thức bậc hai. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=3$, $f(x)=-2x+4=0\iff x=2$: nghiệm duy nhất. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=4$, $f(x)=(x-2{)}^2\ge 0$ và $f(2)=0$, nên không luôn dương với mọi $x$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x^2-2mx+m+2>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol $y=x^2-2mx+m+2$ (có hệ số $a=1>0$) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, tức là $\Delta <0$ với $\Delta =(-2m{)}^2-4(m+2)=4m^2-4m-8$. Khi đó $m^2-m-2<0\iff (m-2)(m+1)<0\iff -1<m<2$. Các giá trị nguyên $m\in [-20;20]$ thỏa mãn là $m=0$ và $m=1$, vậy có 2 giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu trả lời ngắn số 1 là 2).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x^2-16\le 0\iff x^2\le 16\iff -4\le x\le 4$. Vậy tập nghiệm là $S=[-4;4]$, tương ứng phương án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức luôn âm khi $a<0$ và $\Delta <0$. Xét A: $-x^2+2x-5$ có $a=-1<0$, $\Delta =2^2-4(-1)(-5)=4-20=-16<0$ nên luôn âm với mọi $x$. B: $-x^2+4x-4$ có $\Delta =16-16=0$ nên $\le 0$, bằng $0$ tại $x=2$, không luôn âm. C: $x^2-2x+5$ có $a=1>0$ nên luôn dương. D: $-x^2+10x-2$ có $\Delta =100-8=92>0$ nên đổi dấu. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=(m-2)x^2-2(m-1)x+3$.
a) Đúng. Khi $m\ne 2$, hệ số của $x^2$ là $m-2\ne 0$ nên $f(x)$ là tam thức bậc hai.
b) Đúng. Với $m=2$: $f(x)=-2x+3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}$ (có nghiệm). Với $m\ne 2$: ${\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-3(m-2)=m^2-5m+7$ có ${\Delta }_m=25-28=-3<0$ nên ${\Delta }^{\prime }>0$ với mọi $m$, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy với mọi $m$, $f(x)=0$ đều có nghiệm.
c) Sai. Khi $m=3$: $f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ có hai nghiệm $x=1,x=3$, nên $f(1)=0$, không luôn dương.
d) Sai. Để $f(x)<0\forall x\in \mathbb{R}$ với $m\ne 2$ cần $a=m-2<0$ và ${\Delta }^{\prime }<0$, tức $m<2$ và $m^2-5m+7<0$; nhưng $m^2-5m+7>0$ với mọi $m$ (vì ${\Delta }_m=-3<0$), nên không tồn tại $m$. Với $m=2$, $f(x)=-2x+3$ không luôn âm. Vậy không có $m$ nào để $f(x)$ luôn âm, mệnh đề 'khi và chỉ khi $m\le 2$' sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ-S-S-S (DDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m\ne 2$, hệ số $m-2\ne 0$ nên $f(x)$ là tam thức bậc hai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$m=2$: phương trình bậc nhất có nghiệm $x=\frac{3}{2}$. $m\ne 2$: ${\Delta }^{\prime }=m^2-5m+7>0$ với mọi $m$ vì ${\Delta }_m=-3<0$, luôn có nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=3$: $f(x)=x^2-4x+3$ có nghiệm $x=1,3$ nên $f(1)=0$, không luôn dương.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $m-2<0$ và ${\Delta }^{\prime }=m^2-5m+7<0$, nhưng ${\Delta }^{\prime }>0$ với mọi $m$; với $m=2$ thì $f(x)=-2x+3$ không luôn âm. Không tồn tại $m$ thỏa, nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $25-x^2>0\iff x^2<25\iff -5<x<5$. Vậy tập nghiệm là $S=(-5;5)$, trùng với đáp án B (khớp bảng đáp án mã đề 1001, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $a{x}^2+bx+c$ luôn dương khi $a>0$ và $\Delta <0$. Xét các phương án: A: $\Delta =(-10{)}^2-4(1)(-2)=108>0$ (có hai nghiệm, đổi dấu) — sai. B: $x^2-2x+10$ có $a=1>0$, $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 10=-36<0$ nên luôn dương với mọi $x$ — đúng. C: $\Delta =100-8=92>0$ — sai. D: $a=-1<0$ nên không thể luôn dương — sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 8: B).