Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3+1$. a) Theo định nghĩa đạo hàm tại điểm $x_0=2$: $f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$, đúng. b) $f^{\prime }(x)=3x^2\ne x^2$, sai. c) $f^{\prime }(1)=3\cdot 1^2=3\ne -1$, sai. d) Tại $x_0=2$: $f(2)=9$, $f^{\prime }(2)=12$, tiếp tuyến $y=12(x-2)+9=12x-15\ne 12x-3$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2$, không phải $x^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(1)=3\cdot 1^2=3\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=9$, $f^{\prime }(2)=12$ nên tiếp tuyến là $y=12(x-2)+9=12x-15\ne 12x-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5: $f(x)=x^2+2$.
a) Đúng theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ (hàm đa thức nên tồn tại với mọi $x_0$).
b) $f^{\prime }(x)=2x$ đúng.
c) $f^{\prime }(3)=2\cdot 3=6$ đúng.
d) Tại $x_0=1$: $f(1)=3$, $f^{\prime }(1)=2$, tiếp tuyến $y=2(x-1)+3=2x+1$ đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa đạo hàm của hàm số tại $x_0$; vì $f$ là đa thức nên đạo hàm tồn tại với mọi $x_0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(x^2+2{)}^{\prime }=2x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(3)=2\cdot 3=6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x_0=1$: $f(1)=3$, hệ số góc $f^{\prime }(1)=2$, nên tiếp tuyến là $y=2(x-1)+3=2x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$, nên $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$. Tại $x_0=0$: $f^{\prime }(0)=\frac{-2}{(0-1{)}^2}=-2$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=2\sqrt{x}$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ với $x>0$. Tại $x_0=1$: $f^{\prime }(1)=\frac{1}{\sqrt{1}}=1$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0=1$ bằng $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1}{x}$, suy ra $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$. Tại $x_0=-1$: $f^{\prime }(-1)=-\frac{1}{(-1{)}^2}=-1$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=gt=9,8t$. Tại $t=3$: $v(3)=9,8\cdot 3=29,4m/s$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+5$. Tại $t=3$: $v(3)=3\cdot 9-6\cdot 3+5=27-18+5=14$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ tăng nhiệt độ là đạo hàm $f^{\prime }(t)=2t+1$. Tại $t=5(s)$: $f^{\prime }(5)=2\cdot 5+1=11$. Vậy tốc độ tăng nhiệt độ tại thời điểm $t=5(s)$ là $11{}^{0}C/s$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^4+x$ có đạo hàm $y^{\prime }=4x^3+1$. Kiểm tra điểm $A(-1;0)$ thuộc đồ thị: $(-1{)}^4+(-1)=1-1=0$. Hệ số góc tiếp tuyến tại $x=-1$ là $k=y^{\prime }(-1)=4(-1{)}^3+1=-4+1=-3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
h(t)=-t^2+8t. a) h(3)=-9+24=15 (m), không phải 14 → Sai. b) v(t)=h'(t)=-2t+8, không phải -2t-8 → Sai. c) v(2)=-4+8=4 (m/s) → Đúng. d) v(t)=0 ⇔ t=4 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
h(3)=-3^2+8·3=15 (m) ≠ 14 (m).
b) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=h'(t)=-2t+8 (m/s), không phải -2t-8.
c) (AI giải đề cho tôi)
v(2)=-2·2+8=4 (m/s).
d) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=-2t+8=0 ⇔ t=4 (giây).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-4t+6$ (m/s). Tại $t=2$: $v(2)=4-8+6=2$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
Vật chạm đất khi $h(t)=0$: $10-4,9t^2=0\Rightarrow t^2=\frac{10}{4,9}\Rightarrow t=\sqrt{\frac{10}{4,9}}\approx 1,4286$ giây.

Vận tốc tức thời là $v(t)=h^{\prime }(t)=-9,8t$. Tại thời điểm chạm đất:
$$v=-9,8\cdot \sqrt{\frac{10}{4,9}}=-9,8\cdot \frac{\sqrt{98}}{7}=-14\text{(m/s)}.$$

Dấu âm chỉ chiều rơi xuống, nên độ lớn vận tốc (tốc độ) của vật khi chạm đất là $14$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x$. Tiếp tuyến song song với $y=9x+7$ nên hệ số góc $k=9$, tức $3x^2-6x=9\iff x^2-2x-3=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$.

- Với $x_0=3$: $y_0=27-27+2=2$, tiếp tuyến: $y=9(x-3)+2=9x-25$.
- Với $x_0=-1$: $y_0=-1-3+2=-2$, tiếp tuyến: $y=9(x+1)-2=9x+7$.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn: $y=9x-25$ và $y=9x+7$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-2x$. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 nên $3x^2-2x=1\iff 3x^2-2x-1=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$. Vì điểm $M$ có hoành độ dương nên $x_0=1$, khi đó $y_0=1^3-1^2+10=10$, tức $M(1;10)$. Phương trình tiếp tuyến: $y=1\cdot (x-1)+10=x+9$. Vậy $y=x+9$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm, $f^{\prime }(11)=\underset{x\to 11}{\lim }\frac{f(x)-f(11)}{x-11}=12$. Giới hạn này chỉ cho biết đạo hàm của $f$ tại điểm $x=11$ bằng 12, không kết luận được $f^{\prime }(x)$ bằng hằng số nào với mọi $x$, cũng không nói gì về $f^{\prime }(12)$. Do đó khẳng định đúng là $f^{\prime }(11)=12$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1145, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+36t+1$. Tại $t=1$: $v(1)=-3(1{)}^2+36(1)+1=-3+36+1=34$ m/s. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2x(x-1)=2x^2-2x$. Tính $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=2(x+\Delta x{)}^2-2(x+\Delta x)-(2x^2-2x)=2x^2+4x\Delta x+2(\Delta x{)}^2-2x-2\Delta x-2x^2+2x=4x\Delta x+2(\Delta x{)}^2-2\Delta x$. Do đó tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x(4x+2\Delta x-2)}{\Delta x}=4x+2\Delta x-2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Định lý cơ bản: nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì $f$ liên tục tại $x_0$. Thật vậy, từ $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$ tồn tại, ta có $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)-f(x_0))=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot 0=0$, tức $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$. Vậy phát biểu C đúng. Phát biểu A và D sai: đạo hàm một bên (trái hoặc phải) tồn tại không kéo theo tính liên tục, ví dụ $f(x)=1$ với $x\ge 0$, $f(x)=0$ với $x<0$ có đạo hàm phải tại $0$ bằng $0$ nhưng gián đoạn tại $0$. Phát biểu B sai vì có đạo hàm tại $x_0$ chỉ bảo đảm liên tục tại $x_0$, không nói gì về điểm $-x_0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x_0=2$: $y_0=8-6=2$. $y^{\prime }=3x^2-3$, $y^{\prime }(2)=9$. Tiếp tuyến: $y=2+9(x-2)=9x-16$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=S^{\prime }(t)=t^2-4t+3$. Tại $t=4$: $v(4)=16-16+3=3$ (m/s). Vậy chọn đáp án B.