Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x-1)(x+3)$. $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<1$, nên khoảng nghịch biến là $(-3;1)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=-x^3-2x+1$ có $y^{\prime }=-3x^2-2<0$ với mọi $x$, nên hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=\frac{x-2}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nhưng hàm không xác định tại $x=-1$, nên không đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. C) $y=3x^3+3x-2$ có $y^{\prime }=9x^2+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. D) $y=2x^3-5x+1$ có $y^{\prime }=6x^2-5$ đổi dấu tại $x=\pm \sqrt{5/6}$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(-2;1)$ nên hàm số đồng biến trên $(-2;1)$. Trên $(-\infty ;-2)$ và $(1;+\infty )$ hàm số nghịch biến. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đi lên từ $(-3;-1)$ đến đỉnh $(-1;1)$, sau đó đi xuống đến điểm $(1;0)$, rồi lại đi lên đến $(3;4)$. Vậy hàm đồng biến trên $(-3;-1)$ và $(1;3)$, nghịch biến trên $(-1;1)$. Do đó A sai (khoảng $(1;4)$ ngoài tập xác định và hàm không đồng biến liên tục qua $(-1;1)$), B sai (đồ thị chỉ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, khoảng $x=-2$ và $x=1$), D sai vì trên $(-2;1)$ hàm vừa đồng biến vừa nghịch biến. Khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+3x^2+2$, ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $-3x(x-2)>0\iff x(x-2)<0\iff 0<x<2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\sqrt{x^3+x-5}$, tập xác định là $D=\{x:x^3+x-5\ge 0\}=[\alpha ;+\infty )$ với $\alpha$ là nghiệm duy nhất của $x^3+x-5=0$. Đặt $g(x)=x^3+x-5$, có $g^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ nên $g$ đồng biến, do đó $y=\sqrt{g(x)}$ đồng biến trên $D$ (khoảng xác định). Vậy hàm số đơn điệu (đồng biến) trên tập xác định.
- B: $y=\frac{4x-2}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{4(x-1)-(4x-2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nhưng tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ không phải khoảng nên không đơn điệu trên toàn tập xác định.
- C: $y=x^4+x^3+x+11$ có $y^{\prime }=4x^3+3x^2+1$ đổi dấu (ví dụ $y^{\prime }(-1)=0$, $y^{\prime }(-0.8)=4(-0.512)+3(0.64)+1=0.272>0$, $y^{\prime }(0)=1>0$, nhưng $y^{\prime }(-1.5)=-13.5+6.75+1<0$), nên hàm không đơn điệu trên $\mathbb{R}$.
- D: $y=\cot 2x$ có tập xác định là hợp của nhiều khoảng, không đơn điệu trên toàn tập xác định.
Vậy đáp án đúng là A.

Áp dụng định lý về dấu đạo hàm để xét tính đơn điệu: $f^{\prime }(x)<0,\forall x\in (-2;1)\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;1)$. Trong đề Mã đề 2102 (trang nguồn 6), khoảng $(-2;1)$ là phương án B. (Lời giải nguồn in ở trang 12 với thứ tự phương án khác, chọn C tương ứng khoảng $(-2;1)$.)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên khoảng $(-3;-1)$ hàm số đi lên (đồng biến), trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi xuống từ điểm cao nhất $(-1;1)$ đến điểm thấp nhất $(1;0)$ nên hàm nghịch biến, trên khoảng $(1;3)$ đồ thị đi lên từ $(1;0)$ đến $(3;4)$ nên đồng biến. Vậy khẳng định đúng là 'nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$', tức phương án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-3)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-3;-2)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-2;-1)$, $y^{\prime }>0$ trên $(-1;+\infty )$; hàm số không xác định tại $x=-2$ (tiệm cận đứng, hai nhánh đi từ $-\infty$ bên trái và từ $+\infty$ bên phải).
- A sai: hàm không nghịch biến trên hợp $(-3;-2)\cup (-2;-1)$ vì lấy $x_1\to -2^{-}$ thì $f(x_1)\to -\infty$ còn $x_2\to -2^{+}$ thì $f(x_2)\to +\infty$, khi đó $f(x_1)<f(x_2)$ dù $x_1<x_2$.
- B sai: $(-3;-1)$ chứa điểm $x=-2$ mà hàm không xác định.
- C sai: trên $(-2;-1)$ hàm nghịch biến.
- D đúng: vì $y^{\prime }>0$ trên toàn $(-1;+\infty )$ nên hàm đồng biến trên khoảng con $(-1;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$. Với $x<3$ (và $x\ne 0$) thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>3$ thì $f^{\prime }(x)>0$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;3)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-1;2)$ nằm hoàn toàn trong $(-\infty ;3)$, nên hàm số nghịch biến trên $(-1;2)$. Các khoảng $(2;4)$, $(3;+\infty )$, $(0;4)$ đều chứa điểm $x>3$ nơi hàm đồng biến. Đáp án khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=e^x(x^2-3)+e^x\cdot 2x=e^x(x^2+2x-3)=e^x(x-1)(x+3)$. Vì $e^x>0$ nên $y^{\prime }<0\iff (x-1)(x+3)<0\iff -3<x<1$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3;1)$, khớp với đáp án A của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$. $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<0$, nên hàm số nghịch biến trên $(-2;0)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-2)$ và trên $(2;+\infty )$, nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này. Trong các đáp án, chỉ có $(3;+\infty )\subset (2;+\infty )$ là khoảng mà hàm số nghịch biến. Các khoảng $(-2;2)$, $(-\infty ;-1)$ (chứa phần $(-2;0)$ và $(-1;0)$ nơi $f^{\prime }>0$... thực tế $(-\infty ;-1)$ chứa đoạn $(-2;-1)$ với $f^{\prime }>0$), và $(-2;0)$ đều có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến. Vậy đáp án A khớp với khóa đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$ (và trên $(-2;0)$), nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$. Các khoảng khác: $(-2;2)$ chứa điểm $x=0$ không thuộc miền xác định liên tục, $(3;+\infty )$ và $(-\infty ;-1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên nghịch biến. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ khoảng $(0;1)$ là khoảng đồng biến. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2022, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2793, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3-3x-2$, có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. a) $f^{\prime }(x)<0$ khi $-1<x<1$ nên hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$: Đúng. b) $f(-1)=-1+3-2=0\ne 3$ nên $M(-1;3)\notin (C)$: Sai. c) Trên đoạn $[-1;1]$, hàm nghịch biến nên GTNN tại $x=1$: $f(1)=1-3-2=-4$: Đúng. d) Hàm đạt cực tiểu tại $x=1$ với $y_{CT}=f(1)=-4\ne 1$: Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn ĐSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-3<0$ với mọi $x\in (-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)-2=0\ne 3$, do đó $M(-1;3)\notin (C)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;1]$ hàm nghịch biến nên $\min f=f(1)=1-3-2=-4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực tiểu tại $x=1$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=f(1)=-4\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;0)$, $y^{\prime }>0$ trên $(0;1)$, hàm không xác định tại $x=1$ (y' có dấu ||), $y^{\prime }>0$ trên $(1;2)$, $y^{\prime }<0$ trên $(2;+\infty )$. Do đó hàm đồng biến trên $(1;2)$ (đáp án C). A sai vì trên $(2;+\infty )$ hàm nghịch biến; B sai vì trên $(-5;0)$ hàm nghịch biến nhưng trên $(0;1)$ đồng biến; D sai vì trên $(0;1)$ hàm đồng biến. Đáp án trùng với key đã cho (C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;1)$ (đi từ cực đại tại $x=-1$ xuống cực tiểu tại $x=1$), đồng biến trên $(1;2)$ và $(2;+\infty )$. Trong các khoảng được đưa ra, hàm số nghịch biến trên $(0;1)\subset (-1;1)$. Đáp án B, trùng với đáp án ma đề 1202.

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát đồ thị của hàm số $y=f(x)$ ở hình vẽ Câu 12 (mã đề 1201):
- Cùng phía trái: đường cong đi lên từ dưới lên, cắt trục hoành tại $x=-1$, đạt cực đại tại một điểm nằm giữa $x=-1$ và gốc $O$ (đỉnh đồ thị nằm bên trái trục $Oy$), sau đó đi xuống liên tục, cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương rồi cắt trục hoành tại $x=1$, đạt cực tiểu tại $x=1$.
- Từ $x=1$ đến $x=2$: đường cong đi lên.
- Từ $x=2$ đến $x=4$: đường cong đi xuống (có gợn sóng nhỏ), đạt cực tiểu tại $x=4$.
- Từ $x=4$ trở đi: đường cong đi lên.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;x_{CD})$, $(1;2)$, $(4;+\infty )$ (với $x_{CD}$ là hoành độ điểm cực đại, $-1<x_{CD}<0$) và nghịch biến trên các khoảng $(x_{CD};1)$, $(2;4)$.

Xét các phương án:
- A. $(1;2)$: hàm số đồng biến trên khoảng này → sai.
- B. $(-1;1)$: trên khoảng $(-1;x_{CD})$ hàm số đồng biến (vì cực đại nằm giữa $-1$ và $0$), nên hàm số không nghịch biến trên toàn khoảng $(-1;1)$ → sai.
- C. $(-\infty ;-1)$: hàm số đồng biến trên khoảng này → sai.
- D. $(0;1)$: vì điểm cực đại có hoành độ $x_{CD}\in (-1;0)$ và điểm cực tiểu là $x=1$, nên trên $(0;1)$ đồ thị đi xuống liên tục, hàm số nghịch biến → đúng.

Đối chiếu với đáp án chính thức của đề (Câu 12, mã đề 1201): D. Khớp với kết quả giải độc lập.