Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Vì $f^{\prime }(x)<0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $f\left(\frac{x^2+1}{x-2}\right)\ge f(10)\iff \frac{x^2+1}{x-2}\le 10$.
- Xét $x-2>0\iff x>2$: Bất phương trình tương đương với $x^2+1\le 10x-20\iff x^2-10x+21\le 0\iff 3\le x\le 7$. Vì $x$ nguyên dương nên $x\in \{3,4,5,6,7\}$ (5 giá trị).
- Xét $x-2<0\iff x<2$: Vì $x$ nguyên dương nên $x=1$. Thay $x=1$ vào ta có $\frac{1^2+1}{1-2}=-2\le 10$ (luôn đúng). Vậy $x=1$ là nghiệm.
Tập hợp các nghiệm nguyên dương là $S=\{1,3,4,5,6,7\}$, gồm 6 phần tử. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn D.

**Chọn C**



Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)>0\iff x\in (-\infty ;-2)\cup (1;2)$ và $f^{\prime }(x)<0\iff x\in (-2;1)\cup (2;+\infty )$.
Bảng biến thiên cho thấy $f(x)$ đạt cực đại tại $x=-2$ với $f(-2)=2020$, và do $f(2)\le f(-2)=2020$ nên $f(x)\le 2020,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow 2020-f(x)\ge 0$.
Ta có: $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(x)[2020-f(x)]$.
Để hàm số $g(x)$ nghịch biến thì $g^{\prime }(x)<0\iff f^{\prime }(x)>0\iff x\in (-\infty ;-2)\cup (1;2)$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;2)$.

**Chọn C**



Ta có: $y^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}-m$.
Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )\iff y^{\prime }\ge 0,\forall x\in (0;+\infty )\iff m\le \frac{2x}{x^2+1},\forall x\in (0;+\infty )$.
Xét $g(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ trên $(0;+\infty )$:
$g^{\prime }(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1{)}^2}=0\iff x=1$.
Bảng biến thiên cho thấy khi $x\to 0^{+}$ thì $g(x)\to 0$, $g(1)=1$, và khi $x\to +\infty$ thì $g(x)\to 0$.
Giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ trên $(0;+\infty )$ là $0$ (infimum).
Do đó $m\le 0$.
Vì $m$ là số nguyên thuộc $[-2022;2022]$ nên $m\in \{-2022;-2021;\dots ;0\}$.
Số phần tử của $S$ là $0-(-2022)+1=2023$.

Ta có $y^{\prime }=2f^{\prime }(2x+1)-12x^2+18x-6=2f^{\prime }(2x+1)-6(2x-1)(x-1)$. Với $x\in \left(\frac{1}{2};1\right)\Rightarrow 2x+1\in (2;3)$ thì $f^{\prime }(2x+1)>0$ và $-6(2x-1)(x-1)>0$. Do đó $y^{\prime }>0,\forall x\in \left(\frac{1}{2};1\right)$, hàm số đồng biến trên $\left(\frac{1}{2};1\right)$. Chọn A.

Ta có $y^{\prime }=x^2-2(m+1)x+m^2+2m=(x-m)(x-m-2)$. Nghiệm của $y^{\prime }=0$ là $x=m$ và $x=m+2$. Để hàm số đồng biến trên $(1;5)$ thì khoảng $(1;5)$ không được giao với khoảng $(m;m+2)$, tức là $m+2\le 1\iff m\le -1$ hoặc $m\ge 5$. Kết hợp $m\in [-100;100]$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta có: $m\in \{-100;-99;\dots ;-1\}$ (100 giá trị) hoặc $m\in \{5;6;\dots ;100\}$ (96 giá trị). Tổng số giá trị nguyên của $m$ là $100+96=196$.


Chọn D.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{m\}$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{-m^2+4}{(x-m{)}^2}$. Hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )\iff \{\begin{array}{l}-m^2+4<0\\ m\notin (0;+\infty )\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2>4\\ m\le 0\end{array}\iff m<-2$. Vì $m\in (-6;6)$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-5,-4,-3\}$, có 3 giá trị nguyên. Chọn A.

Ta có $g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(2-x)-x+1=-[f^{\prime }(2-x)-(1-x)]$. Đặt $t=2-x\Rightarrow 1-x=t-1$. Khi đó $g^{\prime }(x)\le 0\iff f^{\prime }(t)\ge t-1$. Dựa vào đồ thị $f^{\prime }(t)$ và đường thẳng $y=t-1$, ta xác định các khoảng nghịch biến của hàm số, suy ra hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$. Chọn B.

Ta có $f^{\prime }(x)=x^2+2mx+4$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }=m^2-4\le 0\iff -2\le m\le 2$.

Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;-1;0;1;2\}$. Có $5$ giá trị nguyên của tham số $m$.

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn D**
 + Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
m ( −m + 1) − 1. ( −2 ) > 0 ⇔ −m 2 + m + 2 > 0 ⇔ −1 < m < 2.

**Chọn B**
Bảng xét dấu f ' ( x )

g ' ( x ) 2 xf ' ( x 2 − 2 )
Ta có:=

x = 0
x = 0 x = 1
x = 0  
g ' ( x ) =0 ⇔  ⇔  x 2 − 2 =−1 ⇔  x =−1
 f ' ( x − 2 ) =
2
0 
 x2 − 2 =
 2 x = 2
 x = −2

Bảng xét dấu g ' ( x )
 Từ bảng dấu g ' ( x ) ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −2 ) .

x − 2 y +1 z −1

**Chọn B**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Chọn D.

Ta có $y^{\prime }=12x^3-12(a+2)x^2+24ax=12x(x^2-(a+2)x+2a)=12x(x-2)(x-a)$.
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\le 0,\forall x\in (-\infty ;-2)$.
Vì với $x<-2$ thì $12x<0$ và $x-2<0$, nên $12x(x-2)>0$.
Do đó $y^{\prime }\le 0\iff x-a\le 0\iff a\ge x,\forall x\in (-\infty ;-2)\iff a\ge -2$.
Kết hợp $a\in [-10;10]$ và $a\in \mathbb{Z}$, ta có $a\in \{-2,-1,0,1,\dots ,10\}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là $10-(-2)+1=13$.

Chọn C
( x) x
2
-1 ( x ) x
Ta đặt h ( x ) = f (1 - ) - $\Rightarrow$ h$\mathbb{Z}$ ( x ) = f $\mathbb{Z}$ (1 - ) -
( 2) 8 2 ( 2) 4
-1 ( x ) x ( x ) -x
h$\mathbb{Z}$ ( x ) = 0 $\iff$ f $\mathbb{Z}$ (1 - ) - = 0 $\iff$ f $\mathbb{Z}$ (1 - ) = , (1)
2 ( 2) 4 ( 2) 2
Đặt
x
t = 1 - $\Rightarrow$ x = 2 - 2t
2
t = 3 x = 0
(1) $\Rightarrow$ f $\mathbb{Z}$ ( t ) = t - 1 $\iff$ t = 1 $\Rightarrow$ x = -4

t = -1 x = 4

Ta có BBT

Vậy hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 2; 4 ) .

 HẾT 

- Ý (a): Đúng. $f(0)=(0^2-5(0)+7)e^0=7$. Mệnh đề đúng.
- Ý (b): Sai. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=(2x-5)e^x+(x^2-5x+7)e^x=(x^2-3x+2)e^x=(x-1)(x-2)e^x$. Hàm số chỉ nghịch biến trên $(1;2)$. Mệnh đề sai.
- Ý (c): Sai. Đạo hàm đúng là $f^{\prime }(x)=(x^2-3x+2)e^x$. Mệnh đề sai.
- Ý (d): Đúng. Trên đoạn $[0;2]$, $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$. Ta có $f(0)=7$, $f(1)=3e\approx 8,15$, $f(2)=e^2\approx 7,39$. Giá trị nhỏ nhất là $f(0)=7$. Mệnh đề đúng.

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi $y^{\prime }=\frac{m+2025}{(x+1{)}^2}>0⟺m>-2025$. Vì $m$ nguyên âm nên $m\in \{-2024;-2023;\dots ;-1\}$, có $2024$ giá trị (theo đáp án chính thức Trang 10, Mã đề 1202).

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi $y^{\prime }=\frac{2m-2025}{(x+2{)}^2}<0⟺2m-2025<0⟺m<1012,5$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2;\dots ;1012\}$, có $1012$ giá trị (theo đáp án chính thức Trang 5, Mã đề 1201).

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.
a) Sai vì trên $(-1;1)$ hàm số nghịch biến.
b) Sai vì trên $[-3;0]$, $f(-3)=-17,f(-1)=3,f(0)=1$ nên GTLN bằng $3$.
c) Đúng vì $f_{\text{CĐ}}+f_{\text{CT}}=f(-1)+f(1)=3+(-1)=2$.
d) Đúng vì đồ thị đi qua $(-1;3),(1;-1),(0;1)$ và có nhánh phải đi lên.

a) Đúng vì $0\le x<100$ và ${\lim }_{x\to 100^{-}}C(x)=+\infty$.
b) Sai vì $C^{\prime }(x)=\frac{30000}{(100-x{)}^2}$.
c) Đúng vì $C(20)=\frac{300\cdot 20}{80}=75$ (triệu đồng).
d) Đúng vì $C^{\prime }(x)>0,\forall x\in [0;100)$.

Ta có $f^{\prime }(t)=\frac{120}{(t+5{)}^2}>0$: a) Sai vì hàm số đồng biến. b) Đúng vì trên $[0;30]$, $\max f(t)=f(30)=\frac{158}{7}\approx 22,57<23$. c) Đúng (giao của TCĐ $t=-5$ và TCN $y=26$). d) Sai vì $f^{\prime }(t)$ giảm trên $[0;+\infty )$, đạt lớn nhất tại $t=0$ (năm 1970).