Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số bậc ba có điểm cực đại tại $x=0$ (giá trị $y=1$) và điểm cực tiểu tại $x=2$ (giá trị $y=-3$). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức là trên khoảng $(0;2)$. Kiểm tra các phương án: A sai vì trên $(0;3)$ hàm nghịch biến trên $(0;2)$ nhưng đồng biến trên $(2;3)$; B sai vì hàm chỉ đồng biến trên $(-\infty ;0)$; D sai vì hàm nghịch biến trên $(0;2)$. Vậy khẳng định đúng là C.

$y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+2m+1$

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+(m-1)x^2+(2m+1)x+m$ nghịch biến trên khoảng $(0;3)\iff y^{\prime }\le 0\forall x\in (0;3)$ (0.5 điểm)

$\iff x^2+2(m-1)x+2m+1\le 0\forall x\in (0;3)$

$\iff x^2-2x+1+2m(x+1)\le 0\forall x\in (0;3)$

$\iff 2m(x+1)\le -x^2+2x-1\forall x\in (0;3)$

$\iff m\le \frac{-x^2+2x-1}{2(x+1)}\forall x\in (0;3)$. (0.5 điểm)

Xét hàm số $g(x)=\frac{-x^2+2x-1}{2(x+1)},x\in (0;3)$.

$g^{\prime }(x)=\frac{-x^2-2x+3}{2(x+1{)}^2}$.

$$g^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\in (0;3)\\ x=-3\notin (0;3)\end{array}.$$ (0.5 điểm)

Bảng biến thiên hàm số $g(x)$:



Từ bảng biến thiên hàm số $g(x)$ trên $(0;3)$ suy ra $m\le -\frac{1}{2}$ là thỏa mãn yêu cầu bài toán. (0.5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đi lên từ $x=-4$ đến $x=-1$ (đạt cực đại tại $(-1;3)$), đi xuống từ $x=-1$ đến $x=2$ (đạt cực tiểu tại $(2;-2)$), rồi đi lên từ $x=2$ đến $x=4$. Vậy hàm đồng biến trên $(-4;-1)$ và $(2;4)$, nghịch biến trên $(-1;2)$. Do đó B, C, D đúng; khẳng định A sai vì trên $(-3;3)$ hàm vừa đồng biến vừa nghịch biến.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đồng biến trên $(-3;-1)$ (đi từ điểm $(-3;-2)$ lên đến $(-1;1)$), hằng (nghịch biến không đổi) trên $(-1;2)$ vì đồ thị là đoạn nằm ngang $y=1$, và đồng biến trên $(2;4)$ (đi từ $(2;1)$ lên $(4;5)$). Do đó hàm số không đồng biến trên $(-1;2)$, không đồng biến trên $(-2;5)$ (vì trên $(-1;2)$ hàm không đổi), không đồng biến trên $(-3;0)$ (trên $(-1;0)$ hàm không đổi). Hàm số đồng biến trên $(2;4)$ nên đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(-3;1)$ nên hàm số nghịch biến trên $(-3;1)$. Các khoảng khác: $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$ hàm đồng biến; $(0;2)$, $(0;+\infty )$ không phải khoảng nghịch biến.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ $x=0$ (giá trị $y=1$) và cực tiểu tại điểm có hoành độ $x=2$ (giá trị $y=-3$). Trên khoảng $(0;2)$, đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$. Kiểm tra các phương án khác: trên $(0;3)$ hàm nghịch biến rồi đồng biến (sau $x=2$), nên không đúng; $(-\infty ;1)$ và $(-3;1)$ chứa cả đoạn đồng biến trước $x=0$, không đúng. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x$ xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=x^2-2x-3$. Cho $y^{\prime }<0$: $x^2-2x-3<0\iff (x+1)(x-3)<0\iff -1<x<3$. Vậy khoảng nghịch biến là $(-1;3)$, tương ứng đáp án B (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^4-3x^2-3$ có đạo hàm $y^{\prime }=2x^3-6x=2x(x^2-3)=2x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$. Xét dấu của $y^{\prime }$: với $x<-\sqrt{3}$ thì $y^{\prime }<0$; với $-\sqrt{3}<x<0$ thì $y^{\prime }>0$; với $0<x<\sqrt{3}$ thì $y^{\prime }<0$; với $x>\sqrt{3}$ thì $y^{\prime }>0$. Vậy khoảng đồng biến là $(-\sqrt{3};0)$ và $(\sqrt{3};+\infty )$, tương ứng đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên dốc lên. Trên mỗi khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, hàm số đồng biến (nhánh trái tăng lên $+\infty$ khi $x\to -1^{-}$, nhánh phải tăng từ $-\infty$ khi $x\to -1^{+}$). Do đó $y^{\prime }\ge 0$ trên tập xác định, tức $y^{\prime }\ge 0,\forall x\ne -1$. Hàm không xác định tại $x=-1$ nên không thể có $y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
A) $y=-x^2+x+2$ là hàm bậc hai với $a=-1<0$, nghịch biến chỉ trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B) $y={\log }_{0,3}x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$, không xác định trên $\mathbb{R}$. C) $y=3x^4-6x^2$ có $y^{\prime }=12x^3-12x=12x(x-1)(x+1)$ đổi dấu qua $x=-1,0,1$, nên không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=-x^3+6$ có $y^{\prime }=-3x^2\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, đẳng thức chỉ xảy ra tại $x=0$, nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$, đạt cực đại tại $x=-2$; nghịch biến trên $(-2;0)$, đạt cực tiểu tại $x=0$; đồng biến trên $(0;+\infty )$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$: trên $(-\infty ;-2)$ hàm số nghịch biến (từ $+\infty$ giảm xuống $-1$); trên $(-2;0)$ hàm số đồng biến (từ $-1$ tăng lên $2$); trên $(0;2)$ hàm số nghịch biến (từ $2$ giảm xuống $0$); trên $(2;+\infty )$ hàm số đồng biến (từ $0$ tăng lên $+\infty$). Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-2;0)$ là khoảng đồng biến. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^2(3-x)=3x^2-x^3$, nên $f^{\prime }(x)=6x-3x^2=3x(2-x)$. Bất phương trình $f^{\prime }(x)>0$ tức $3x(2-x)>0$, tương đương $x(2-x)>0$, tức $x(x-2)<0$, suy ra $0<x<2$. Vậy tập nghiệm là $(0;2)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của hàm số $y=f(x)$ với tập xác định $[-3;3]$: trên khoảng $(-3;-1)$ đồ thị đi lên (từ điểm có tung độ $-1$ tới điểm cao nhất tại $x=-1$), trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi xuống (qua các điểm $(-1;1)$, $(0;0)$, $(1;-1)$), và trên khoảng $(1;3)$ đồ thị đi lên tới điểm $(3;4)$.
- A sai vì hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$ nên không đồng biến trên toàn bộ $(-3;3)$.
- B đúng: hàm số đồng biến trên cả hai khoảng $(-3;-1)$ và $(1;3)$, mô tả đầy đủ các khoảng đồng biến theo đồ thị.
- C: về mặt toán học hàm số cũng nghịch biến trên $(-1;0)$ (vì nghịch biến trên toàn $(-1;1)$), tuy nhiên đáp án chuẩn của đề là B vì B mô tả đầy đủ các khoảng đồng biến của hàm số.
- D sai vì $(1;4)$ nằm ngoài tập xác định $[-3;3]$ của hàm số.
Đáp án: B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=9x^2+2x=x(9x+2)$. Xét $y^{\prime }\le 0\iff x(9x+2)\le 0\iff -\frac{2}{9}\le x\le 0$. Vậy tập cần tìm là $\left[-\frac{2}{9};0\right]$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$. Bất phương trình $y^{\prime }>0$ tức $(x-1)(x-3)>0$, nghiệm $x<1$ hoặc $x>3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên $[-1;3]$: hàm số đồng biến trên $(-1;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$ (giá trị giảm từ $2$ xuống $1$), rồi đồng biến trên $(1;3)$. Do đó: A đúng (nghịch biến trên $(0;1)$); B sai vì trên $(0;3)$ hàm có cả đoạn nghịch biến $(0;1)$; C sai vì trên $(-1;2)$ có đoạn nghịch biến $(0;1)$; D sai vì trên $(1;2)$ hàm đồng biến. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên $(-1;0)$ hàm số đi lên từ điểm $(-1;0)$ đến $(0;2)$ nên đồng biến; trên $(0;1)$ hàm đi xuống từ $(0;2)$ đến $(1;1)$ nên nghịch biến; trên $(1;3)$ hàm đi lên từ $(1;1)$ đến $(3;3)$ nên đồng biến. Do đó: A đúng (đồng biến trên $(-1;0)$); B sai vì trên $(0;1)$ hàm nghịch biến; C sai vì hàm không đồng biến trên toàn $(-1;2)$; D sai vì trên $(1;2)$ hàm đồng biến chứ không nghịch biến. Kết quả khớp với đáp án nguồn A.

Đáp số: 1.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$ và đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$. Xét các mệnh đề: trên $(1;4)$ hàm số vừa nghịch biến vừa đồng biến nên A, B sai; trên $(0;1)$ hàm số nghịch biến (vì $(0;1)\subset (-\infty ;2)$) nên C sai, D đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 9: D).