Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, mắt một người quan sát đặt tại điểm $M(1;2;3)$ và vật cần quan sát đặt tại điểm $N(2;3;-12)$. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng $Oxy$ tâm đặt tại gốc tọa độ, bán kính $R$ che khuất tầm nhìn của người quan sát. Khi đó bán kính của tấm bìa nhỏ nhất là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{-3}$ và điểm $A(2;-5;-6)$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng lên (đơn vị đo là mét). Một xạ thủ đặt súng ở vị trí gốc tọa độ $O$ ngắm bắn mục tiêu theo hướng véctơ $\vec{u}=(3;-5;4)$ và tốc độ bay của viên đạn là $900\text{ m/s}$. Biết mục tiêu đang ở tọa độ điểm $A(170;-310;240)$ và bay với tốc độ $108\text{ km/h}$ theo hướng véctơ $\vec{v}=(1;1;0)$, viên đạn găm trúng mục tiêu tại tọa độ điểm $B(a;b;c)$. Tổng $a+b+c$ bằng bao nhiêu? (giả sử hướng bay và vận tốc bay là không đổi, viên đạn được tính xuất phát tại điểm $O$).

Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị đo trên các trục tính bằng mét). Đường cáp thẳng nối từ điểm $A$ đến điểm dừng $B$ trên đỉnh núi theo hướng vectơ $\vec{u}=(2;-2;1)$, tốc độ cabin là $4,5\text{ m/s}$. Giả sử sau 3 phút kể từ khi xuất phát, cabin ở vị trí điểm $M$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(8;2;0)$ và chuyển động đều trên đường thẳng $d$, cùng hướng với vectơ $\vec{u}=(2;-2;1)$, có tốc độ là $4,2\text{ m/s}$ (minh hoạ như hình vẽ bên dưới, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Sau thời gian 8 phút, cabin dừng ở điểm $B$. Khi đó, điểm $B$ cách mặt đất (mặt phẳng $Oxy$) bao nhiêu mét?

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ki-lô-mét), một máy bay đang ở vị trí $A(4;-0,5;0,5)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B(3;2,5;0)$ ở trên đường băng $EG$ (hình vẽ). Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(8;0;0)$, $N(0;-8;0)$ và $P(0;0;0,8)$.

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị các trục tọa độ là mét), một cơ sở quân sự đặt radar tại điểm $A(0;0;50)$ và cách đó không xa là một nhà kho chứa vũ khí bí mật đặt tại $B(200;300;0)$. Radar phát hiện một máy bay không người lái (drone) di chuyển theo đường thẳng từ điểm $M(500;-300;100)$ đến $N(-200;400;50)$ với vận tốc không đổi.

Trong một trung tâm nghiên cứu robot bay, người ta bố trí một thiết bị định vị tại điểm cố định $A(2;1;0)$ trong không gian ba chiều với hệ tọa độ $Oxyz$ (các đơn vị tọa độ được tính bằng mét). Thiết bị này giao tiếp đồng thời với hai cảm biến: Cảm biến thứ nhất di chuyển dọc theo đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2}$, cảm biến thứ hai được gắn trên mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y+z-1=0$. Giữa hai cảm biến được kết nối bằng một đường truyền $BC$, trong đó $B$ nằm trên đường thẳng $\Delta$; $C$ nằm trên mặt phẳng $(\alpha )$ và thiết bị định vị tại $A$ là trung điểm của đoạn $BC$. Biết rằng đường thẳng $BC$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-2;a;b)$, hãy tính giá trị $a+2b$.

Một thiết bị rađa được đặt tại trung tâm của trạm kiểm soát không lưu có bán kính thăm dò $R=300\text{ km}$. Chọn hệ tọa độ $Oxyz$, có gốc $O$ trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu được thiết lập với mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị tính bằng $1\text{ km}$. Một máy bay từ vị trí $A(200;-300;50)$ và đang bay về hướng trạm kiểm soát không lưu di chuyển theo đường thẳng đến vị trí $B(150;-200;30)$ với vận tốc bay không đổi $500\text{ km/h}$.

Người ta dự định đặt một máy chiếu ở vị trí $A$ và lắp đặt một màn chiếu xoay quanh một trục $\Delta$ cố định. Trong không gian $Oxyz$ giả sử $A(0;0;3)$ và phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=4-t\\ z=-2\end{array}$ (đơn vị trên mỗi trục là mét).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên trục là kilomet), mặt đất được coi là mặt phẳng $(Oxy)$. Có một máy bay dân dụng đang thực hiện quá trình hạ cánh, bắt đầu từ vị trí điểm $A(38;-16;6)$ và bay thẳng đến vị trí điểm $B(-2;4;1)$ gần đường băng. Máy bay duy trì tốc độ không đổi là $270\text{ km/h}$ trong suốt quá trình hạ cánh.

Một nhóm kỹ sư sử dụng flycam để giám sát một công trình điện mặt trời. Họ mô phỏng không gian công trình trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Mặt đất được xem là mặt phẳng $(Oxy)$, mái của công trình là một mặt phẳng song song với mặt đất và cách mặt đất $4\text{ m}$. Flycam bay theo đường thẳng bắt đầu từ điểm $A(11;-15;0)$ đến điểm $B(0;-6;13)$, sau đó từ điểm $B$ flycam tiếp tục bay theo đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{v}=(1;1;-2)$ để tìm một vị trí điểm $M$ phù hợp cho việc giám sát công nhân trên mái.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có véc-tơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;-2;1)$ với tốc độ là $4,5\text{ m/s}$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Giả sử sau $t\text{ (s)}$ kể từ lúc xuất phát ($t\ge 0$), cabin đến điểm $M$. Điểm $B$ có hoành độ $x_B=550$.