Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :x-2y+1=0$ có hệ số góc $k=\frac{1}{2}$. Hai đường thẳng cắt nhau khi hệ số góc khác nhau. Xét các phương án: A: $x+2y+1=0$ có hệ số góc $-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$ nên cắt $\Delta$. B: $2x-4y+2=0\iff x-2y+1=0$ trùng với $\Delta$. C: $-x+2y+1=0\iff x-2y-1=0$ song song với $\Delta$. D: $3x-6y+2=0\iff x-2y+\frac{2}{3}=0$ song song với $\Delta$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{\Delta }=(1;-2)$. Đường thẳng vuông góc với $\Delta$ phải có pháp tuyến là vectơ chỉ phương của $\Delta$, tức ${\vec{u}}_{\Delta }=(2;1)$. Xét các phương án: A có pháp tuyến $(1;2)$, tích $1\cdot 1+(-2)\cdot 2=-3\ne 0$; B có pháp tuyến $(2;-4)$ song song với $\Delta$; C có pháp tuyến $(2;1)$, tích vô hướng $1\cdot 2+(-2)\cdot 1=0$ nên vuông góc với $\Delta$; D có pháp tuyến $(2;-1)$, tích $2+2=4\ne 0$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :2x+y-3=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{\Delta }=(2;1)$. Hai đường thẳng vuông góc khi ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=0$. Xét từng phương án: A có pháp tuyến $(1;2)$: $2\cdot 1+1\cdot 2=4\ne 0$; B là $2x-4y+2=0$ có pháp tuyến $(2;-4)$: $2\cdot 2+1\cdot (-4)=0$ — thỏa mãn; C có pháp tuyến $(2;1)$: $2\cdot 2+1\cdot 1=5\ne 0$ (C song song với $\Delta$); D có pháp tuyến $(2;-1)$: $2\cdot 2+1\cdot (-1)=3\ne 0$. Vậy chỉ có đường thẳng ở phương án B vuông góc với $\Delta$. Đáp án: B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: $d_1:x=-t,y=-7+t$ có VTCP $\overrightarrow{u_1}=(-1;1)$; $d_2:x=3+3s,y=-5+2s$ có VTCP $\overrightarrow{u_2}=(3;2)$ và đi qua điểm $(3;-5)$.
a) VTCP của $d_1$ là $(-1;1)$, không cùng phương với $(1;1)$ vì $\frac{-1}{1}\ne \frac{1}{1}$ → Sai.
b) Với $s=0$: $x=3,y=-5$ nên $M(3;-5)\in d_2$ → Đúng.
c) $(3;2)\cdot (-2;3)=-6+6=0$ nên $(-2;3)$ vuông góc với VTCP, là một VTPT của $d_2$ → Đúng.
d) $d_1:x+y+7=0$ (hệ số góc $-1$), $d_2$ có hệ số góc $\frac{2}{3}$. Vì $-1\ne \frac{2}{3}$ nên hai đường thẳng cắt nhau. Giải hệ: $-t=3+3s$ và $-7+t=-5+2s$. Từ phương trình đầu $t=-3-3s$; thay vào: $-10-3s=-5+2s\Rightarrow s=-1,t=0$, giao điểm $(0;-7)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $(-1;1)$, không cùng phương với $(1;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $s=0$, $d_2$ đi qua $(3;-5)$ nên $M\in d_2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
VTCP $(3;2)$ vuông góc với $(-2;3)$ vì $-6+6=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của $d_1$ là $-1$, của $d_2$ là $2/3$, khác nhau nên hai đường thẳng cắt nhau. Giải hệ: $-t=3+3s$ và $-7+t=-5+2s$. Từ phương trình đầu: $t=-3-3s$; thay vào: $-10-3s=-5+2s\Rightarrow s=-1$, $t=0$, giao điểm $(0;-7)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Từ phương trình tham số của $d_1$, vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}(3;2)$ → đúng. b) Thay $M(2;1)$ vào $d_2$: $2\cdot 2-3\cdot 1-1=0$ → $M\in d_2$ → đúng. c) $d_2:2x-3y-1=0$ có vecto pháp tuyến $(2;-3)$, còn vecto chỉ phương là $(3;2)$, nên $(2;-3)$ là pháp tuyến chứ không phải chỉ phương → sai. d) $\overrightarrow{u_1}(3;2)$ cùng phương với vecto chỉ phương $(3;2)$ của $d_2$, và điểm $M(2;1)$ thuộc cả hai đường thẳng (vì $M$ là điểm gốc của $d_1$ và $M\in d_2$), nên $d_1$ và $d_2$ trùng nhau chứ không song song → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=2+3t,y=1+2t$, vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}(3;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(2;1)$ vào $d_2$: $2(2)-3(1)-1=0$, nên $M\in d_2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(2;-3)$ là vecto pháp tuyến của $d_2$; vecto chỉ phương của $d_2$ là $(3;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_1}(3;2)$ cùng phương với vecto chỉ phương $(3;2)$ của $d_2$ và $M(2;1)$ thuộc cả hai đường, nên $d_1\equiv d_2$ (trùng nhau), không song song.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 10: a) $d_1:x-2y+3=0$ có VTPT $\overrightarrow{u_1}(1;-2)$ → đúng. b) Thay $M(-1;1)$: $-1-2(1)+3=0$ → $M\in d_1$, đúng. c) $d_2$ có VTCP $(1;2)$ nên VTPT là $(2;-1)$ hoặc $(-2;1)$; $(-2;-1)\cdot (1;2)=-4\ne 0$ nên $(-2;-1)$ không phải VTPT → sai. d) VTCP của $d_1$ là $(2;1)$, của $d_2$ là $(1;2)$; tích vô hướng $2\cdot 1+1\cdot 2=4\ne 0$ nên hai đường không vuông góc → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát $x-2y+3=0$ có VTPT $(1;-2)$, nên $\overrightarrow{u_1}(1;-2)$ là một VTPT của $d_1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(-1;1)$ vào $d_1$: $-1-2(1)+3=0$, nên $M\in d_1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d_2$ có VTCP $(1;2)$ nên VTPT là $(2;-1)$ hoặc $(-2;1)$; $(-2;-1)\cdot (1;2)=-4\ne 0$ nên $(-2;-1)$ không vuông góc với $d_2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $(2;1)$, của $d_2$ là $(1;2)$; $2\cdot 1+1\cdot 2=4\ne 0$ nên hai đường không vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 11: $d_1$ có VTCP $\overrightarrow{u_1}=(-3;1)$, $d_2$ có VTCP $\overrightarrow{u_2}=(3;2)$.
a) $\overrightarrow{u_1}(3;-1)=-(-3;1)$ cùng phương với $(-3;1)$ nên là VTCP của $d_1$ → Đúng.
b) Thay $M(2;2)$ vào $d_2$: $2+3s=2\Rightarrow s=0$, khi đó $y=2s=0\ne 2$ → Sai.
c) $(-2;3)\cdot (3;2)=-6+6=0$ nên $(-2;3)$ là VTPT của $d_2$ → Đúng.
d) VTCP không tỉ lệ: $\frac{-3}{3}\ne \frac{1}{2}$ nên hai đường không song song. Giải hệ $2-3t=2+3s$, $-1+t=2s$: từ phương trình đầu $t=-s$, thay vào: $-1-s=2s\Rightarrow s=-\frac{1}{3}$, $t=\frac{1}{3}$, giao điểm $(1;-\frac{2}{3})$. Vậy hai đường cắt nhau → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_1}(3;-1)=-(-3;1)$ cùng phương với VTCP $(-3;1)$ của $d_1$ nên là một VTCP của $d_1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=2$ vào $d_2$: $2+3s=2\Rightarrow s=0$, khi đó $y=2s=0\ne 2$ nên $M(2;2)$ không thuộc $d_2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_2$ là $(3;2)$ và $(-2;3)\cdot (3;2)=-6+6=0$ nên $(-2;3)$ là một VTPT của $d_2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
VTCP $(-3;1)$ và $(3;2)$ không tỉ lệ nên không song song. Giải hệ $2-3t=2+3s$, $-1+t=2s$: $t=-s\Rightarrow -1-s=2s\Rightarrow s=-\frac{1}{3}$, $t=\frac{1}{3}$, giao điểm $(1;-\frac{2}{3})$. Vậy hai đường cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d$ song song với $d^{\prime }:x+y-1=0$ nên $d$ có dạng $x+y+c=0$, tức $b=1$. Đường thẳng qua $M(1;1)$ nên $1+1+c=0\Rightarrow c=-2$. Vậy $S=b+c=1+(-2)=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :2x-y+4=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1)$. Đường thẳng cần tìm vuông góc với $\Delta$ nên có vectơ pháp tuyến vuông góc với $\vec{n}$, chẳng hạn ${\vec{n}}^{\prime }=(1;2)$, do đó phương trình dạng $x+2y+c=0$, tức $b=2$. Đường thẳng đi qua $I(-1;2)$ nên: $-1+2\cdot 2+c=0\Rightarrow c=-3$. Vậy $S=b-c=2-(-3)=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;1)$. Đường thẳng cần tìm vuông góc với $\Delta$ nên vectơ pháp tuyến của nó song song với $\vec{u}$, tức $\vec{n}=(3;1)$, phương trình dạng $3x+y+c=0$ ($a=3$). Đi qua $M(-1;6)$: $3(-1)+6+c=0\Rightarrow c=-3$. Vậy $S=a+c=3+(-3)=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của MN là $I\left(\frac{4+2}{2};\frac{-2+6}{2}\right)=I(3;2)$. Vecto $\overrightarrow{MN}=(2-4;6-(-2))=(-2;8)$, nên vecto pháp tuyến của đường trung trực (cùng phương với $\overrightarrow{MN}$) là $\vec{n}=(1;-4)$. Phương trình đường trung trực: $1(x-3)-4(y-2)=0\iff x-4y+5=0$. Vậy $b=-4$, $c=5$, do đó $S=b+c=-4+5=1$. Kiểm tra: $I(3;2)$ thỏa $3-8+5=0$, và $\vec{n}\cdot \overrightarrow{MN}=1\cdot (-2)+(-4)\cdot 8=-34\ne 0$ đúng vì $\vec{n}$ song song (không vuông góc) với $\overrightarrow{MN}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm M của BC: $M\left(\frac{-2+4}{2};\frac{1+3}{2}\right)=(1;2)$. Đường trung tuyến AM đi qua $A(2;3)$ và $M(1;2)$, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AM}=(-1;-1)$, nên vectơ pháp tuyến $(1;-1)$. Phương trình: $1(x-2)-1(y-3)=0\iff x-y+1=0$. Vậy $b=-1$, $c=1$, $S=b-c=-1-1=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Δ₁: 2x - 3y - 4 = 0 có vectơ chỉ phương u₁ = (3; 2). Δ₂ có vectơ chỉ phương u₂ = (-3; -2m). Hai đường thẳng vuông góc khi u₁ · u₂ = 0: 3·(-3) + 2·(-2m) = 0 ⟺ -9 - 4m = 0 ⟺ m = -9/4.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB}=(4-2;1-3)=(2;-2)$. Một vecto pháp tuyến phải có tích vô hướng với $\overrightarrow{AB}$ bằng 0. Kiểm tra: $\overrightarrow{n_3}=(1;1)$ cho $1\cdot 2+1\cdot (-2)=0$, thỏa mãn. Các vecto khác: $(2;-2)\cdot (2;-2)=8\ne 0$, $(2;-1)\cdot (2;-2)=6\ne 0$, $(1;-2)\cdot (2;-2)=6\ne 0$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):3x-7y+15=0$ có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(3;-7)$, nên vecto chỉ phương là $\vec{u}=(7;3)$ → A đúng. Hệ số góc: $y=\frac{3}{7}x+\frac{15}{7}$ nên $k=\frac{3}{7}$ → B đúng. Thay $(0;0)$: $15\ne 0$ nên $(d)$ không qua gốc tọa độ → C đúng. Kiểm tra $M\left(-\frac{1}{3};2\right)$: $3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)-7\cdot 2+15=-1-14+15=0$, M thuộc $(d)$. Kiểm tra $N(5;0)$: $3\cdot 5-7\cdot 0+15=30\ne 0$, N không thuộc $(d)$ → D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :-2x+3y-1=0$ có $\vec{n}=(-2;3)$, nên một vecto chỉ phương là $\vec{u}=(3;2)$ (vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=-6+6=0$). Kiểm tra từng đáp án: A $(1;\frac{2}{3})=\frac{1}{3}(3;2)$ cùng phương với $(3;2)$; B $(3;2)$ chính là vecto chỉ phương; D $(-3;-2)=-(3;2)$ cùng phương. Còn C $(2;3)$: $2\cdot 2-3\cdot 3=4-9=-5\ne 0$ (hoặc $\frac{2}{3}\ne \frac{3}{2}$), nên $(2;3)$ không là vecto chỉ phương của $\Delta$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng qua $M(1;-1)$, $N(4;3)$ là $\vec{u}=\overrightarrow{MN}=(4-1;3-(-1))=(3;4)$. Lấy điểm $M$ làm điểm mốc, phương trình tham số: $x=1+3t,y=-1+4t$. Kiểm tra: với $t=1$ ta được $N(4;3)$ đúng. Phương án D khớp; các phương án khác sai vì A có điểm gốc $(3;4)$ không thuộc đường thẳng, B có điểm gốc $(1;1)$ sai, C có điểm gốc $(3;4)$ và vecto $(-3;-3)$ không cùng phương với $(3;4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng qua A(-2;4), B(-6;1) là $\overrightarrow{AB}=(-6-(-2);1-4)=(-4;-3)$. Một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(3;-4)$ vì $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=3\cdot (-4)+(-4)\cdot (-3)=0$. Phương trình đường thẳng: $3(x+2)-4(y-4)=0\iff 3x-4y+22=0$. Kiểm tra: A(-2;4): $-6-16+22=0$ ✓; B(-6;1): $-18-4+22=0$ ✓. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB là $I\left(\frac{1+(-1)}{2};\frac{-2+2}{2}\right)=(0;0)$. Vecto $\overrightarrow{AB}=(-2;4)$ là một vecto pháp tuyến của đường trung trực. Phương trình: $-2(x-0)+4(y-0)=0\iff -2x+4y=0\iff x-2y=0$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $A{A}^{\prime }$ vuông góc với $BC$ nên nhận vecto $\overrightarrow{BC}=(-6;8)$ làm pháp tuyến. Qua $A(1;-2)$: $-6(x-1)+8(y+2)=0\iff -6x+8y+22=0\iff 3x-4y-11=0$. Vậy đáp án B.