Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1-6t,y=3-t$, hệ số của $t$ cho vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-6;-1)$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 132: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(1;-2)$ với vecto pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1)$ có phương trình: $2(x-1)-1(y+2)=0\iff 2x-2-y-2=0\iff 2x-y-4=0$. Thử lại: thay $x=1,y=-2$ ta được $2-(-2)-4=0$ đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 132, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AC$ (thuộc $BM$) và $N$ là trung điểm $AB$ (thuộc $CN$). Thử phương án B: $BC:x-5y+2=0$. Khi đó $B=BM\cap BC$: giải $x+7y-10=0$ và $x-5y+2=0$ được $B(3;1)$. $C=CN\cap BC$: giải $x-2y+2=0$ và $x-5y+2=0$ được $C(-2;0)$. Kiểm tra: trung điểm $AC=\left(-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$, thay vào $BM$: $-\frac{1}{2}+7\cdot \frac{3}{2}-10=0$, đúng. Trung điểm $AB=(2;2)$, thay vào $CN$: $2-4+2=0$, đúng. Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ là $x-5y+2=0$, khớp đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta ):3x-2y-7=0$ có hệ số góc $k=\frac{3}{2}$. Hai đường thẳng cắt nhau khi hệ số góc khác nhau (và không trùng nhau).
- A: $6x-4y-14=0\iff 3x-2y-7=0$, trùng với $(\Delta )$, không cắt.
- B: $3x+2y=0$ có hệ số góc $-\frac{3}{2}\ne \frac{3}{2}$, nên cắt $(\Delta )$ tại nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}3x-2y=7\\ 3x+2y=0\end{array}\Rightarrow x=\frac{7}{6},y=-\frac{7}{4}$. Đúng.
- C: $-3x+2y-7=0\iff 3x-2y+7=0$, song song với $(\Delta )$, không cắt.
- D: $3x-2y=0$ song song với $(\Delta )$, không cắt.
Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (STT 19: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ qua $A(a;0)$, $B(0;b)$ có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Vì $(d)$ qua $M(3;1)$ nên $\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=1$. Đặt $u=\frac{1}{a}$, $v=\frac{1}{b}$ ($u,v>0$), ta cần tìm điểm $(u;v)$ trên đường thẳng $3u+v=1$ sao cho $u^2+v^2=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}$ nhỏ nhất. Giá trị này nhỏ nhất khi $(u;v)$ là hình chiếu của $O$ lên đường thẳng, tức $u=\frac{3}{10}$, $v=\frac{1}{10}$, suy ra $a=\frac{10}{3}$, $b=10$. Khi đó $\frac{x}{10/3}+\frac{y}{10}=1\iff 3x+y-10=0$. Kiểm tra: qua $M(3;1)$: $9+1-10=0$ đúng; $a=10/3>0$, $b=10>0$. Kết quả khớp đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
B là giao của AB (đường thẳng qua M(0;2)) với phân giác d₂, A là giao của AB với d₁. Vì BC ⊥ d₁ (d₁ là đường cao từ A), suy ra hệ số góc của BC bằng −2. Do d₂ là phân giác tại B, đường BC là ảnh của đường AB qua phép đối xứng trục d₂: x − y − 1 = 0 (đối xứng (x;y) → (y+1; x−1)). Nếu AB: y = kx + 2 thì ảnh của nó là x − ky = k + 3 có hệ số góc 1/k, nên 1/k = −2 ⇒ k = −1/2. Khi đó: B = AB ∩ d₂: x − (−x/2 + 2) − 1 = 0 ⇒ x = 2, y = 1, B(2;1). A = AB ∩ d₁: x − 2(−x/2 + 2) − 2 = 0 ⇒ x = 3, y = 1/2, A(3; 1/2) (thử lại: A ∈ d₁, M(0;2) ∈ AB, B ∈ d₂ đều đúng). AB = √((3−2)² + (1/2 − 1)²) = √5/2, nên BC = AB/2 = √5/4. Đường BC qua B(2;1) có hệ số góc −2: y = −2x + 5. C = B + t(1;−2) với |t|√5 = √5/4 ⇒ t = ±1/4, cho C(9/4; 1/2) hoặc C(7/4; 3/2). Cả hai trường hợp đều cho 2a + b = 9/2 + 1/2 = 5 hoặc 7/2 + 3/2 = 5. Vậy 2a + b = 5, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=2-3t,y=-3+2t$, vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-3;2)$ (hệ số của $t$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d:x-2y-1=0$ (vtô pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;-2)$) và $d^{\prime }:x+3y-11=0$ (${\vec{n}}_2=(1;3)$). Góc $\phi$ giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|1\cdot 1+(-2)\cdot 3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{1^2+3^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, nên $\phi =45^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB là $I\left(\frac{4+1}{2};\frac{-1-4}{2}\right)=I\left(\frac{5}{2};-\frac{5}{2}\right)$. Vecto $\overrightarrow{AB}=(-3;-3)$ nên đường trung trực có vecto pháp tuyến cùng phương với $\overrightarrow{AB}$, lấy $\vec{n}=(1;1)$. Phương trình: $1\left(x-\frac{5}{2}\right)+1\left(y+\frac{5}{2}\right)=0\iff x+y=0$. Kiểm tra: $A(4;-1)$ và $B(1;-4)$ đều có $x+y=3\ne 0$ (không thuộc đường), còn điểm $I$ có $\frac{5}{2}-\frac{5}{2}=0$ (thuộc đường). Vậy đáp án B.

Một vectơ chỉ phương tương ứng là hệ số của tham số $t$, nên $\vec{u}=(2;-1)$.
Chọn đáp án (B)

a) Sai. Đường thẳng ${\Delta }_1$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1=(3;4)$ nên có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_1=(4;-3)$.
b) Đúng. Đường thẳng ${\Delta }_2$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3,b=4$ nên ${\overrightarrow{n}}_2=(3;4)$ là VTPT.
c) Đúng. Ta có ${\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2=4\cdot 3+(-3)\cdot 4=0$, suy ra hai đường thẳng vuông góc.
d) Sai. Bán kính đường tròn $R=d(B,{\Delta }_2)=\frac{|3(-2)+4(5)+1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3$. Phương trình đường tròn là $(x+2{)}^2+(y-5{)}^2=9\ne 3$.
Chọn đáp án [a sai | b đúng | c đúng | d sai]
a) Sai. Đường thẳng ${\Delta }_1$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1=(3;4)$ nên có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_1=(4;-3)$.
b) Đúng. Đường thẳng ${\Delta }_2$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3,b=4$ nên ${\overrightarrow{n}}_2=(3;4)$ là VTPT.
c) Đúng. Ta có ${\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2=4\cdot 3+(-3)\cdot 4=0$, suy ra hai đường thẳng vuông góc.
d) Sai. Bán kính đường tròn $R=d(B,{\Delta }_2)=\frac{|3(-2)+4(5)+1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3$. Phương trình đường tròn là $(x+2{)}^2+(y-5{)}^2=9\ne 3$.

Vecto pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(\sqrt{3};-1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(0;1)$. Ta có:
$$\cos \phi =\frac{\left|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|\sqrt{3}\cdot 0+(-1)\cdot 1\right|}{\sqrt{3+1}\cdot \sqrt{1}}=\frac{1}{2}.$$
Suy ra $\cos \phi =0,5$.

$d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 3-4(-4)-1|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{24}{5}$.
Chọn đáp án (D)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:-x+5y-12=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=-1$, $b=5$. Một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(-1;5)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $C(3;-1)$ đến $\Delta :8x+6y-5=0$ là $d=\frac{|8\cdot 3+6\cdot (-1)-5|}{\sqrt{8^2+6^2}}=\frac{|24-6-5|}{10}=\frac{13}{10}$. Vậy $a=13,b=10$ (tối giản), nên $3a-2b=39-20=19$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d:2x+y-5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;1)$ và $\Delta :x-y+11=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-1)$. Góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{|2\cdot 1+1\cdot (-1)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\approx 0.3162$. Suy ra $\theta =\arccos (1/\sqrt{10})\approx 71.565^{\circ }\approx 72^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $K(13;-4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(5;-2)$.

Phương trình tham số: với $t\in \mathbb{R}$,
$$x=13+5t,y=-4-2t.$$

Phương trình tổng quát: từ $\vec{u}=(5;-2)$, vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;5)$, nên
$$2(x-13)+5(y+4)=0\iff 2x+5y-6=0.$$
Kiểm tra: $2(13)+5(-4)-6=26-20-6=0$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=3,y=1+2t$, vecto chỉ phương là $\vec{u}=(0;2)$ (hệ số của $t$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB đi qua A(0;2) và B(18;26) có hệ số góc $k=\frac{26-2}{18-0}=\frac{4}{3}$, phương trình $y=\frac{4}{3}x+2\iff 4x-3y+6=0$. Khoảng cách ngắn nhất từ tàu (trên đoạn AB) đến đảo C là khoảng cách từ C(7;8) đến đường thẳng AB, với chân đường vuông góc nằm trong đoạn AB (tham số chiếu $t=\frac{(7;6)\cdot (3;4)}{25}=1,8\in [0;6]$). $d(C,AB)=\frac{|4\cdot 7-3\cdot 8+6|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{10}{5}=2$ km. Vậy đáp án A.