Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II, mã đề 1002): Cho ${\Delta }_1:x-2y+3=0$ và ${\Delta }_2:3x+y-5=0$.

a) Từ phương trình ${\Delta }_1:x-2y+3=0$, hệ số của $x$ và $y$ cho vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2)$ → Đúng.

b) Thay $M(5;0)$ vào ${\Delta }_2$: $3\cdot 5+0-5=10\ne 0$, nên $M$ không thuộc ${\Delta }_2$ → Sai.

c) Giải hệ $\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ 3x+y-5=0\end{array}$: từ phương trình thứ hai $y=5-3x$, thay vào phương trình thứ nhất: $x-2(5-3x)+3=0\iff 7x-7=0\iff x=1$, suy ra $y=2$. Giao điểm là $(1;2)$, kiểm tra lại: $1-2\cdot 2+3=0$ và $3\cdot 1+2-5=0$ → Đúng.

d) $\cos \phi =\frac{|1\cdot 3+(-2)\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{3^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{50}}{50}\approx 0,1414\ne \frac{1}{50}$ → Sai.

Kết quả: Đúng – Sai – Đúng – Sai (ĐSDS), khớp đáp án mã đề 1002 trong bảng đáp án trang 7.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $x-2y+3=0$, hệ số của $x$ và $y$ cho vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(5;0)$ vào $3x+y-5=0$ được $3\cdot 5+0-5=10\ne 0$, nên $M$ không thuộc ${\Delta }_2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ hai phương trình được $x=1$, $y=2$; giao điểm $(1;2)$ thỏa cả hai phương trình.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \phi =\frac{|1\cdot 3+(-2)\cdot 1|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{50}}{50}\approx 0,1414$, khác $\frac{1}{50}$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(2;3)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-y+7=0$ là $d=\frac{|3\cdot 2-3+7|}{\sqrt{3^2+(-1{)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$. Vậy $b=10$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Phần III câu 2 = 10).

a) Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}(1;2)$. PTTS: $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+2t\end{array},t\in \mathbb{R}$.
b) Bán kính: $R=IN=5\sqrt{2}$. PT đường tròn: $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=50$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(2;1)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-4)$ có phương trình: $1(x-2)-4(y-1)=0$, tức $(x-2)-4(y-1)=0$. Kiểm tra: $M(2;1)$ thỏa mãn và hệ số $1;-4$ đúng là pháp tuyến. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình đường thẳng $\Delta :3x-y+4=0$:
- A$(1;-7)$: $3(1)-(-7)+4=14\ne 0$, loại.
- B$(4;0)$: $3(4)-0+4=16\ne 0$, loại.
- C$(1;7)$: $3(1)-7+4=0$, thỏa mãn.
- D$(0;-4)$: $3(0)-(-4)+4=8\ne 0$, loại.
Vậy điểm $(1;7)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :2x-3y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3)$. Hai đường thẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng tỉ lệ nhưng phương trình không trùng nhau. Xét đáp án D: $-2x+3y-1=0$ có ${\vec{n}}_D=(-2;3)=-1\cdot (2;-3)$, tỉ lệ với $\vec{n}$, và hệ số tự do khác (nhân $-1$ vào phương trình D được $2x-3y+1=0\ne \Delta$), nên D song song với $\Delta$. Đáp án B: $-2x+3y+1=0$ chính là $\Delta$ (nhân $-1$), nên trùng chứ không song song. Các đáp án A, C có $\vec{n}=(3;2)$ không tỉ lệ với $(2;-3)$, nên cắt $\Delta$. Vậy đáp án đúng là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(1;5)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3)$ có phương trình $2(x-1)-3(y-5)=0$. Khai triển: $2x-2-3y+15=0\iff 2x-3y+13=0$. Thử lại: thay $M(1;5)$: $2-15+13=0$ đúng. Các phương án A, B, D không đi qua $M(1;5)$ (ví dụ A: $2(2)-3(10)=-26\ne 0$). Đáp án khớp với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 Phần II (mã đề 1001): a) Đường thẳng Δ₁: 3x−2y+2=0 có vectơ pháp tuyến n=(3;−2) → Đúng. b) Thay M(0;1) vào Δ₂: 0+1−6=−5≠0 nên M không thuộc Δ₂ → Sai. c) cosin góc giữa hai đường thẳng: cosφ = |3·1+(−2)·1|/(√13·√2) = 1/√26 ≈ 0,196, khác 1/26 → Sai. d) Giải hệ 3x−2y+2=0 và x+y−6=0: từ phương trình thứ hai y=6−x, thay vào: 3x−2(6−x)+2=0 ⇒ 5x=10 ⇒ x=2, y=4. Giao điểm (2;4) → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: Đ-S-S-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ax+by+c=0 có vectơ pháp tuyến (a;b), nên Δ₁: 3x−2y+2=0 có n=(3;−2).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(0;1) vào Δ₂: 0+1−6=−5≠0, nên M không nằm trên Δ₂.
c) (AI giải đề cho tôi)
cosφ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) = |3−2|/(√13·√2) = 1/√26 ≈ 0,196 ≠ 1/26.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ hai phương trình: y=6−x, thay vào 3x−2(6−x)+2=0 ⇒ 5x=10 ⇒ x=2, y=4, giao điểm (2;4).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(3;1)$ đến đường thẳng $\Delta :x-2y+4=0$ là $d=\frac{|3-2\cdot 1+4|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$. Vậy $a=5$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, Phần III câu 1 = 5).

a) Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}(2;1)$. PTTS: $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1+t\end{array},t\in \mathbb{R}$.
b) Bán kính: $R=IN=4\sqrt{2}$. PT đường tròn: $(x-1{)}^2+(y+4{)}^2=32$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình đường thẳng $\Delta :2x-y+7=0$:
- A$(1;5)$: $2\cdot 1-5+7=4\ne 0$, loại.
- B$(1;9)$: $2\cdot 1-9+7=0$, thỏa mãn.
- C$(3;0)$: $2\cdot 3-0+7=13\ne 0$, loại.
- D$(0;-7)$: $2\cdot 0-(-7)+7=14\ne 0$, loại.
Vậy điểm $(1;9)$ thuộc đường thẳng $\Delta$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1001, câu 4).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :3x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-2)$. Hai đường thẳng $ax+by+c=0$ và $a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0$ song song khi $\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}\ne \frac{c}{c^{\prime }}$. Xét các phương án: A) $-3x+2y-1=0$ nhân $-1$ được $3x-2y+1=0$, trùng với $\Delta$ nên không song song. B) $2x+3y-1=0$ có ${\vec{n}}^{\prime }=(2;3)$ không cùng phương với $(3;-2)$, loại. C) $-3x+2y+1=0$ nhân $-1$ được $3x-2y-1=0$: có $\frac{3}{3}=\frac{-2}{-2}\ne \frac{1}{-1}$, nên song song với $\Delta$. D) $2x+3y+1=0$ tương tự B, loại. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=2+t\end{array}$ có dạng $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$ với $x_0=1,y_0=2,a=-3,b=1$. Vécto chỉ phương của đường thẳng là $\vec{u}=(a;b)=(-3;1)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(2;5)$ đến $\Delta :3x+4y-m=0$ là $d=\frac{|3\cdot 2+4\cdot 5-m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|26-m|}{5}$. Theo đề, $d=2\Rightarrow |26-m|=10\Rightarrow m=16$ hoặc $m=36$. Tổng các giá trị của $m$ là $16+36=52$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (52).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số $x=3+t$, $y=-2+2t$ nên vectơ chỉ phương là $(1;2)$ (hệ số của $t$). Trong các đáp án, chỉ có $\overrightarrow{u_4}=(1;2)$ thỏa mãn (các vectơ còn lại $(2;1)$, $(3;-2)$, $(-2;1)$ không cùng phương với $(1;2)$). Đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 1001 (câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại ${\Delta }_m:m(x+y-5)+(-2x+y+1)=0$, họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định $P(2;3)$ (giải $x+y-5=0$, $-2x+y+1=0$). Khoảng cách từ $A(-3;9)$ đến ${\Delta }_m$ lớn nhất khi ${\Delta }_m\perp AP$. Vectơ $\overrightarrow{AP}=(5;-6)$ nên hệ số góc của $AP$ là $-6/5$, do đó hệ số góc của ${\Delta }_m$ là $5/6$. Đường thẳng qua $P(2;3)$ có hệ số góc $5/6$: $y-3=\frac{5}{6}(x-2)\iff 5x-6y+8=0$. So sánh với $(m-2)x+(m+1)y-5m+1=0$: $\frac{m-2}{5}=\frac{m+1}{-6}\Rightarrow -6(m-2)=5(m+1)\Rightarrow m=\frac{7}{11}$ (kiểm tra: $-5\cdot \frac{7}{11}+1=-\frac{24}{11}$, tỉ số $\frac{-24/11}{8}=-\frac{3}{11}=\frac{7/11-2}{5}$ đúng). Vậy $a=7,b=11$, $S=2a-b=14-11=3$, khớp đáp án nguồn.

Đường thẳng $d$ có 1 vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(3;2)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(4;-3)$ và song song với $d$ nên $\Delta$ nhận $\vec{n}=(3;2)$ làm vecto pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là

$$3(x-4)+2(y+3)=0\iff 3x+2y-6=0.$$

(Điểm: 0,25 + 0,75)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(1;-2)$ với vecto pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1)$ có phương trình: $2(x-1)-1(y+2)=0\iff 2x-2-y-2=0\iff 2x-y-4=0$. Thử lại: thay $x=1,y=-2$ ta được $2(1)-(-2)-4=0$, đúng. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 209, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $d:x=1-6t,y=3-t$, hệ số của $t$ cho vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-6;-1)$. Đáp án C, khớp đáp án nguồn (mã đề 209, câu 7: C).

Đường thẳng $d$ có 1 vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1;2)$ và song song với $d$ nên $\Delta$ nhận $\vec{n}=(2;-3)$ làm vecto pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là

$$2(x-1)-3(y-2)=0\iff 2x-3y+4=0.$$

(Điểm: 0,25 + 0,75)