Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=49$ có dạng chính tắc $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(-a...)$: so sánh ta được $a=-3$, $b=4$ nên $I(-3;4)$, và $R^2=49\Rightarrow R=7$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2-2(m+2)x+4my+19m-6=0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi bán kính dương: $R^2=(m+2{)}^2+(2m{)}^2-(19m-6)=5m^2-15m+10=5(m-1)(m-2)>0$, tức $m<1$ hoặc $m>2$. Với $m$ nguyên dương nhỏ hơn 10: $m\in \{1,3,4,5,6,7,8,9\}$, gồm 8 giá trị (loại $m=2$ vì khi đó $R=0$). Vậy đáp án là 8.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn là trung điểm $I$ của $AB$: $I\left(\frac{3+(-1)}{2};\frac{-2+6}{2}\right)=I(1;2)$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}$ với $AB=\sqrt{(-1-3{)}^2+(6+2{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$, nên $R=2\sqrt{5}$, $R^2=20$. Vậy phương trình đường tròn đường kính $AB$ là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=20$, tức $x^2+y^2-2x-4y-15=0$. Kiểm tra: $A(3;-2)$: $(3-1{)}^2+(-2-2{)}^2=4+16=20$ ✓; $B(-1;6)$: $(-2{)}^2+4^2=20$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2=9$ có tâm $I(0;0)$, bán kính $R=3$. Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta :4x+3y+m=0$ là $d(I,\Delta )=\frac{|m|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|m|}{5}$. Tiếp xúc khi $d=R\iff \frac{|m|}{5}=3\iff |m|=15\iff m=\pm 15$. Vậy chọn D.

Trả lời: -25. Phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Đường tròn này qua $A,B,C$ nên $$\{\begin{array}{l}1+4-2a-4b+c=0\\ 25+4-10a-4b+c=0\\ 1+9-2a+6b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=3\\ b=-\frac{1}{2}\\ c=-1\end{array}$$ Vậy phương trình đường tròn cần tìm là $x^2+y^2-6x+y-1=0$. $$\Rightarrow a+4b+26c=3+4.\left(-\frac{1}{2}\right)+26.(-1)=-25$$ (Lưu ý: trang lời giải in nhầm đề là 'Tính giá trị $6a+4b+c$' nhưng phép tính thực hiện đúng với đề ở trang câu hỏi là $a+4b+26c=-25$.)

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là bán kính của các nửa đường tròn và bán kính của đường tròn.



Theo đề bài, ta có $\pi x^2+\pi y^2=50,24\iff x^2+y^2=16$. Ta có tổng độ dài đường xây (đường in đậm) là $d=2\pi x+4x+2\pi y=10,28x+6,28y$. Xét đường tròn $(C):x^2+y^2=16$, ta có $(C)$ có tâm là $O(0;0)$ và $R=4$. Ta có $d=10,28x+6,28y\iff 10,28x+6,28y-d=0$ với $d>0$. Để tồn tại $x$, $y$ thì đường tròn $(C):x^2+y^2=16$ và đường thẳng $\Delta :10,28x+6,28y-d=0$ phải có giao điểm $$\iff d(O;\Delta )\le R\iff \frac{|-d|}{\sqrt{10,28^2+6,28^2}}\le 4\Rightarrow d\le 48,186.$$ Để $d$ đạt giá trị lớn nhất thì $\Delta :10,28x+6,28y-48,2=0$ là tiếp tuyến của $(C)$. Gọi ${\Delta }^{\prime }$ là đường thẳng đi qua tâm $O(0;0)$ và vuông góc với $d$ nên ${\Delta }^{\prime }:3,14x-5,14y=0$. Khi đó $x$, $y$ là tọa độ của điểm $A$ với là giao điểm của $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$ (cụm từ 'với là giao điểm' giữ nguyên theo bản gốc). Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3,14x-5,14y=0\\ 10,28x+6,28y-48,2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\approx 3,41\\ y\approx 2,09\end{array}$. (Lời giải trong nguồn dừng ở đây, không nêu kết quả số cuối cùng của tổng độ dài đường xây lớn nhất.)

Chọn D. Trong trang lời giải chi tiết (trang 4), câu này được đánh số Câu 1 với các phương án sắp xếp lại theo thứ tự A. $I(0;-4);R=\sqrt{5}$; B. $I(0;-4);R=5$; C. $I(0;4);R=\sqrt{5}$; D. $I(0;4);R=5$, và lời giải ghi Chọn A, tức giá trị $I(0;-4);R=\sqrt{5}$. Theo thứ tự phương án của đề thi (trang 1), giá trị này tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm $I(2;2)$ đến tiếp tuyến $4x+3y-4=0$: $R=\frac{|4\cdot 2+3\cdot 2-4|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|10|}{5}=2$. Vậy $R^2=4$ và phương trình đường tròn là $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính: $R=IA=\sqrt{(2-1{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$. Phương trình đường tròn $(C)$: $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=5$, tức $x^2+y^2-2x-6y+5=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(2;-3)$ bán kính $R=6$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=6^2=36$. Khớp với đáp án D (bảng đáp án mã đề 1106 cho câu 1 là D).

a) Ta có $\{\begin{array}{l}-2a=-8\\ -2b=-6\\ c=21\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\\ c=21\end{array}$ Tâm $I(4;3)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=2$

b) [Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]
Ta có $\overrightarrow{SI}=(3;4)\Rightarrow SI=\sqrt{3^2+4^2}=5>R=2$, suy ra S nằm ngoài đường tròn (C)
Kẻ đường thẳng qua S,I cắt đường tròn (C) tại 2 điểm B, M như hình vẽ.
$IM=R=2$.
Với mọi điểm A thuộc đường tròn (C) không trùng B, M. Xét tam giác SAM có $\widehat{SAM}>\widehat{BAM}=90^{\circ }$ nên $\widehat{SAM}$ là góc lớn nhất trong tam giác SAM do đó $SM>SA$
Do đó khoảng cách xa nhất từ anh shipper đến vị trí giao đơn hàng đầu tiên là $SM=SI+IM=5+2=7$, khi đó 3 điểm $S,I,M$ thẳng hàng.
Ta có $\overrightarrow{SM}=\left(x_0-1;y_0+1\right)$.
Lại có $\overrightarrow{SM}=\frac{SM}{SI}.\overrightarrow{SI}=\frac{7}{5}\overrightarrow{SI}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_0-1=\frac{7}{5}.3\\ y_0+1=\frac{7}{5}.4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{26}{5}\\ y_0=\frac{23}{5}\end{array}$. Vậy điểm $M\left(\frac{26}{5};\frac{23}{5}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(2;-3)$, bán kính $R=6$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=6^2=36$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1105, Câu 1: C).

a) Ta có $\{\begin{array}{l}-2a=-8\\ -2b=-6\\ c=21\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\\ c=21\end{array}$ Tâm $I(4;3)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=2$

b) [Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]
Ta có $\overrightarrow{SI}=(3;4)\Rightarrow SI=\sqrt{3^2+4^2}=5>R=2$, suy ra S nằm ngoài đường tròn (C)
Kẻ đường thẳng qua S,I cắt đường tròn (C) tại 2 điểm B, M như hình vẽ.
$IM=R=2$.
Với mọi điểm A thuộc đường tròn (C) không trùng B, M. Xét tam giác SAM có $\widehat{SAM}>\widehat{BAM}=90^{\circ }$ nên $\widehat{SAM}$ là góc lớn nhất trong tam giác SAM do đó $SM>SA$
Do đó khoảng cách xa nhất từ anh shipper đến vị trí giao đơn hàng đầu tiên là $SM=SI+IM=5+2=7$, khi đó 3 điểm $S,I,M$ thẳng hàng.
Ta có $\overrightarrow{SM}=\left(x_0-1;y_0+1\right)$.
Lại có $\overrightarrow{SM}=\frac{SM}{SI}.\overrightarrow{SI}=\frac{7}{5}\overrightarrow{SI}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_0-1=\frac{7}{5}.3\\ y_0+1=\frac{7}{5}.4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{26}{5}\\ y_0=\frac{23}{5}\end{array}$. Vậy điểm $M\left(\frac{26}{5};\frac{23}{5}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$. a) Vì $A\left(-\frac{1}{2};0\right)$ nằm trên $(C)$ nên $R=IA=\left|\frac{1}{2}-0\right|=\frac{1}{2}$: đúng. b) Khoảng cách từ $I$ đến trục $Ox$ là $\frac{1}{2}=R$ nên $(C)$ tiếp xúc với $Ox$: đúng. c) Tâm là $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$, không phải $\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$: sai. d) Hai tiếp tuyến từ $B$ vuông góc khi $IB=R\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Với $B(0;b)$: $\frac{1}{4}+{\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\Rightarrow {\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\Rightarrow b=0$ hoặc $b=1$. Vì $B\ne O$ nên $b=1$, tức $OB=1\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A$ nằm trên $(C)$ nên $R=IA=\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,Ox)=\frac{1}{2}=R$ nên $(C)$ tiếp xúc trục $Ox$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn là $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện hai tiếp tuyến vuông góc: $IB=R\sqrt{2}$, giải ra $B(0;1)$ nên $OB=1\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I(3;3)$ bán kính $R=2$. Đường thẳng đi qua $A(-3;2)$ và $B(2;7)$ có hệ số góc $\frac{7-2}{2-(-3)}=1$, phương trình $y=x+5$ hay $x-y+5=0$. Khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng này là $d=\frac{|3-3+5|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}\approx 3,5355$. Giá trị nhỏ nhất của $MN$ là $d-R=\frac{5}{\sqrt{2}}-2\approx 1,5355\approx 1,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là tâm nửa đường tròn, $IA=x$, $AB=h$. Vì $B$ thuộc nửa đường tròn đường kính $MN=10$ nên $x^2+h^2=25$. Hình chữ nhật $ABCD$ có $C$ thuộc nửa đường tròn với cùng chiều cao $h$, nên $I{D}^2+h^2=25\Rightarrow ID=x$ (đối xứng qua $I$). Suy ra $AD=IA+ID=2x$. Chu vi $2(2x+h)=22\Rightarrow h=11-2x$. Thay vào: $x^2+(11-2x{)}^2=25\Rightarrow 5x^2-44x+96=0\Rightarrow x=\frac{44\pm 4}{10}$, tức $x=4,8$ hoặc $x=4$. Với $x=4$ thì $IA$ nguyên (bị loại); với $x=4,8$ thì $h=1,4>0$ thỏa mãn. Vậy $IA=4,8$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường tròn $(C):x^2+y^2+4x+2y-4=0$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $-2a=4,-2b=2,c=-4$, suyra tâm $I(-2;-1)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{4+1+4}=3$.

b) Đường thẳng qua $I(-2;-1)$ và $O(0;0)$ có VTCP $\vec{u}=(2;1)$ (hoặc $(-2;-1)$), phương trình: $1(x-0)-2(y-0)=0$, tức $x-2y=0$.

c) Vì $O$ nằm trên Δ, viết Δ: $kx-y=0$ (không xét dạng $x=0$ vì khi đó d(I,Δ)=2, cho $AB=2\sqrt{9-4}=2\sqrt{5}\ne 4$). Khoảng cách từ $I(-2;-1)$ đến Δ: $d=\frac{|-2k+1|}{\sqrt{k^2+1}}$. Ta có $AB=2\sqrt{R^2-d^2}=4\Rightarrow R^2-d^2=4\Rightarrow d^2=5$. Suy ra $\frac{(2k-1{)}^2}{k^2+1}=5\iff 4k^2-4k+1=5k^2+5\iff k^2+4k+4=0\iff (k+2{)}^2=0\iff k=-2$. Vậy $\Delta :-2x-y=0$, tức $2x+y=0$. Kiểm tra: $d(I,\Delta )=\frac{|-4-1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, $AB=2\sqrt{9-5}=4$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+6y-12=0$ có tâm $I(2;-3)$, bán kính $R=\sqrt{4+9+12}=5$. Kiểm tra $M(5;1)$: $IM=\sqrt{3^2+4^2}=5=R$ nên $M$ thuộc $(C)$. Vectơ $\overrightarrow{IM}=(3;4)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$. Tiếp tuyến: $3(x-5)+4(y-1)=0\iff 3x+4y-19=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(0;-2)$, bán kính $R=2$ có phương trình: $(x-0{)}^2+(y+2{)}^2=2^2$, tức $x^2+(y+2{)}^2=4$. Vậy đáp án A.