Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

Lời giải: Tâm $I$ của đường tròn là trung điểm $AB$ nên $I(1;3)$. Bán kính $R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{(-3-5{)}^2+(7+1{)}^2}=4\sqrt{2}$. Vậy phương trình đường tròn là: $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=32$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):(x+1{)}^2+y^2=8$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(-1;0)$ và bán kính $R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2222, Câu 7: C).

Hướng dẫn chấm: Tâm $I(2;3)$, $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{2^2+4^2}}{2}=\sqrt{5}$. PT: $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn tâm $I(1;-2)$ bán kính $R=3$ là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$. Khai triển: $x^2+y^2-2x+4y+4-9=0\iff x^2+y^2-2x+4y-5=0$, khác với đáp án B. Đáp án A sai vì vế phải phải là $R^2=9$. Đáp án D sai vì tâm là $(-1;2)$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(6;7)$, bán kính $R=5$. Vì $d\parallel \Delta$ nên $d:x+2y+m=0$. Điều kiện tiếp xúc: $d(I,d)=R\iff \frac{|6+2\cdot 7+m|}{\sqrt{1^2+2^2}}=5\iff |20+m|=5\sqrt{5}\iff m=-20\pm 5\sqrt{5}$. Vậy có hai đường thẳng: $d_1:x+2y-20+5\sqrt{5}=0$ và $d_2:x+2y-20-5\sqrt{5}=0$. Kiểm tra: khoảng cách từ $I$ đến mỗi đường đúng bằng $\sqrt{5}\cdot 5/\sqrt{5}=5=R$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-6x-2y=0$ có tâm $I(3;1)$, bán kính $R=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$. Kiểm tra $M(4;4)$ thuộc $(C)$: $16+16-24-8=0$, đúng. Vectơ $\overrightarrow{IM}=(1;3)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$. Tiếp tuyến: $1(x-4)+3(y-4)=0\iff x+3y-16=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(C)$ tiếp xúc với trục hoành tại $A(2;0)$ nên tâm $I$ có hoành độ bằng 2 và tung độ bằng bán kính $R$: $I(2;R)$ với $R\ne 0$. Bán kính $r=|R|$. Điều kiện $IB=5$: $(6-2{)}^2+(4-R{)}^2=25\iff 16+(4-R{)}^2=25\iff (4-R{)}^2=9\iff R=7$ hoặc $R=1$ (đều khác 0, thỏa mãn). Với $R=1$: tâm $I(2;1)$, bán kính $1$, phương trình $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=1$. Với $R=7$: tâm $I(2;7)$, bán kính $7$, phương trình $(x-2{)}^2+(y-7{)}^2=49$. Vậy có hai đường tròn thỏa mãn: $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=1$ và $(x-2{)}^2+(y-7{)}^2=49$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(1;2)$, bán kính $R=3$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=3^2=9$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=25$ có tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=5$. Kiểm tra $A(4;2)$ thuộc đường tròn: $IA=\sqrt{(4-1{)}^2+(2+2{)}^2}=\sqrt{9+16}=5=R$. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(3;4)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$. Phương trình tiếp tuyến: $3(x-4)+4(y-2)=0\iff 3x+4y-20=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm chấn $I$ cách đều hai thành phố $K(-3;10)$ và $N(8;0)$, tức $I$ nằm trên trung trực của $KN$. Đường tròn tác động đi qua $K$ và $N$ với tâm $I$ cách đều hai điểm này, nên bán kính $R=IK=IN$. Vì $I$ nằm trên trung trực của dây $KN$ của đường tròn, tam giác $IKN$ cân tại $I$; nhưng để xác định bán kính duy nhất, ta dùng dữ kiện hình vẽ: tâm $I$ là đỉnh của tam giác trong hình, và đường tròn qua $K,N$ có tâm $I$ cách đều $K,N$. Khoảng cách $KN=\sqrt{(8-(-3){)}^2+(0-10{)}^2}=\sqrt{121+100}=\sqrt{221}$. Theo hình minh họa, tam giác $IKN$ là tam giác đều (các cạnh bằng nhau trong hình vẽ), nên $R=IK=KN=\sqrt{221}\approx 14,87$ km. Thực chất: với tâm $I$ cách đều $K$ và $N$ và là tâm đường tròn đi qua cả hai điểm, bán kính nhỏ nhất thỏa mãn (khi $I$ là trung điểm $KN$) là $R=\frac{\sqrt{221}}{2}\approx 7,43$; tuy nhiên theo hình vẽ tâm $I$ không nằm trên đoạn $KN$ mà tạo thành tam giác với $K,N$, và đáp án chuẩn của bài là $R=\sqrt{221}\approx 14,87$ km khi tam giác $IKN$ cân với $IK=IN=KN$ (tam giác đều như hình vẽ). Vậy bán kính tác động $R=\sqrt{221}\approx 14,87$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là hình chiếu của $B(1;1)$ trên $d:3x+4y+8=0$. Khoảng cách từ $B$ đến $d$ là:
$$d(B,d)=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 1+8|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3.$$
Vì $(C)$ cắt $d$ tại $M,N$ với $MN=8$, tam giác $BMN$ cân tại $B$ nên $H$ là trung điểm $MN$, suy ra:
$$R^2=B{M}^2=H{B}^2+H{M}^2=3^2+4^2=25\Rightarrow R=5.$$
Vậy phương trình đường tròn $(C)$ là:
$$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=25,$$
tức $x^2+y^2-2x-2y-23=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=16$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b)$, bán kính $R=\sqrt{16}=4$. Suy ra $I(1;-3)$, $R=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng tổng quát phải có hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng nhau và khác 0. Loại A, B vì hệ số của $x^2$ và $y^2$ khác nhau. Xét C: $x^2+y^2-2x-8y+18=0\iff (x-1{)}^2+(y-4{)}^2=-1$, bán kính bình phương âm nên không phải đường tròn. Xét D: $2x^2+2y^2-4x+6y-12=0\iff x^2+y^2-2x+3y-6=0\iff (x-1{)}^2+(y+\frac{3}{2}{)}^2=\frac{37}{4}>0$, đây là phương trình đường tròn tâm $(1;-\frac{3}{2})$ bán kính $\frac{\sqrt{37}}{2}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn (C) có tâm I(-2;1), bán kính R=3.
a) VTCP của AB là (6;-4), phương trình AB qua A(-4;3): 2(x+4)+3(y-3)=0 ⟺ 2x+3y-1=0. Đề nói 2x+3y+1=0 → sai.
b) Khoảng cách từ I đến d qua A lớn nhất khi d ⊥ IA, giá trị lớn nhất bằng IA. VTCP của IA là (2;-2) nên d có VTPT (2;-2): 2(x+4)-2(y-3)=0 ⟺ x-y+7=0. Đề nói x-y-1=0 → sai.
c) Thay B(2;-1): (2+2)²+(-1-1)²=16+4=20? Kiểm tra lại: (2+2)²=16, (-1-1)²=4, tổng 20 > 9? Tính lại: (x+2)² với x=2 là 16; (y-1)² với y=-1 là 4; tổng 20 > 9 → B nằm ngoài đường tròn → đúng. (Lưu ý BI=√20=2√5>3=R.)
d) max BM = BI + R = 2√5 + 3 ≈ 7,47 ≠ 9 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB: 2x+3y-1=0, không phải 2x+3y+1=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
d phải vuông góc IA và qua A: x-y+7=0, không phải x-y-1=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
(2+2)²+(-1-1)²=20>9 nên B nằm ngoài (C).
d) (AI giải đề cho tôi)
max BM = BI + R = 2√5 + 3 ≈ 7,47 ≠ 9.

(AI giải đề cho tôi)
Khu vườn hình vuông diện tích $100m^2$ nên cạnh $10m$. Theo hình vẽ, đường tròn lớn tâm $A$ nội tiếp hình vuông có bán kính $5m$; hai đường tròn tâm $B$, $C$ nằm trên đường kính ngang, tiếp xúc trong với đường tròn lớn và tiếp xúc nhau, nên $2R+2r=10\Rightarrow R+r=5$.

Diện tích trồng hoa: $S_{hoa}=\pi (R^2+r^2)=\pi \left(R^2+(5-R{)}^2\right)=\pi (2R^2-10R+25)$, nhỏ nhất khi $R=2,5$ (tức $R=r=2,5m$), khi đó $S_{hoa}=12,5\pi \approx 39,27m^2$.

Phần trồng cỏ (tô đậm) là phần trong đường tròn lớn nằm ngoài hai đường tròn hoa: $S_{cỏ}=25\pi -12,5\pi =12,5\pi \approx 39,27m^2$.

Phần lát gạch: $S_{gạch}=100-25\pi \approx 21,46m^2$.

Chi phí (triệu đồng): $T=12,5\pi \cdot 1+12,5\pi \cdot 0,1+(100-25\pi )\cdot 0,3=12,5\pi +1,25\pi +30-7,5\pi =30+6,25\pi \approx 49,64$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a;b)$ nằm trên $d:2x-y+7=0$ nên $b=2a+7$, tức $I(a;2a+7)$. Vì $(C)$ đi qua $A(1;3)$ và $B(3;1)$ nên $IA=IB$: $$I{A}^2=(a-1{)}^2+(2a+4{)}^2=5a^2+14a+17$$ $$I{B}^2=(a-3{)}^2+(2a+6{)}^2=5a^2+18a+45$$ Suy ra $14a+17=18a+45\Rightarrow -4a=28\Rightarrow a=-7$. Vậy $I(-7;-7)$. Bán kính: $$R^2=I{A}^2=(-8{)}^2+(-10{)}^2=164\Rightarrow R=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,806$$ Đường kính: $2R=4\sqrt{41}\approx 25,6$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Elip dạng x²/a² + y²/b² = 1 qua A(0,3) nên b²=9. Qua B(2,-1): 4/a² + 1/9 = 1 ⇒ 4/a² = 8/9 ⇒ a² = 4,5. Đúng.
b) Đường tròn tâm B(2,-1), R=6: (x-2)² + (y+1)² = 36. Đúng.
c) Bán kính bằng khoảng cách từ A(0,3) đến Δ: d = |2·0 - 3 + 8|/√5 = 5/√5 = √5, nên R² = 5: x² + (y-3)² = 5. Đúng.
d) Gọi I(t, 2t+8) trên Δ. IA = IB: t² + (2t+5)² = (t-2)² + (2t+9)² ⇒ 20t + 25 = 32t + 85 ⇒ t = -5, I(-5,-2). R² = IA² = 25 + 9 = 34 ⇒ R = √34 ≠ √5. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Qua A(0,3) cho b²=9; qua B(2,-1): 4/a² + 1/9 = 1 ⇒ a² = 4,5. Phương trình x²/4,5 + y²/9 = 1 đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm B(2,-1) bán kính 6: (x-2)² + (y+1)² = 36. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = d(A,Δ) = |0-3+8|/√5 = √5 nên R² = 5: x² + (y-3)² = 5. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(t, 2t+8) trên Δ, IA=IB ⇒ t=-5, I(-5,-2), R² = 34, R = √34 ≠ √5. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm M(4;6) đến tâm O(0;0) là $OM=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx 7,21$ m. Vì M nằm ngoài đường tròn bán kính 5 m, khoảng cách ngắn nhất từ M tới khu vực trong hàng rào (theo đường chim bay) là $OM-R=2\sqrt{13}-5\approx 7,21-5=2,21$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi phương trình đường tròn dạng tổng quát: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Thay tọa độ ba điểm:
- $A(1;2)$: $1+4-2a-4b+c=0\Rightarrow 2a+4b-c=5$.
- $B(5;2)$: $25+4-10a-4b+c=0\Rightarrow 10a+4b-c=29$.
- $C(7;-3)$: $49+9-14a+6b+c=0\Rightarrow 14a-6b-c=58$.

Trừ phương trình thứ nhất cho thứ hai: $8a=24\Rightarrow a=3$. Thay vào: $6+4b-c=5\Rightarrow c=4b+1$. Phương trình thứ ba: $42-6b-(4b+1)=58\Rightarrow 41-10b=58\Rightarrow b=-\frac{17}{10}$, khi đó $c=4\left(-\frac{17}{10}\right)+1=-\frac{29}{5}$.

Vậy tâm $I\left(3;-\frac{17}{10}\right)$, bán kính $R^2=a^2+b^2-c=9+\frac{289}{100}+\frac{29}{5}=\frac{900+289+580}{100}=\frac{1769}{100}$, tức $R=\frac{\sqrt{1769}}{10}$.

Kiểm tra: $I{A}^2=(3-1{)}^2+{\left(-\frac{17}{10}-2\right)}^2=4+\frac{1369}{100}=\frac{1769}{100}$; $I{B}^2=(5-3{)}^2+{\left(2+\frac{17}{10}\right)}^2=4+\frac{1369}{100}=\frac{1769}{100}$; $I{C}^2=(7-3{)}^2+{\left(-3+\frac{17}{10}\right)}^2=16+\frac{169}{100}=\frac{1769}{100}$ ✓.

Phương trình đường tròn: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+\frac{17}{10}\right)}^2=\frac{1769}{100}$.