Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vùng phủ sóng là hình tròn tâm $I(-5;4)$ bán kính $R=6$ km.
a) Sai. Điểm xa nhất nhận được sóng cách $I$ đúng bằng bán kính phủ sóng $R=6$ km, không phải 12 km.
b) Đúng. Đường tròn tâm $I(-5;4)$, bán kính 6: $(x+5{)}^2+(y-4{)}^2=36$.
c) Sai. $OI=\sqrt{(-5{)}^2+4^2}=\sqrt{41}\approx 6,40>6$, nên gốc $O$ nằm ngoài vùng phủ sóng.
d) Đúng. $AI=\sqrt{(2+5{)}^2+(-6-4{)}^2}=\sqrt{149}\approx 12,21>6$ nên $A$ ngoài vùng phủ sóng. Người đi theo đường thẳng từ $A$ đến $O$, phương trình đường thẳng $AO$: $3x+y=0$. Khoảng cách từ $I$ đến đường này là $d=\frac{|3(-5)+4|}{\sqrt{10}}=\frac{11}{\sqrt{10}}\approx 3,48<6$, nên đường thẳng cắt vùng phủ sóng. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $I$ xuống đường $AO$: $AH=\sqrt{A{I}^2-d^2}=\sqrt{149-\frac{121}{10}}=\sqrt{136,9}\approx 11,70$ km. Điểm đầu tiên trên đường đi mà người đó nhận được sóng cách $H$ một đoạn $\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{36-\frac{121}{10}}=\sqrt{23,9}\approx 4,89$ km (về phía $A$). Vậy quãng đường ngắn nhất là $\sqrt{136,9}-\sqrt{23,9}\approx 6,81$ km, đúng như đề bài.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Điểm xa nhất nhận sóng cách $I$ đúng bằng bán kính 6 km, không phải 12 km.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(-5;4)$ bán kính 6: $(x+5{)}^2+(y-4{)}^2=36$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$OI=\sqrt{41}\approx 6,40>6$ nên $O$ nằm ngoài vùng phủ sóng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$AI=\sqrt{149}\approx 12,21>6$ nên $A$ ngoài vùng phủ sóng. Đường thẳng $AO$: $3x+y=0$; $d(I,AO)=\frac{11}{\sqrt{10}}\approx 3,48<6$ nên đường thẳng cắt vùng phủ sóng. Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $I$: $AH=\sqrt{149-\frac{121}{10}}=\sqrt{136,9}\approx 11,70$ km. Điểm vào vùng phủ sóng gần $A$ nhất cách $H$ một đoạn $\sqrt{36-\frac{121}{10}}=\sqrt{23,9}\approx 4,89$ km. Quãng đường ngắn nhất: $\sqrt{136,9}-\sqrt{23,9}\approx 6,81$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp có dạng $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$. Thay tọa độ ba đỉnh:
- $A(10;19)$: $10D+19E+F=-461$
- $B(15;-16)$: $15D-16E+F=-481$
- $C(5;4)$: $5D+4E+F=-41$

Lấy phương trình của $A$ trừ của $C$: $5D+15E=-420\Rightarrow D+3E=-84$. Lấy phương trình của $B$ trừ của $C$: $10D-20E=-440\Rightarrow D-2E=-44$. Trừ hai phương trình: $5E=-40\Rightarrow E=-8$, suy ra $D=-60$, và $F=-41-5D-4E=-41+300+32=291$.

Vậy đường tròn: $x^2+y^2-60x-8y+291=0$, có tâm $I(30;4)$ và bán kính $R=\sqrt{30^2+4^2-291}=\sqrt{625}=25$.

Kiểm tra: $I{A}^2=(10-30{)}^2+(19-4{)}^2=400+225=625$; $I{B}^2=(15-30{)}^2+(-16-4{)}^2=225+400=625$; $I{C}^2=(5-30{)}^2+(4-4{)}^2=625$. Cả ba đỉnh đều thuộc đường tròn.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm $I(-2;7)$ đến đường thẳng $d:5x-12y+42=0$: $R=\frac{|5(-2)-12\cdot 7+42|}{\sqrt{5^2+(-12{)}^2}}=\frac{|-10-84+42|}{13}=\frac{52}{13}=4$. Vậy $(C):(x+2{)}^2+(y-7{)}^2=16$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+6y-12=0$ có tâm $I(2;-3)$, bán kính $R=\sqrt{4+9+12}=5$. Kiểm tra $A(5;1)$: $IA=\sqrt{(5-2{)}^2+(1+3{)}^2}=\sqrt{9+16}=5=R$, nên $A$ thuộc $(C)$. Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$ là $\overrightarrow{IA}=(3;4)$, nên tiếp tuyến có phương trình: $3(x-5)+4(y-1)=0\iff 3x+4y-19=0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a;b)$ thuộc $d:2a+b-3=0$. Vì $(C)$ đi qua $A(2;1)$ và $B(1;1)$ nên $IA=IB$, tức $I$ nằm trên trung trực của $AB$. Trung điểm của $AB$ là $M\left(\frac{3}{2};1\right)$; vì $AB$ nằm ngang (cùng tung độ 1) nên trung trực của $AB$ là đường thẳng $x=\frac{3}{2}$. Suy ra $a=\frac{3}{2}$, thay vào phương trình $d$: $2\cdot \frac{3}{2}+b-3=0\Rightarrow b=0$. Vậy $I\left(\frac{3}{2};0\right)$. Bán kính $R=IA=\sqrt{{\left(2-\frac{3}{2}\right)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$, nên $R^2=\frac{5}{4}$. Phương trình đường tròn: ${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+y^2=\frac{5}{4}$, hay $x^2+y^2-3x+1=0$. Kiểm tra: $A(2;1)$: $4+1-6+1=0$ đúng; $B(1;1)$: $1+1-3+1=0$ đúng; tâm $\left(\frac{3}{2};0\right)$ thỏa $2\cdot \frac{3}{2}+0-3=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $x^2+y^2=25$ có tâm $O(0;0)$, bán kính $R=5$. Điểm $M(4;3)$ nằm trên đường tròn vì $4^2+3^2=25$. Tiếp tuyến tại $M$ vuông góc với bán kính $OM$, nhận vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(4;3)$, nên có phương trình $4(x-4)+3(y-3)=0\iff 4x+3y-25=0$. Kiểm tra: $M(4;3)$ thỏa mãn $4\cdot 4+3\cdot 3-25=0$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b)$, bán kính $R=\sqrt{9}=3$. So sánh: $a=1$, $-b=2\Rightarrow b=-2$, nên $I(1;-2)$, $R=3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a,b)$. Vì $I\in d:x-6y-10=0$ nên $a=6b+10$. Đường tròn tiếp xúc với cả $d_1$ và $d_2$ nên khoảng cách từ $I$ đến hai đường thẳng bằng nhau: $$\frac{|3a+4b+5|}{5}=\frac{|4a-3b-5|}{5}.$$ Thay $a=6b+10$: $3a+4b+5=22b+35$ và $4a-3b-5=21b+35$. Do đó $|22b+35|=|21b+35|$, tức $22b+35=21b+35\Rightarrow b=0$, hoặc $22b+35=-(21b+35)\Rightarrow 43b=-70\Rightarrow b=-\frac{70}{43}<0$ (loại vì tung độ tâm không âm). Vậy $b=0$, $a=10$, tâm $I(10;0)$. Bán kính $R=\frac{|3\cdot 10+4\cdot 0+5|}{5}=\frac{35}{5}=7$. Phương trình đường tròn: $(x-10{)}^2+y^2=49$. Kiểm tra: khoảng cách từ $I(10;0)$ đến $d_2$ là $\frac{|40-0-5|}{5}=7$ — thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2-2(m+2)x+4my+19m-6=0$ có $a=1$, $b=-2(m+2)$, $c=4m$. Tâm $I(m+2;-2m)$, $R^2=(m+2{)}^2+(2m{)}^2-(19m-6)=m^2+4m+4+4m^2-19m+6=5m^2-15m+10=5(m-1)(m-2)$. Phương trình là đường tròn khi $R^2>0\iff (m-1)(m-2)>0\iff m<1$ hoặc $m>2$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+2y=0$ có tâm $I(2;-1)$, bán kính $R=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$. Kiểm tra $M(1;1)$ thuộc $(C)$: $(1-2{)}^2+(1+1{)}^2=1+4=5=R^2$. Phương trình tiếp tuyến tại $M$: $(x_M-a)(x-a)+(y_M-b)(y-b)=R^2$, tức $(-1)(x-2)+2(y+1)=5\iff -x+2+2y+2=5\iff -x+2y-1=0\iff x-2y+1=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm của AB: I((2+0)/2;(-3-1)/2)=(1;-2) → đúng.
b) AB=√(4+4)=2√2 nên R=√2, R²=2. Đường tròn: (x-1)²+(y+2)²=2 → đúng.
c) Bán kính = d(A,d)=|2-2(-3)+4|/√5=12/√5=12√5/5 ≈ 5,37 ≠ 2√5 → sai.
d) d(J,d)=|5-4+4|/√5=√5. R²=d²+(MN/2)²=5+4=9 → R=3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm AB: I(1;-2).
b) (AI giải đề cho tôi)
R=AB/2=√2 nên (x-1)²+(y+2)²=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
R=d(A,d)=|2+6+4|/√5=12/√5≠2√5.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(J,d)=√5, R²=5+2²=9 nên R=3.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi phương trình đường tròn: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Thay tọa độ ba điểm:
- $A(-1;1)$: $1+1+2a-2b+c=0\Rightarrow 2a-2b+c=-2$.
- $B(3;1)$: $9+1-6a-2b+c=0\Rightarrow -6a-2b+c=-10$.
- $C(1;3)$: $1+9-2a-6b+c=0\Rightarrow -2a-6b+c=-10$.

Trừ phương trình thứ nhất cho thứ hai: $8a=8\Rightarrow a=1$. Trừ phương trình thứ nhất cho thứ ba: $8a-4b=8\Rightarrow b=0$... kiểm tra lại: $2(1)-2b+c=-2$ và $-2(1)-6b+c=-10$, trừ nhau: $4+4b=8\Rightarrow b=1$, suy ra $c=-2-2+2=-2$. Vậy tâm $I(1;1)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{1+1+2}=2$.

Kiểm tra: $AB$ có trung điểm $(1;1)$ nên tâm nằm trên trung trực của $AB$; $IA=\sqrt{4+0}=2$, $IB=\sqrt{4+0}=2$, $IC=\sqrt{0+4}=2$. Đúng.

Phương trình đường tròn: $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=4$, tức $x^2+y^2-2x-2y-2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm $I(-3;2)$ đến tiếp tuyến $3x+4y-9=0$: $R=\frac{|3(-3)+4(2)-9|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-9+8-9|}{5}=\frac{10}{5}=2$. Vậy $R^2=4$ và phương trình đường tròn là $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=4$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y-4=0$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+4}=3$. Kiểm tra $A(1;5)$: $IA=\sqrt{(1-1{)}^2+(5-2{)}^2}=3=R$ nên $A$ thuộc đường tròn. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(0;3)$ phương thẳng đứng nên tiếp tuyến tại $A$ vuông góc với $\overrightarrow{IA}$, tức là đường thẳng nằm ngang đi qua $A$: $y=5\iff y-5=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn: $x^2+y^2-6x+2y+6=0\iff (x-3{)}^2+(y+1{)}^2=4$, tâm $I(3;-1)$, bán kính $R=2$.
a) Đúng: tâm $I(3;-1)$, $R=2$.
b) Đúng: $IA=\sqrt{(1-3{)}^2+(-1+1{)}^2}=2=R$ nên $A$ thuộc đường tròn.
c) Sai: $\overrightarrow{IA}=(-2;0)$, tiếp tuyến tại $A$ có phương trình $-2(x-1)+0(y+1)=0\iff x=1$, không phải $x+1=0$.
d) Đúng: Gọi $P$ thỏa $2\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$, suy ra $P=\frac{2A+B}{3}=\left(\frac{2\cdot 1-2}{3};\frac{2\cdot (-1)+11}{3}\right)=(0;3)$. Với mọi $M$: $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MP}$, nên $\min \left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=3d\left(P,(C)\right)$. Ta có $IP=\sqrt{(0-3{)}^2+(3+1{)}^2}=5>R=2$, do đó $d\left(P,(C)\right)=5-2=3$ và giá trị nhỏ nhất bằng $3\cdot 3=9$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=4$ nên tâm $I(3;-1)$, bán kính $R=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$IA=\sqrt{(1-3{)}^2+(-1+1{)}^2}=2=R$ nên $A$ thuộc đường tròn.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Véc-tơ pháp tuyến của tiếp tuyến là $\overrightarrow{IA}=(-2;0)$, phương trình tiếp tuyến: $-2(x-1)=0\iff x=1$, không phải $x+1=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Gọi $P$ thỏa $\overrightarrow{PA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, tức $P=\frac{2A+B}{3}=(0;3)$. Khi đó $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MP}$, nên $\min \left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=3d\left(P,(C)\right)$. Ta có $IP=\sqrt{(0-3{)}^2+(3+1{)}^2}=5>R=2$, do đó $d\left(P,(C)\right)=5-2=3$ và giá trị nhỏ nhất bằng $3\cdot 3=9$: Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $4x+y-12=0$ tại $B(2;4)$ nên tâm $I$ nằm trên đường thẳng qua $B$ vuông góc với đường thẳng đã cho, tức là trên đường thẳng có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến $(4;1)$ của đường thẳng. Vậy $I=(2+4t;4+t)$ với $t\ne 0$.

Vì $A$ và $B$ cùng thuộc đường tròn nên $IA=IB$:
$$I{A}^2=(-6-2-4t{)}^2+(2-4-t{)}^2=(8+4t{)}^2+(2+t{)}^2=68+68t+17t^2,$$
$$I{B}^2=(4t{)}^2+t^2=17t^2.$$
Suy ra $68+68t+17t^2=17t^2\Rightarrow 68t=-68\Rightarrow t=-1$.

Do đó $I=(2-4;4-1)=(-2;3)$ và bán kính:
$$R^2=I{B}^2=4\cdot (-1{)}^2+(-1{)}^2=17.$$

Kiểm tra: $I{A}^2=(-6+2{)}^2+(2-3{)}^2=16+1=17=R^2$ ✓; khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $4x+y-12=0$ là $\frac{|4\cdot (-2)+3-12|}{\sqrt{17}}=\frac{17}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}=R$ ✓.

Phương trình đường tròn: $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=17$, hay dạng khai triển $x^2+y^2+4x-6y-4=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I$ thuộc $d:x+y-1=0$ nên có dạng $I(a;1-a)$. Vì đường tròn qua $A(6;2),B(-1;3)$ nên $IA=IB$: $(a-6{)}^2+(1-a-2{)}^2=(a+1{)}^2+(1-a-3{)}^2$, tức $(a-6{)}^2+(a+1{)}^2=(a+1{)}^2+(a+2{)}^2$, suy ra $(a-6{)}^2=(a+2{)}^2\Rightarrow a-6=-(a+2)\Rightarrow a=2$. Vậy $I(2;-1)$, $R^2=I{A}^2=(6-2{)}^2+(2+1{)}^2=16+9=25$. Phương trình: $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn là $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{3}$. Kiểm tra $A(1;5)$: $I{A}^2=(1-1{)}^2+(5-2{)}^2=9=3^2\ne R^2=3$, tức $A$ không nằm trên đường tròn. Tuy nhiên theo dữ kiện đề bài, $A$ được coi là tiếp điểm; vectơ $\overrightarrow{IA}=(0;3)$ thẳng đứng nên tiếp tuyến tại $A$ vuông góc với $\overrightarrow{IA}$ là đường thẳng nằm ngang đi qua $A$: $y=5$, tức $y-5=0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(2;-1)$ nằm ở góc phần tư thứ IV và đường tròn tiếp xúc cả hai trục nên tâm $I(a;b)$ với $a=R>0$, $b=-R<0$, tức $I(R;-R)$ → (a) Đúng. Khoảng cách $IA=R$: $(R-2{)}^2+(-R+1{)}^2=R^2\iff (R-2{)}^2+(R-1{)}^2=R^2$ → (b) Đúng. Rút gọn: $R^2-4R+4+R^2-2R+1=R^2\iff R^2-6R+5=0\iff R=1$ hoặc $R=5$, cả hai đều thỏa $R>0$ → có 2 đường tròn → (c) Đúng. Tổng bán kính $=1+5=6\ne 5$ → (d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
A(2;-1) thuộc góc phần tư IV, đường tròn tiếp xúc hai trục nên tâm $I(R;-R)$ với $R>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IA=R\iff (R-2{)}^2+(R-1{)}^2=R^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R^2-6R+5=0\iff R=1$ hoặc $R=5$: hai đường tròn thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bán kính $=1+5=6\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a;b)$, vì $I$ thuộc đường thẳng $x+2y=6$ nên $a+2b=6$ (1). Vì $(C)$ đi qua $A(3;4)$ và $B(0;1)$ nên $IA=IB$, tức $I{A}^2=I{B}^2$: $(a-3{)}^2+(b-4{)}^2=a^2+(b-1{)}^2$. Khai triển: $a^2-6a+9+b^2-8b+16=a^2+b^2-2b+1$, suy ra $-6a-6b+24=0$, tức $a+b=4$ (2). Từ (1) và (2): trừ hai phương trình được $b=2$, suy ra $a=2$. Vậy $I(2;2)$. Bán kính $R=IA=\sqrt{(2-3{)}^2+(2-4{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$, nên $R^2=5$. Kiểm tra với $B$: $I{B}^2=(2-0{)}^2+(2-1{)}^2=5$ đúng. Phương trình đường tròn: $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=5$.