Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y=0$ viết lại thành $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$ nên tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{5}$. a) Đúng. b) Thay $I(1;2)$ vào $\Delta$: $1-2\cdot 2+3=0$ nên $\Delta$ đi qua tâm → khẳng định sai. c) Thay $A(2;0)$: $4+0-4-0=0$ nên $A\in (C)$ → đúng. d) $M(0;4)$ thuộc $(C)$ vì $0+16-0-16=0$; $\overrightarrow{IM}=(-1;2)$, tiếp tuyến tại $M$: $-1(x-0)+2(y-4)=0\iff x-2y+8=0$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$ nên tâm $I(1;2)$, bán kính $\sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $I(1;2)$ vào $\Delta$: $1-2\cdot 2+3=0$, nên $\Delta$ đi qua tâm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2^2+0^2-2\cdot 2-4\cdot 0=0$ nên $A\in (C)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(0;4)\in (C)$; $\overrightarrow{IM}=(-1;2)$, tiếp tuyến $-x+2(y-4)=0\iff x-2y+8=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là $a,b$. Vì hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đường kính 10 cm nên đường chéo của hình chữ nhật bằng đường kính: $a^2+b^2=100$. Chu vi: $a+b=14$, suy ra $ab=\frac{(a+b{)}^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{196-100}{2}=48$. Diện tích hình tròn: $\pi R^2=\pi \cdot 5^2=25\pi \approx 78,54$ cm². Diện tích phần sơn: $25\pi -48\approx 78,54-48=30,54\approx 30,5$ cm². Khớp với đáp án nguồn 30.5 (Mã đề 104, Phần III Câu 2).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đường kính 10 cm nên đường chéo của hình chữ nhật bằng 10 cm. Gọi hai cạnh là $a,b$; chu vi $2(a+b)=28\Rightarrow a+b=14$. Theo định lý Pythagoras: $a^2+b^2=10^2=100$. Suy ra $ab=\frac{(a+b{)}^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{196-100}{2}=48$, tức diện tích hình chữ nhật bằng $48{\text{cm}}^2$. Diện tích hình tròn: $\pi R^2=\pi \cdot 5^2=25\pi \approx 78,54{\text{cm}}^2$. Diện tích phần được sơn: $25\pi -48\approx 78,54-48=30,54\approx 30,5{\text{cm}}^2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (30.5).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đường kính 10 cm nên đường chéo của nó bằng 10 cm: $a^2+b^2=100$. Chu vi 28 cm nên $a+b=14$. Suy ra $ab=\frac{(a+b{)}^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{196-100}{2}=48$, tức diện tích hình chữ nhật bằng 48 cm². Diện tích hình tròn là $\pi R^2=\pi \cdot 5^2=25\pi \approx 78,54$ cm². Diện tích phần được sơn đỏ là $25\pi -48\approx 78,54-48=30,54\approx 30,5$ cm². Kết quả trùng với đáp án nguồn (30.5).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật nội tiếp là $a,b$. Đường kính hình tròn là đường chéo hình chữ nhật nên $a^2+b^2=10^2=100$. Chu vi $2(a+b)=28\Rightarrow a+b=14$. Suy ra $ab=\frac{(a+b{)}^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{196-100}{2}=48$, tức diện tích hình chữ nhật bằng $48{\text{cm}}^2$. Diện tích hình tròn $\pi R^2=\pi \cdot 5^2=25\pi \approx 78,54{\text{cm}}^2$. Diện tích phần sơn đỏ $=25\pi -48\approx 30,54\approx 30,5{\text{cm}}^2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 30.5.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(x-1{)}^2+(y+4{)}^2=25$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với $a=1$, $b=-4$, $R^2=25\Rightarrow R=5$. Vậy tâm $I(1;-4)$, bán kính $R=5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục toạ độ $A(0;0)$, $B(10;0)$, $D(0;10)$, $C(10;10)$. Khi đó $M(0;5)$, $N(4;0)$, $P(10;6)$.

Gọi $I(a;b)$ là tâm, $R$ bán kính. Vì các cây nằm ngoài đường tròn và khoảng cách từ mỗi cây đến $(C)$ bằng nhau nên $IM-R=IN-R=IP-R$, tức $IM=IN=IP$: $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$.

Từ $IM=IN$: $a^2+(b-5{)}^2=(a-4{)}^2+b^2\Rightarrow 8a-10b+9=0$.
Từ $IN=IP$: $(a-4{)}^2+b^2=(a-10{)}^2+(b-6{)}^2\Rightarrow 12a+12b-120=0\Rightarrow a+b=10$.

Suy ra $18a-100+9=0\Rightarrow a=\frac{91}{18}\approx 5,056$, $b=\frac{89}{18}\approx 4,944$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R_0^2=a^2+(b-5{)}^2={\left(\frac{91}{18}\right)}^2+{\left(\frac{1}{18}\right)}^2=\frac{8282}{324}\Rightarrow R_0\approx 5,056$.

Vì ao phải nằm trong khuôn viên, $R\le$ khoảng cách từ $I$ đến cạnh gần nhất. Các khoảng cách tới bốn cạnh: tới $AB$ là $b=\frac{89}{18}\approx 4,944$; tới $AD$ là $a\approx 5,056$; tới $BC$ là $10-a\approx 4,944$; tới $CD$ là $10-b\approx 5,056$. Vậy $R_{\max }=\frac{89}{18}$, và với $R$ này khoảng cách từ mỗi cây đến $(C)$ vẫn bằng nhau do $IM=IN=IP$.

$a+b+R=\frac{91}{18}+\frac{89}{18}+\frac{89}{18}=\frac{269}{18}\approx 14,9$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R$ có phương trình $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ (vế phải là bình phương bán kính). Do đó đáp án là C; các phương án B, D sai vì vế phải là $R$ chứ không phải $R^2$, phương án A sai dấu ở tâm.

Vì đường tròn $(C)$ có tâm $I(3;-1)$ và có bán kính $R=\frac{8}{2}=4$ nên đường tròn $(C)$ có phương trình là $(C):(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=16$.

Điểm $M(x;y)$ thuộc đường tròn tâm $I(a;b)$, bán kính $R$ khi $IM=R\iff (x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$. Chọn đáp án (C)

Do vận tốc truyền âm không đổi và âm thanh phát ra từ điểm $I$ mà ba điểm $A(1;2)$, $B(3;4)$ và $C(1;0)$ nhận được âm thanh sau 2 giây nên ta có $IA=IB=IC$. Khi đó $I$ là tâm đường tròn $(C)$ ngoại tiếp $△ABC$.

Gọi $I(a;b)$ là tâm đường tròn $(C):x^2+y^2-2ax-2by+c=0$, (với $a^2+b^2-c>0$) thì ta có hệ phương trình

$$\{\begin{array}{l}-2a-4b+c=-5\\ -6a-8b+c=-25\\ -2a+c=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\\ c=7\end{array}.$$

Khi đó đường tròn $(C)$ có tâm $I(4;1)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{10}$.

Ta có $ID=\sqrt{(9-4{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{34}$.

Do vận tốc âm thanh không đổi nên thời gian nhận được âm thanh tỉ lệ với quãng đường đi nên $\frac{t_{ID}}{t_{IA}}=\frac{ID}{IA}\Rightarrow t_{ID}=\frac{ID}{IA}\cdot t_{IA}=\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{10}}\cdot 2=\frac{2\sqrt{85}}{5}$.

Từ phương trình đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+4y-1=0\Rightarrow I(1;-2)$ là tâm của $(C)$. Chọn đáp án (A)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2+2ax+2by+c=0$ với hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng nhau và không có hạng tử $xy$. A có $2y^2$ (hệ số khác nhau) nên loại. B có hạng tử $-2xy$ nên loại. C có $x^2-y^2$ (hệ số khác nhau) nên loại. D: $x^2+y^2-x=0$ có $a=b=0$, $2a=-1$, $2b=0$, $c=0$; kiểm tra $a^2+b^2-c=\frac{1}{4}>0$ nên đây là đường tròn tâm $\left(\frac{1}{2};0\right)$ bán kính $R=\frac{1}{2}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $O$ là tâm nửa đường tròn, $Q,P$ nằm trên đường kính với $OQ=OP=x$, chiều cao $MQ=h$. Vì $M$ thuộc nửa đường tròn bán kính $R=10$ nên $x^2+h^2=100$. Chu vi hình chữ nhật $MNQP$ là $2(2x+h)=40\Rightarrow 2x+h=20\Rightarrow h=20-2x$. Thay vào: $x^2+(20-2x{)}^2=100\Rightarrow 5x^2-80x+300=0\Rightarrow x^2-16x+60=0\Rightarrow x=6$ hoặc $x=10$. Với $x=10$ thì $h=0$ (loại), vậy $x=6$, $h=8$. Độ dài cạnh $MQ=8$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vùng phủ sóng là hình tròn tâm $I(-1;2)$ bán kính $R=4$ km. Khoảng cách từ $A(3;5)$ đến tâm: $IA=\sqrt{(3-(-1){)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$ km. Vì $IA=5>4$, điểm $A$ nằm ngoài vùng phủ sóng. Khoảng cách ngắn nhất từ $A$ tới vùng phủ sóng là $IA-R=5-4=1$ km, khớp với đáp án nguồn.

Đường tròn tâm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $(d)$ có bán kính $$R=d(I,\Delta )$$ $$=\frac{\left|3.1+4.1-2\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1$$ Vậy đường tròn có phương trình là: $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b)$, bán kính $R$. Với $(C):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$, so sánh ta có $a=-1$, $b=2$ và $R^2=9\Rightarrow R=3$ (bán kính là căn bậc hai của $9$, không phải $9$). Vậy tâm $I(-1;2)$, bán kính $R=3$, tương ứng đáp án C, khớp bảng đáp án mã đề 0101 câu 2: C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):(x+2{)}^2+(y+2{)}^2=25$ có tâm $I(-2;-2)$, bán kính $R=5$. Kiểm tra $M(2;1)$ thuộc $(C)$: $(2+2{)}^2+(1+2{)}^2=16+9=25$ ✓. Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến là $\overrightarrow{IM}=(2-(-2);1-(-2))=(4;3)$. Phương trình tiếp tuyến tại $M$: $4(x-2)+3(y-1)=0\iff 4x+3y-11=0$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn tâm $I(a;b)$, bán kính $R$ là tập các điểm $M(x;y)$ với $MI=R$, tức $\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}=R$, suy ra $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $x^2+y^2-8x-8y+7=0$ có dạng $(x-4{)}^2+(y-4{)}^2=25$ nên tâm $I(4;4)$, bán kính $R=5$. a) Đúng. d) Sai vì tâm là $I(4;4)$ chứ không phải $I(-4;-4)$. c) Tại $M(8;7)$, vectơ $\overrightarrow{IM}=(4;3)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến, nên $\Delta :4(x-8)+3(y-7)=0\iff 4x+3y-53=0$, không phải $4x+3y-28=0$ → Sai. b) Khoảng cách từ $M(8;7)$ đến $d:3x-4y-21=0$ là $d(M,d)=\frac{|3\cdot 8-4\cdot 7-21|}{\sqrt{9+16}}=\frac{25}{5}=5$ m. Robot trượt tối đa $4,5$ m $<5$ m nên chưa chạm hàng rào → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(x-4{)}^2+(y-4{)}^2=25$ nên $R=5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(M,d)=\frac{|24-28-21|}{5}=5$ m $>4,5$ m nên robot chưa va chạm hàng rào.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến qua $M(8;7)$ với pháp tuyến $\overrightarrow{IM}=(4;3)$ là $4x+3y-53=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn là $I(4;4)$.