Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R$ là $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$. Với $I(-1;2)$, $R=3$ ta được $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Góc nội tiếp $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ chắn cung $AC$, nên cung $AC$ có số đo $120^{\circ }$. Độ dài dây $AC=2R\sin 60^{\circ }=R\sqrt{3}=3\Rightarrow R=\sqrt{3}\approx 1,732$ m. Chu vi hình tròn $C=2\pi R=2\cdot 3,14\cdot 1,732\approx 10,88\approx 11$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (11).

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi ô vuông 40×40 (1/4 viên gạch) có 4 đường tròn bán kính r = 20 (cm) tâm tại các trung điểm các cạnh của ô; hai đường tròn liền kề có tâm cách nhau đúng 20√2 (cm) và giao nhau tạo thành một cánh hoa (hình thoi cong nhọn về góc ô và tâm ô).
Diện tích một cánh hoa (phần giao của hai đường tròn bán kính r = 20, khoảng cách tâm d = 20√2):
S_cánh = 2r²arccos(d/2r) − (d/2)√(4r² − d²) = 2·400·arccos(√2/2) − 10√2·√(1600 − 800)
= 800·(π/4) − 10√2·20√2 = 200π − 400 ≈ 228,32 (cm²).
Viên gạch có 4 bông hoa × 4 cánh = 16 cánh hoa:
S = 16(200π − 400) = 3200π − 6400 ≈ 3653,09 ≈ 3653 (cm²).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y+3=0$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{1+4-3}=\sqrt{2}$.

Tiếp tuyến cắt $Ox$ tại $A(a;0)$, cắt $Oy$ tại $B(0;b)$ với $a\ne 0$, $b\ne 0$. Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ (do hai trục vuông góc), vuông cân khi $OA=OB$, tức $|a|=|b|$.

Phương trình tiếp tuyến dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Điều kiện tiếp tuyến: $d(I,\Delta )=R=\sqrt{2}$, tức $\frac{\left|\frac{1}{a}+\frac{2}{b}-1\right|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}=\sqrt{2}$, tương đương ${\left(b+2a-ab\right)}^2=2(a^2+b^2)$.

TH1: $b=a$. Khi đó $(3a-a^2{)}^2=4a^2\iff a^2(a-3{)}^2=4a^2\iff (a-3{)}^2=4\iff a=1$ hoặc $a=5$.
→ Hai tiếp tuyến: $x+y=1$ và $x+y=5$.

TH2: $b=-a$. Khi đó $(-a+2a+a^2{)}^2=4a^2\iff a^2(a+1{)}^2=4a^2\iff (a+1{)}^2=4\iff a=1$ hoặc $a=-3$.
→ Hai tiếp tuyến: $x-y=1$ và $x-y=-3$.

Kiểm tra: với $x+y=1$: $d=\frac{|1+2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ✓; với $x+y=5$: $d=\frac{|3-5|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ✓; với $x-y=1$: $d=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ✓; với $x-y=-3$: $d=\frac{|1-2+3|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ✓.

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn: $x+y-1=0$; $x+y-5=0$; $x-y-1=0$; $x-y+3=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn là $I(3;1)$. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(4-3;4-1)=(1;3)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$. Phương trình tiếp tuyến: $1(x-4)+3(y-4)=0\iff x+3y-16=0$. Kiểm tra: $A(4;4)$ thỏa mãn $4+12-16=0$, và khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng bằng $|3+3-16|/\sqrt{10}=\sqrt{10}=R$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a;b)$ với $b=3a-12$ (vì $I\in d$). Vì $(C)$ đi qua $A(7;-1)$ và $B(1;5)$ nên $IA=IB$, tức $I{A}^2=I{B}^2$: $(a-7{)}^2+(3a-11{)}^2=(a-1{)}^2+(3a-17{)}^2$. Khai triển: vế trái $=10a^2-80a+170$, vế phải $=10a^2-104a+290$. Suy ra $24a=120\Rightarrow a=5$, khi đó $I(5;3)$. Bán kính $R=IA=\sqrt{(5-7{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Vậy bán kính đường tròn là $2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R$ có phương trình $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$. Với $I(-2;3)$, $R=3$ ta được $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=9$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là đường tròn khi $a^2+b^2-c>0$. A: $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=-7<0$ (tập rỗng). B: $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=5>0$, đường tròn tâm $(1;-1)$ bán kính $\sqrt{5}$. C: $(x-\frac{1}{2}{)}^2+y^2=-\frac{23}{4}<0$. D: có hạng tử $-4xy$ nên không phải phương trình đường tròn. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+(y+2{)}^2-9=0$ viết lại thành $x^2+(y+2{)}^2=9=3^2$. So với dạng chính tắc $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ ta được $a=0$, $b=-2$, nên tâm $I(0;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{9}=3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trung trực AB: trung điểm $(5/2;1/2)$, AB có hệ số góc $1$ nên trung trực có hệ số góc $-1$: $y-1/2=-(x-5/2)⟹x+y=3$. Trung trực BC: trung điểm $(7/2;5/2)$, BC có hệ số góc $-1$ nên trung trực có hệ số góc $1$: $y-5/2=x-7/2⟹y=x-1$. Giải hệ: $x+x-1=3⟹x=2$, $y=1$. Vậy $H(2;1)$ nằm trong tam giác ABC, $a+b=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(0;5)$ bán kính $R=4$ có phương trình $(x-0{)}^2+(y-5{)}^2=4^2$, tức $x^2+(y-5{)}^2=16$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ có tâm $I(3;-2)$, bán kính $R=\sqrt{9+4+12}=5$. Kiểm tra $A(-1;1)$: $IA=\sqrt{(-4{)}^2+3^2}=5=R$ nên $A$ thuộc đường tròn. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(-4;3)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến. Tiếp tuyến tại $A$: $-4(x+1)+3(y-1)=0\iff -4x+3y-7=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(x-2{)}^2+y^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b)$, bán kính $R=\sqrt{9}=3$. Vậy tâm $I(2;0)$, $R=3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R$ bằng khoảng cách từ $I(2;5)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y-6=0$:
$$R=\frac{|3\cdot 2-4\cdot 5-6|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|6-20-6|}{5}=\frac{20}{5}=4.$$
Vậy phương trình đường tròn là $(x-2{)}^2+(y-5{)}^2=16$, tức $x^2+y^2-4x-10y+13=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $O(0;0)$ bán kính $R=3$ có phương trình $x^2+y^2=R^2=9$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2=9$ có tâm $I(0;0)$, bán kính $R=3$. Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta :4x+3y+m=0$ là $d=\frac{|m|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|m|}{5}$. Tiếp xúc khi $d=R\iff \frac{|m|}{5}=3\iff m=\pm 15$. Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $x^2+y^2-2x+4y+1=0$ có dạng $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=4$, tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=2$. a) Đúng. b) $I{A}^2=(1-1{)}^2+(2+2{)}^2=16>4=R^2$ nên $A$ nằm ngoài đường tròn, đúng. c) $d(I,\Delta )=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$, đúng. d) $MN=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}\ne \sqrt{2}$, sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(C):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=4$ nên tâm là $I(1;-2)$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$I{A}^2=0^2+4^2=16>4=R^2$ nên $A$ nằm ngoài đường tròn, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,\Delta )=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$MN=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}\ne \sqrt{2}$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2+4x+6y-12=0$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $-2a=4$, $-2b=6$, suy ra $a=-2$, $b=-3$. Vậy tâm đường tròn là $I(-2;-3)$. Kiểm tra: $(x+2{)}^2+(y+3{)}^2=25$, đúng tâm $(-2;-3)$, bán kính $5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(1;3)$ có dạng $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=R^2$. Bán kính $R=IM=\sqrt{(3-1{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$, nên $R^2=8$. Vậy phương trình là $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=8$, khớp với đáp án D trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=25$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(1;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{25}=5$. Do đó A sai (tâm không phải $(-1;3)$), B sai ($R\ne 10$), C sai ($R\ne 25$), D đúng.