Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường ống là $\overrightarrow{AB}=(0;1;-1)$, nên $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ngang $(Oxy)$ (có vecto pháp tuyến $\vec{k}=(0;0;1)$) thỏa $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{k}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $\alpha =45^{\circ }$. Vậy đường ống nghiêng $45$ độ so với mặt phẳng ngang.

(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa đường thẳng $d$: $x=1+2t,y=-3-t,z=2t$. Thay vào $(\alpha )$: $(1+2t)+2(-3-t)-(2t)-2=0\Rightarrow -7-2t=0\Rightarrow t=-\frac{7}{2}$. Suy ra $M(-6;\frac{1}{2};-7)$, tức $a=-6,b=\frac{1}{2},c=-7$. Khi đó $a-2b+c=-6-1-7=-14$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường ống là $\overrightarrow{AB}=(0;1;-1)$. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng $(Oxy)$ có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(0;0;1)$: $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot 1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $\alpha =45^{\circ }$. Vậy đường ống nghiêng $45$ độ so với mặt phẳng ngang.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB}=(4-3;4-2;-2+4)=(1;2;2)$, với $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1+4+4}=3$. Vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(2;2;-1)$, với $|\vec{n}|=\sqrt{4+4+1}=3$. Góc $\phi$ giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(P)$ thỏa: $\sin \phi =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\vec{n}|}=\frac{|2+4-2|}{3\cdot 3}=\frac{4}{9}$. Suy ra $\phi =\arcsin \frac{4}{9}\approx 26,39^{\circ }\approx 26^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng OA có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{OA}}=(0;1;0)$. Mặt phẳng $(Oxz)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0;1;0)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{1}{1}=1$, suy ra $\alpha =90^{\circ }$. Thật vậy, OA chính là trục Oy nên vuông góc với mặt phẳng (Oxz). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(4;3;1)$ và điểm $M(12;9;1)$. Mặt phẳng $(P):3x+5y-z-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;5;-1)$. Kiểm tra: $\vec{u}\cdot \vec{n}=4\cdot 3+3\cdot 5+1\cdot (-1)=12+15-1=26\ne 0$ nên $d$ không song song và không vuông góc với $(P)$. Thay điểm $M$ vào $(P)$: $3\cdot 12+5\cdot 9-1-2=36+45-3=78\ne 0$ nên $M\notin (P)$, do đó $d$ không nằm trong $(P)$. Vậy $d$ cắt $(P)$ tại một điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;3)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;-2)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|2\cdot 1+(-1)(-1)+3\cdot (-2)|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{6}}=\frac{|2+1-6|}{\sqrt{84}}=\frac{3}{\sqrt{84}}\approx 0,3273$. Suy ra $\phi \approx \arcsin (0,3273)\approx 19,1^{\circ }\approx 19^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa đường thẳng $\Delta$ (VTCP $\vec{u}=(a;b;c)$) và mặt phẳng $(P)$ (VTPT $\vec{n}=(A;B;C)$) thỏa mãn $\sin (\Delta ,(P))=\left|\cos (\vec{u},\vec{n})\right|=\frac{|aA+bB+cC|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. Do đó $\cos (\Delta ,(P))=\frac{|aA+bB+cC|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ (vì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nằm trong $[0^{\circ };90^{\circ }]$ nên sin và cos đều dương, biểu thức trên đúng cho cả sin lẫn cos). Các phương án A, C sai vì thiếu giá trị tuyệt đối. Khẳng định đúng là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(3;4;5)$, vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(6;8;10)$. Vì $\vec{n}=2\vec{u}$ nên $\vec{u}\parallel \vec{n}$, tức đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Cụ thể: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|18+32+50|}{\sqrt{50}\cdot \sqrt{200}}=\frac{100}{100}=1$, suy ra $\alpha =90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1;2)$ và mặt phẳng $(P)$ có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(2;-2;-1)$. Ta có $\vec{u}\cdot \vec{n}=2\cdot 2+1\cdot (-2)+2\cdot (-1)=4-2-2=0$, nên $\Delta \parallel (P)$. Lấy điểm $M(1;-2;1)\in \Delta$, thay vào $(P)$: $2(1)-2(-2)-1+1=2+4-1+1=6\ne 0$. Khoảng cách $d=\frac{|6|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{6}{3}=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;2;1)$, mặt phẳng $(P):x-y+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;0)$. Góc giữa $d$ và $(P)$ thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-1-2+0|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\phi =60^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;3)$, mặt phẳng $(P):x-y-2z+4=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;-2)$. Góc φ giữa Δ và (P) thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|2+1-6|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{84}}\approx 0,3273$. Suy ra $\phi \approx 19,1^{\circ }\approx 19^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(-1;2;1)$, mặt phẳng $(P):x-y+3=0$ có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;0)$. Góc giữa $d$ và $(P)$ thỏa $\sin \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-1-2+0|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\theta =60^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(-1;-2;2)$ với $|\vec{u}|=3$, vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(2;-1;2)$ với $|\vec{n}|=3$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|2(-1)+(-1)(-2)+2\cdot 2|}{9}=\frac{|-2+2+4|}{9}=\frac{4}{9}$. Do đó $\cos \phi =\sqrt{1-{\sin }^2\phi }=\sqrt{1-\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt{65}}{9}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;-2;2)$ với $|\vec{u}|=\sqrt{1+4+4}=3$. Mặt phẳng $(P):2x-y+2z+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;2)$ với $|\vec{n}|=\sqrt{4+1+4}=3$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-2+2+4|}{3\cdot 3}=\frac{4}{9}$. Do đó $\cos \phi =\sqrt{1-\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt{65}}{9}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 1210, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng (P): x-2y+5z+9=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;-2;5), nên ý a) Đúng. b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u=(-2;4;2), vectơ (1;-2;2) không cùng phương với u (tỉ số -2/1 = -2, 4/(-2) = -2, 2/2 = 1 không bằng nhau), nên ý b) Sai. c) d⊥(P) khi u cùng phương với n=(1;-2;5); u=(-2;4;2) không cùng phương với n, nên ý c) Sai. d) Trên (Oxz) có y=0: từ (y+2)/4=t=0/4=-1/2 suy ra x=1+(-2)(-1/2)=2, z=2+2(-1/2)=1, giao điểm là (2;0;1) ≠ (0;0;2), nên ý d) Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ S S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(P): x-2y+5z+9=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;-2;5).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của d là u=(-2;4;2); (1;-2;2) không cùng phương với u.
c) (AI giải đề cho tôi)
d⊥(P) yêu cầu u=(-2;4;2) cùng phương với n=(1;-2;5), điều này không đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với y=0 trên d: t=-1/2, x=2, z=1, giao điểm là (2;0;1), không phải (0;0;2).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: vectơ pháp tuyến của $(P):x-2y-z+9=0$ là $\vec{n}=(1;-2;-1)$, không phải $(1;-2;9)$. b) Đúng: từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(-2;4;2)$. c) Đúng: $\vec{u}=(-2;4;2)=-2\cdot (1;-2;-1)=-2\vec{n}$, nên $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{n}$, suy ra $d\perp (P)$. d) Đúng: phương trình tham số $d:x=1-2t,y=-2+4t,z=2+2t$. Giao với $(Oxy)$: $z=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow x=3,y=-6$, tức $M(3;-6;0)$. Kết quả khớp đáp án nguồn: S Đ Đ Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(P):x-2y-z+9=0$ là $\vec{n}=(1;-2;-1)$, không phải $(1;-2;9)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình chính tắc của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(-2;4;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(-2;4;2)=-2(1;-2;-1)=-2\vec{n}$, nên $\vec{u}$ cùng phương pháp tuyến của $(P)$, suy ra $d\perp (P)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tham số: $x=1-2t,y=-2+4t,z=2+2t$. Với $z=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow x=3,y=-6$, giao điểm là $M(3;-6;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa đường thẳng $(d)$: $x=1+2t$, $y=-1+t$, $z=2t$. Thay vào $(P)$: $(1+2t)-(-1+t)+2(2t)+3=0\Rightarrow 5+5t=0\Rightarrow t=-1$. Vậy $M(-1;-2;-2)$, $S=a+b+c=-1-2-2=-5$. Khớp với đáp án nguồn B.