Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AD$, $SA\perp BC$. ABCD là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$, $AD\perp DC$.

- A đúng: $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp AB$.
- B đúng: $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$, mà $AB$ cắt $SA$ tại $A$ thuộc $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$.
- C sai: $BC\parallel AD$. Trong $(SCD)$, ta chỉ có $AD\perp DC$; còn $AD$ không vuông góc với $SD$ (tam giác $SAD$ vuông tại $A$ nên góc $SDA\ne 90^{\circ }$). Do đó $BC$ không vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong $(SCD)$, tức $BC$ không vuông góc với $(SCD)$.
- D đúng: $DC\perp DA$ và $DC\perp SA$, mà $DA$ cắt $SA$ tại $A$ thuộc $(SAD)$, suy ra $DC\perp (SAD)\Rightarrow DC\perp SD$.

Vậy khẳng định sai là $BC\perp (SCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SB=SC=SD$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$ với $O$ là trung điểm $AC$, do đó $SO\perp AC$. Tương tự, tam giác $SBD$ cân tại $S$ với $O$ là trung điểm $BD$ nên $SO\perp BD$. Vì $SO$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $BD$ trong mặt phẳng $(ABCD)$, suy ra $SO\perp (ABCD)$. Các khẳng định B, C, D chỉ đúng khi hình thoi có thêm điều kiện đặc biệt (ví dụ hình vuông), không suy ra từ giả thiết đã cho. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: vì SA ⊥ (ABC) nên SA vuông với mọi đường thẳng trong (ABC), do đó SA ⊥ BC.
b) Đúng: mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng SA với SA ⊥ (ABC), nên (SAB) ⊥ (ABC).
c) Sai: vì ABC đều nên BC ⊥ AO (đường trung tuyến) và BC ⊥ SA, suy ra BC ⊥ (SAC). Khi đó (SBC) ⊥ (SAC), góc giữa hai mặt phẳng bằng 90°, không phải góc ACB (bằng 60°).
d) Sai: chiều cao của hình chóp là đoạn SA (vì SA ⊥ (ABC)), không phải SG với G là trọng tâm tam giác ABC.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC (BC nằm trong (ABC)).
b) (AI giải đề cho tôi)
(SAB) chứa SA ⊥ (ABC) nên (SAB) ⊥ (ABC).
c) (AI giải đề cho tôi)
BC ⊥ SA và BC ⊥ AO (tam giác đều) nên BC ⊥ (SAC), suy ra (SBC) ⊥ (SAC); góc giữa hai mặt phẳng bằng 90°, không phải góc ACB.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chiều cao của hình chóp là SA, không phải SG.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp BC$. Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp CD$. Do đó $CD\perp (SBC)$. Về phần hai: vì $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC\perp BD$; lại có $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp AC$. Suy ra $AC\perp (SBD)$, mà $SD\subset (SBD)$ nên $AC\perp SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ và $b//a$ (hai đường thẳng phân biệt) nên $b\perp (P)$, do đó mệnh đề D 'Nếu $b//a$ thì $b//(P)$' là sai. Kiểm tra các mệnh đề còn lại: A đúng vì đường thẳng song song với đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng đó. B đúng vì $a\perp (P)$ nên $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$, kể cả $b$. C đúng vì nếu $b//(P)$ thì $b$ song song với một đường thẳng $c$ trong $(P)$, mà $a\perp (P)$ nên $a\perp c$, suy ra $a\perp b$. Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp SB$. Vậy các mệnh đề A, B, C đều đúng. Mệnh đề $BC\perp SC$ sai vì tam giác $SBC$ vuông tại $B$ nên góc $SBC=90^{\circ }$, tức $BC$ không vuông với $SC$ (nếu $BC\perp SC$ thì tam giác $SBC$ có hai góc vuông, vô lý).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV). Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông, $O=AC\cap BD$, $SA\perp (ABCD)$.

a) Chứng minh $BC\perp SB$:
- Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$.
- Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$.
- Ta có $BC\perp SA$, $BC\perp AB$ với $SA,AB\subset (SAB)$, $SA\cap AB=A$, nên $BC\perp (SAB)$.
- Mà $SB\subset (SAB)$ nên $BC\perp SB$. (đpcm)

b) Chứng minh $BD\perp (SAC)$:
- Vì $ABCD$ là hình vuông, $O$ là giao điểm hai đường chéo nên $AC\perp BD$.
- Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$.
- Ta có $BD\perp AC$, $BD\perp SA$ với $AC,SA\subset (SAC)$, $AC\cap SA=A$, nên $BD\perp (SAC)$. (đpcm)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$, mà $AB\parallel AD$ nên $BC\perp AD$. Vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $BC\perp (SAD)$. (Tương tự $CD\perp (SAB)$, không phải $(SAD)$; $SB$, $SC$ không vuông góc $(SAD)$.) Vậy đáp án là $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$, $SA\perp BC$, $SA\perp BD$. Đáy là hình vuông nên $CD\perp AD$, $BC\perp AB$, $BD\perp AC$.
- A đúng: $CD\perp AD$, $CD\perp SA\Rightarrow CD\perp (SAD)$.
- C đúng: $BD\perp AC$, $BD\perp SA\Rightarrow BD\perp (SAC)$.
- D đúng: $BC\perp AB$, $BC\perp SA\Rightarrow BC\perp (SAB)$.
- B SAI: $AC\perp BD$ nhưng $AC$ không vuông góc với $SB$ (vì $AB\perp BC$ nên $SB\perp BC$, tam giác $SBC$ vuông tại $B$, $AC$ không vuông góc $SB$), do đó $AC$ không vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$. Vậy khẳng định SAI là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là hình thoi tâm $O$ nên $AC\perp BD$ tại $O$. Vì $SO\perp$ (đáy) nên $SO\perp BD$ và $SO\perp AC$.
- A đúng: $BD\perp AC$ và $BD\perp SO\Rightarrow BD\perp (SAC)$.
- C đúng: $AC\perp BD$ và $AC\perp SO\Rightarrow AC\perp (SBD)$.
- D đúng: $BO$ là nửa đường chéo $BD$ nên $BO\perp AC$; lại $BO\perp SO$ (vì $SO\perp$ đáy). Vậy $BO\perp (SAC)$.
- B sai: để $BD\perp (SCD)$ cần $BD\perp CD$, nhưng trong hình thoi $BD$ không vuông góc với cạnh $CD$ (chỉ vuông góc với $AC$). Vậy mệnh đề SAI là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$. Do đó $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ cùng thuộc mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $CD\perp (SAD)$. Vậy A đúng.

Kiểm tra các phương án khác:
- B sai: tuy $AC\perp BD$ (hai đường chéo hình vuông) và $AC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), nhưng để kết luận $AC\perp (SBD)$ thì $SA$ phải nằm trong $(SBD)$; thực tế $A$ không thuộc $(SBD)$ nên không thể áp dụng định lý. Nói cách khác, $(SBD)$ chỉ chứa $BD$ và $SB$, và $AC$ không vuông góc với $SB$ (tam giác $SBC$ vuông tại $B$, góc giữa $AC$ và $SB$ khác $90^{\circ }$), nên $AC$ không vuông góc với $(SBD)$. Lưu ý lỗi nhận định 'B cũng đúng' là sai vì $SA\notin (SBD)$.
- C sai: $BD$ không vuông với $AB$ (góc $ABD=45^{\circ }$), nên $BD$ không vuông góc với $(SAB)$.
- D sai: $BC$ không vuông với $SC$ (tam giác $SBC$ vuông tại $B$ chứ không vuông tại $C$), nên $BC$ không vuông góc với $(SCD)$.

Đáp án: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$, do đó A, B, C đều đúng (A: hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song; B: đường thẳng song song với đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì cũng vuông góc mặt phẳng; C: $b\subset (P)$ thì $b\perp a$). Mệnh đề D sai: nếu $a\perp b$ thì $b$ có thể nằm trong $(P)$ (khi đó $b$ không song song với $(P)$), hoặc $b$ song song với $(P)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $SAC$ cân tại $S$ (vì $SA=SC$) có $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO\perp AC$. Tam giác $SBD$ cân tại $S$ (vì $SB=SD$) có $O$ là trung điểm $BD$ nên $SO\perp BD$. Vì $SO$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $BD$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, suy ra $SO\perp (ABCD)$. Các khẳng định A, B, D không được suy ra từ giả thiết (ví dụ $CD$ không nhất thiết vuông góc với $AC$ vì đáy chỉ là hình thoi, không phải hình vuông). Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $m\perp (P)$ nên mọi đường thẳng song song với $m$ cũng vuông góc với $(P)$. Do đó nếu $n\parallel m$ thì $n\perp (P)$ (mệnh đề B đúng), chứ không phải $n\parallel (P)$ — mệnh đề A sai. Mệnh đề C đúng: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. Mệnh đề D đúng: nếu $n\parallel (P)$ thì $n$ vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc với $(P)$, nói riêng $n\perp m$. Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, các cạnh bên MM', NN' vuông góc với mặt đáy (MNPQ) và mặt trên (M'N'P'Q'), nên A, B, C đúng. Đường chéo M'P' nằm trong mặt phẳng (M'N'P'Q') song song với (MNPQ), nên M'P' không vuông góc với (MNPQ) (nếu vuông góc thì nó phải vuông góc với mọi đường thẳng trong (MNPQ), ví dụ MP'... thực tế M'P' chỉ song song với MP nằm trong (MNPQ)). Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BA$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BA\perp AD$. Từ đó $BA\perp (SAD)$ (vì $BA$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$). Các phương án khác sai vì $BA$ không vuông góc với $AC$, $BC$ hay các mặt phẳng $(SAC),(SBC),(SCD)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Các đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta$ đều nằm trong mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta$ (khi $M\notin \Delta$, ta lấy hình chiếu $H$ của $M$ trên $\Delta$, mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta$ chứa mọi đường thẳng qua $M$ vuông góc với $\Delta$). Do đó chúng cùng thuộc một mặt phẳng. Chúng không nhất thiết vuông góc hay song song với nhau, và không cùng vuông góc với một mặt phẳng nào. Đáp án: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ và $b\parallel a$ nên theo tính chất đường thẳng song song với đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $b\perp (P)$. Do đó mệnh đề A ('Nếu $b\parallel a$ thì $b\parallel (P)$') là sai. Các mệnh đề còn lại đều đúng: B đúng theo lập luận trên; C đúng vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song; D đúng vì $b\parallel (P)$ thì $b$ vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc với $(P)$, đặc biệt $b\perp a$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BA$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BA\perp AD$. Do đó $BA\perp (SAD)$ (vì $BA$ vuông góc với hai đường cắt $SA,AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$). Vậy đáp án A. Các phương án khác sai: $BA$ không vuông góc với $AC$ (góc $BAC=45^{\circ }$), nên $BA$ không vuông góc với $(SAC)$; tương tự $BA$ không vuông góc với $(SBC)$ hay $(SCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABCD)$ mà $BC$ nằm trong $(ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Như vậy $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Đáp án B.