Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng (định lý về hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song). B sai: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau (ví dụ trong hình hộp, các cạnh xuất phát từ một đỉnh cùng vuông góc với một cạnh nhưng không song song). C đúng: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. D đúng: nếu một trong hai đường thẳng song song vuông góc với mp $(P)$ thì đường thẳng kia cũng vuông góc với $(P)$. Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BD\perp AC$. Lại có $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Từ đó $BD\perp (SAC)$, suy ra $BD\perp SC$ (vì $SC\subset (SAC)$). Vậy $BD$ vuông góc với $SC$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo $AC\perp BD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Từ đó $BD\perp (SAC)$ (vì $BD$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$), suy ra $BD\perp SC$. Vậy khẳng định đúng là A. Các khẳng định B, C, D sai: $AC$ không vuông góc với $SC$ (góc $SCA$ nhọn), $SA$ không vuông góc với $SC$ (tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên góc $ASC$ nhọn), và trong hình thoi $BC$ song song với $AD$ chứ không vuông góc. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp AD$. Do đó $AB\perp (SAD)$ vì $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp AD$. Vậy $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $AB\perp (SAD)$. Các phương án khác sai: $AC$, $BD$ không vuông góc với $AD$ hay $SA$ theo cách cần thiết; $BC$ song song với $AD$ nên không vuông góc $(SAD)$. Đáp án khớp với mã đề 101: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Đáy là hình thoi nên hai đường chéo $AC\perp BD$. Từ đó $BD\perp (SAC)$ (đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA,AC$ trong mặt phẳng $(SAC)$). Suy ra $BD\perp SC$ vì $SC\subset (SAC)$. Các khẳng định A, B, D không luôn đúng với hình thoi bất kì. Đáp án khớp với mã đề 101: C.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$. a) Vì $BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$, góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $BC$ bằng góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông tại $B^{\prime }$ (vì $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$), nên góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là góc $A{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, khác $45^{\circ }$ (chỉ bằng $45^{\circ }$ khi $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$, tức phụ thuộc cạnh; nói chung không xác định được bằng $45^{\circ }$). Thực chất: góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $BC$ phụ thuộc tỉ số $\frac{C{C}^{\prime }}{AC}$, không cố định bằng $45^{\circ }$ → sai. b) $C{C}^{\prime }\perp (ABC)\Rightarrow C{C}^{\prime }\perp AB$ → đúng. c) Lăng trụ đứng có cạnh bên vuông góc đáy: $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ → đúng. d) Mặt $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABC)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $BC$ (với $BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$) là góc $A{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ trong tam giác vuông $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, phụ thuộc tỉ số giữa cạnh bên và cạnh đáy, không cố định bằng $45^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$, mà $AB\subset (ABC)$ nên $C{C}^{\prime }\perp AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy, nên $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa đường thẳng $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng theo định nghĩa mặt phẳng trung trực. B đúng: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. C đúng: qua một điểm cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. D sai: đường thẳng phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng thì mới vuông góc với mặt phẳng; nếu hai đường thẳng song song với nhau thì kết luận không chắc chắn. Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB\perp AC$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$. Do đó $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAC)$, suy ra $AB\perp (SAC)$. Các khẳng định khác sai: $AB$ không vuông góc $(SBC)$ vì $AB$ không vuông góc $SB$; $BC$ không vuông góc $(SAB)$ vì $BC$ không vuông góc $AB$; $BC$ không vuông góc $(SAC)$ vì $BC$ không vuông góc $AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ và $b\perp a$, đường thẳng $b$ không thể cắt $(P)$ (nếu $b$ cắt $(P)$ tại một điểm thì $b$ không vuông góc với $a$, vì mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ hoặc song song với $(P)$ đều vuông góc với $a$). Thực tế, $b$ hoặc nằm trong mặt phẳng $(P)$ (ví dụ mọi đường thẳng trong $(P)$ đều vuông góc với $a$), hoặc song song với $(P)$ (ví dụ đường thẳng qua một điểm ngoài $(P)$ và vuông góc với $a$ sẽ song song với $(P)$). Vậy mệnh đề đúng là: đường thẳng $b$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ hoặc song song với mặt phẳng $(P)$. Đáp án khớp với đáp án nguồn: D.

Đáp án theo bảng đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng (ĐSĐS).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Từ đó $BC\perp (AB)\cap (SA)$ với hai đường thẳng $AB,SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Các khẳng định khác sai: $BD$ không vuông góc với $SC$ hay $SA$ nên A, C sai; $AC$ không vuông góc với $SB$ nên D sai. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $BC\perp CD$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật) và $BC\perp C{C}^{\prime }$ (vì $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ mà $BC\subset (ABCD)$). Hai đường thẳng $CD$ và $C{C}^{\prime }$ cắt nhau tại $C$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$, suy ra $BC\perp (CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$. Các phương án khác sai: $BC$ không vuông góc với $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ vì $BC$ cắt $AC$; $BC$ song song với $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$; $BC$ song song với $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (12A).

$\Delta ABC$ cân tại $B$, $H$ là trung điểm đoạn thẳng $AC\Rightarrow BH\perp AC$. (0,25 điểm)
$SB\perp (ABC)$, $AC\subset (ABC)\Rightarrow SB\perp AC$. (0,25 điểm)
Hai đường thẳng $BH$ và $SB$ cắt nhau và cùng nằm trên mp$(SBH)\Rightarrow AC\perp (SBH)$. (0,25 điểm)
$SH\subset (SBH)$ và $AC\perp (SBH)$, ta suy ra $AC\perp SH$ (điều phải chứng minh). (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $BC\perp AB$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật) và $BC\perp B{B}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $B{B}^{\prime }\perp BC$). Hai đường thẳng $AB$ và $B{B}^{\prime }$ cắt nhau tại $B$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, suy ra $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Các mặt phẳng còn lại: $BC$ không vuông góc với $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ hay $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ (chứa các đường chéo không vuông góc với $BC$), và $BC$ song song với $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên không thể vuông góc. Đáp án khớp với đáp án nguồn (12A).

$\Delta ABC$ cân tại $A$, $H$ là trung điểm đoạn thẳng $BC\Rightarrow AH\perp BC$. (0,25 điểm)
$SA\perp (ABC)$, $BC\subset (ABC)\Rightarrow SA\perp BC$. (0,25 điểm)
Hai đường thẳng $AH$ và $SA$ cắt nhau và cùng nằm trên mp$(SAH)\Rightarrow BC\perp (SAH)$. (0,25 điểm)
$SH\subset (SAH)$ và $BC\perp (SAH)$, ta suy ra $BC\perp SH$ (điều phải chứng minh). (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án A sai vì để đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$, $d$ phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(\alpha )$, chứ không phải hai đường thẳng bất kì (hai đường thẳng song song không đủ). Khẳng định B đúng: vì $a\parallel (\alpha )$ nên tồn tại đường thẳng $a^{\prime }$ trong $(\alpha )$ với $a\parallel a^{\prime }$; do $d\perp (\alpha )$ nên $d\perp a^{\prime }$, suy ra $d\perp a$. Khẳng định C đúng theo định lí về điều kiện vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. Khẳng định D đúng theo định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Đối chiếu với đáp án đề 1020: câu 11 là A, khớp với kết quả.

a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$, do đó $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy, đặc biệt $A{A}^{\prime }\perp CD$. Kiểm tra các phương án khác: $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ (không vuông góc, loại D); $C^{\prime }D$ và $A^{\prime }B$ là các đường chéo của mặt bên, không vuông góc với $A{A}^{\prime }$ (loại B, C). Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Định lý: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau, nên C đúng. A sai (chúng song song, không vuông góc). B sai (trong không gian hai đường cùng vuông góc với đường thứ ba có thể chéo nhau). D sai (mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường kia, không song song). Đáp án khớp mã đề 1020: C.