Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: 2° + 88° = 90° nên hai góc phụ nhau. b) Đúng: nhóm các thừa số có tổng số đo 90°: (tan2°·tan88°)(tan3°·tan87°)...(tan45°·tan45°), đúng như đề. c) Đúng: tan88° = tan(90° − 2°) = cot2°. d) Sai: với mỗi cặp, tan x° · tan(90° − x°) = tan x° · cot x° = 1, nên A = 1·1·...·1 = 1, không phải 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
2° + 88° = 90° nên hai góc phụ nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nhóm các thừa số đối xứng qua 45°: A = (tan2°·tan88°)(tan3°·tan87°)(tan4°·tan86°)...(tan45°·tan45°), đúng như phát biểu.
c) (AI giải đề cho tôi)
tan88° = tan(90° − 2°) = cot2°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi cặp tan x°·tan(90° − x°) = tan x°·cot x° = 1, nên A = 1, không bằng 2.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 36: a) Sai vì hằng đẳng thức đúng là sin²a+cos²a=1 (cùng một góc); với a≠b thì sin²a+cos²b nói chung khác 1. b) Đúng: bình phương hai vế sin a+cos a=√2 ta được sin²a+2sin a cos a+cos²a=2, suy ra 1+2sin a cos a=2, tức 2sin a cos a=1. c) Sai: P=sin⁴a+cos⁴a=(sin²a+cos²a)²−2sin²a cos²a=1−2sin²a cos²a, chứ không phải 1−2sin a cos a. d) Đúng: từ b) có sin a cos a=1/2, nên P=1−2·(1/2)²=1−1/2=1/2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hằng đẳng thức chỉ đúng khi hai góc trùng nhau: sin²a+cos²a=1, không đúng cho mọi cặp a,b.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: 1+2sin a cos a=2 ⟹ 2sin a cos a=1.
c) (AI giải đề cho tôi)
P=1−2sin²a cos²a, không phải 1−2sin a cos a.
d) (AI giải đề cho tôi)
P=1−2·(1/2)²=1/2.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 38: a) Đúng — định lý cơ bản: với mọi góc $\alpha$ ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$. b) Đúng — $(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2M$, suy ra $2M=(\sin x+\cos x{)}^2-1$. c) Sai — bình phương hai vế $\sin x+\cos x=m$ ta được $1+2\sin x\cos x=m^2$ (dấu cộng, không phải $1-2\sin \alpha \cos \alpha =m^2$). d) Sai — nếu $M=\frac{1}{4}$ thì $m^2=1+2M=\frac{3}{2}$, tức $m=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\ne \frac{3}{4}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lý lượng giác cơ bản: với mọi góc $\alpha$, ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x=1+2M$, nên $2M=(\sin x+\cos x{)}^2-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin x+\cos x=m$ bình phương hai vế được $1+2\sin x\cos x=m^2$, không phải $1-2\sin \alpha \cos \alpha =m^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $M=\frac{1}{4}$: $m^2=1+2M=\frac{3}{2}$ nên $m=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\ne \frac{3}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\sin \alpha =\frac{2}{3}$ và $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ thì $\alpha$ ở góc phần tư thứ II nên $\cos \alpha <0$. Do đó $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$. a) Sai: vì $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}<0$, không thể có $0<\cos \alpha <1$. b) Sai: do $\cos \alpha <0$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$, không phải $+\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$. c) Đúng: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\sqrt{5}/3}{2/3}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$. d) Sai: ${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{4/9}{5/9}=\frac{4}{5}$, nên $A=\frac{1}{4/9}+\frac{4}{5}=\frac{9}{4}+\frac{4}{5}=\frac{61}{20}\ne 2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$; cụ thể $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$, mâu thuẫn với $0<\cos \alpha <1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Do $\cos \alpha <0$ với $\alpha$ ở góc phần tư thứ II nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$, dấu phải là âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\sqrt{5}/3}{2/3}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\tan }^2\alpha =\frac{4}{5}$ nên $A=\frac{9}{4}+\frac{4}{5}=\frac{61}{20}\ne 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 41: Cho sin x + cos x = m và M = |sin α − cos α| (đề dùng chung một góc, hiểu x ≡ α).
a) Đúng: sin²α + cos²α = 1 là hằng đẳng thức lượng giác cơ bản, đúng với mọi góc α.
b) Đúng: M² = (sin α − cos α)² = sin²α − 2 sinα cosα + cos²α = 1 − 2 sinα cosα. Mặt khác (sin x + cos x)² − 4 sinα cosα = m² − 4 sinα cosα = (1 + 2 sinα cosα) − 4 sinα cosα = 1 − 2 sinα cosα = M². Vậy khẳng định đúng.
c) Sai: từ sin x + cos x = m, bình phương hai vế ta được m² = 1 + 2 sinα cosα, tức dạng đúng phải là 1 + 2 sinα cosα = m², không phải 1 − 2 sinα cosα = m².
d) Sai: M² = 1 − 2 sinα cosα = 2 − (1 + 2 sinα cosα) = 2 − m², nên M = √(2 − m²) ≥ 0, không thể bằng −m² − 1 (giá trị âm).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hằng đẳng thức lượng giác sin²α + cos²α = 1 đúng với mọi góc α.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) M² = 1 − 2 sinα cosα và (sin x + cos x)² − 4 sinα cosα = m² − 4 sinα cosα = 1 + 2 sinα cosα − 4 sinα cosα = 1 − 2 sinα cosα = M².
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Bình phương sin x + cos x = m ta được m² = 1 + 2 sinα cosα, tức 1 + 2 sinα cosα = m², không phải 1 − 2 sinα cosα = m².
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) M² = 1 − 2 sinα cosα = 2 − m² nên M = √(2 − m²) ≥ 0, không thể bằng −m² − 1 < 0.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne 0$ và $\tan x\ne 1$.
a) Đúng: $\frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}={\tan }^{2}x+1$.
b) Đúng: chia tử và mẫu cho ${\cos }^{2}x$: $A=\frac{{\tan }^{2}x+3\tan x-4}{1+{\tan }^{2}x}$.
c) Đúng: $A=\frac{(\tan x+4)(\tan x-1)}{1+{\tan }^{2}x}$ nên $P=\frac{A}{\tan x-1}=\frac{\tan x+4}{1+{\tan }^{2}x}$.
d) Sai: với $\cos x=\frac{1}{2}$ thì $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan x=\sqrt{3}$, do đó $P=\frac{\sqrt{3}+4}{4}\approx 1,68\ne \frac{\sqrt{3}}{4}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì $\frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}={\tan }^{2}x+1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: chia tử và mẫu của $A$ cho ${\cos }^{2}x\ne 0$ ta được $A=\frac{{\tan }^{2}x+3\tan x-4}{1+{\tan }^{2}x}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: $A=\frac{(\tan x+4)(\tan x-1)}{1+{\tan }^{2}x}$, với $\tan x\ne 1$ nên $P=\frac{\tan x+4}{1+{\tan }^{2}x}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai: khi $\cos x=\frac{1}{2}$ thì $\tan x=\sqrt{3}$, $P=\frac{\sqrt{3}+4}{4}\approx 1,68\ne \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2\sin x\cos x$, không phải $1-2\sin x\cos x$. b) Đúng: ${\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x={\tan }^{2}x(1-{\cos }^{2}x)={\tan }^{2}x{\sin }^{2}x$. c) Đúng: Tử số $={\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x+(1+2\sin x\cos x)-1={\tan }^{2}x{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x$, nên $A=\frac{{\tan }^{2}x{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x}{{\tan }^{2}x{\sin }^{2}x}$. d) Đúng: $A=1+\frac{2\sin x\cos x}{{\tan }^{2}x{\sin }^{2}x}=1+\frac{2\sin x\cos x}{\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\cdot {\sin }^{2}x}=1+\frac{2{\cos }^{3}x}{{\sin }^{3}x}=1+2{\cot }^{3}x=B$ (với điều kiện $\sin x\ne 0,\cos x\ne 0$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x$, không phải $1-2\sin x\cos x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x={\tan }^{2}x(1-{\cos }^{2}x)={\tan }^{2}x{\sin }^{2}x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tử số rút gọn thành ${\tan }^{2}x{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x$ nên $A=\frac{{\tan }^{2}x{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x}{{\tan }^{2}x{\sin }^{2}x}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A=1+\frac{2\sin x\cos x}{{\tan }^{2}x{\sin }^{2}x}=1+2{\cot }^{3}x=B$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ công thức $d=\frac{v_0^2\sin 2\phi }{g}$ ta có $\sin 2\phi =\frac{d\cdot g}{v_0^2}=\frac{18\cdot 10}{15^2}=\frac{180}{225}=0,8$. Vì $0^{\circ }<\phi <90^{\circ }$ nên $0^{\circ }<2\phi <180^{\circ }$, do đó $\cos 2\phi =\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}2\phi }=\pm \sqrt{1-0,64}=\pm 0,6$. Với góc đánh bóng thực tế $\phi <45^{\circ }$ (để bóng đi xa nhất hướng tới), ta chọn $\cos 2\phi =0,6$. Kết quả khớp với đáp số nguồn: 0,6.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó $P=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P={\tan }^{2}x{\sin }^{2}x-{\tan }^{2}x+{\sin }^{2}x={\tan }^{2}x({\sin }^{2}x-1)+{\sin }^{2}x=-{\tan }^{2}x{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=-{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x=0$ (với $\cos x\ne 0$). Vậy $P=0$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\tan x$ với $t\ne 0$, khi đó $\cot x=\frac{1}{t}$. Điều kiện $\tan x-\cot x=2$ trở thành $t-\frac{1}{t}=2$. Bình phương hai vế: $t^2-2+\frac{1}{t^2}=4$, suy ra $t^2+\frac{1}{t^2}=6$. Vậy $P={\tan }^{2}x+{\cot }^{2}x=6$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$ và $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{4}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}$. So sánh: $\frac{\sqrt{21}}{5}>\frac{2}{5}$ (vì $\sqrt{21}>2$), do đó $\cos \alpha >\sin \alpha$. Vậy $A=|\sin \alpha -\cos \alpha |=\frac{\sqrt{21}-2}{5}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha$ nhọn và $\sin \alpha =\frac{1}{3}$ nên $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Suy ra $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{2}}{4}$, $\cot \alpha =2\sqrt{2}$.

Mẫu số: $\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{9}{2\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$.

Tử số: $\tan \alpha -3\cot \alpha +2=\frac{\sqrt{2}}{4}-6\sqrt{2}+2=2-\frac{23\sqrt{2}}{4}=\frac{8-23\sqrt{2}}{4}$.

Vậy $M=\frac{8-23\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{4}{9\sqrt{2}}=\frac{8-23\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}-46}{18}=\frac{4\sqrt{2}-23}{9}$.

Kết quả khớp phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\cot }^{2}x-{\cos }^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}-{\cos }^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x(1-{\sin }^{2}x)}{{\sin }^{2}x}=\frac{{\cos }^{4}x}{{\sin }^{2}x}$. Do đó $\frac{{\cot }^{2}x-{\cos }^{2}x}{{\cot }^{2}x}=\frac{{\cos }^{4}x/{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x/{\sin }^{2}x}={\cos }^{2}x$. Đồng thời $\frac{\sin x\cos x}{\cot x}=\sin x\cos x\cdot \tan x={\sin }^{2}x$. Vậy $P={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: với $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$, $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha >0$ nên $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }>0$.

b) Sai: $(\tan \alpha -2)(\tan \alpha -3)={\tan }^2\alpha -5\tan \alpha +6\ne {\tan }^2\alpha -\tan \alpha -6$. Phân tích đúng là ${\tan }^2\alpha -\tan \alpha -6=(\tan \alpha -3)(\tan \alpha +2)$.

c) Đúng: $P=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }=\frac{({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha {)}^2}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha +2$.

d) Sai: từ ${\tan }^2\alpha -\tan \alpha -6=0$ ta có $\tan \alpha =3$ hoặc $\tan \alpha =-2$; vì $\tan \alpha >0$ nên $\tan \alpha =3$, $\cot \alpha =\frac{1}{3}$. Khi đó $P=9+\frac{1}{9}+2=\frac{100}{9}\ne \frac{91}{9}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$, $\sin \alpha >0$ và $\cos \alpha >0$ nên $\tan \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\tan \alpha -2)(\tan \alpha -3)={\tan }^2\alpha -5\tan \alpha +6$; phân tích đúng là $(\tan \alpha -3)(\tan \alpha +2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }=\frac{({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha {)}^2}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha +2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =3$ (nhận nghiệm dương) nên $P=9+\frac{1}{9}+2=\frac{100}{9}\ne \frac{91}{9}$.

* $y={\cos }^{2}x-3\cos 2x+1$.
* $y=\frac{1+\cos 2x}{2}-3\cos 2x+1$.
* $y=\frac{3-5\cos 2x}{2}$.
Vậy $y_{\max }=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng hệ thức cơ bản ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$, $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$, $\cot a=\frac{1}{\tan a}$ và dấu của GTLG theo góc phần tư.

a) $\cos a=\frac{4}{5}$, $270^0<a<360^0$ (phần IV: $\sin a<0$, $\tan a<0$):
$\sin a=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$; $\tan a=\frac{-3/5}{4/5}=-\frac{3}{4}$; $\cot a=-\frac{4}{3}$.

b) $\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$, $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$ (phần IV):
$\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{4}{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$; $\tan \alpha =-\frac{1}{2}$; $\cot \alpha =-2$.

c) $\sin a=\frac{5}{13}$, $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ (phần II: $\cos a<0$):
$\cos a=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}$; $\tan a=-\frac{5}{12}$; $\cot a=-\frac{12}{5}$.

d) $\sin \alpha =-\frac{1}{3}$, $180^0<\alpha <270^0$ (phần III: $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha >0$):
$\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$; $\tan \alpha =\frac{-1/3}{-2\sqrt{2}/3}=\frac{\sqrt{2}}{4}$; $\cot \alpha =2\sqrt{2}$.

e) $\tan a=3$, $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$ (phần III: $\sin a<0$, $\cos a<0$):
$1+{\tan }^{2}a=\frac{1}{{\cos }^{2}a}\Rightarrow \cos a=-\frac{1}{\sqrt{10}}$; $\sin a=\tan a\cdot \cos a=-\frac{3}{\sqrt{10}}$; $\cot a=\frac{1}{3}$.

f) $\tan \alpha =-2$, $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ (phần II: $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$):
$\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}$; $\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$; $\cot \alpha =-\frac{1}{2}$.

g) $\cot 15^0=2+\sqrt{3}$:
$\tan 15^0=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$.
$\sin 15^0=\sqrt{\frac{1-\cos 30^0}{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ (dương);
$\cos 15^0=\sqrt{\frac{1+\cos 30^0}{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
Kiểm tra: $\frac{\sin }{\cos }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2-\sqrt{3}$ đúng.

h) $\cot \alpha =3$, $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ (phần III: $\sin \alpha <0$, $\cos \alpha <0$):
$\tan \alpha =\frac{1}{3}$; $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{1}{\sqrt{10}}$; $\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^0<\alpha <180^0$ nên $\cos \alpha <0$. Từ $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Suy ra $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{3}{4}$ và $\cot \alpha =-\frac{4}{3}$.

Tính $E=\frac{\cot \alpha -2\tan \alpha }{\tan \alpha +3\cot \alpha }$:
- Tử số: $\cot \alpha -2\tan \alpha =-\frac{4}{3}-2\left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{-8+9}{6}=\frac{1}{6}$.
- Mẫu số: $\tan \alpha +3\cot \alpha =-\frac{3}{4}+3\left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{3}{4}-4=-\frac{19}{4}$.

Vậy $E=\frac{1/6}{-19/4}=\frac{1}{6}\cdot \left(-\frac{4}{19}\right)=-\frac{2}{57}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\sin x\ne 0$ (để $\cot x$ xác định).

Ta có $1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$, nên:
$$A={\cos }^{2}x\cdot {\cot }^{2}x+1-{\cot }^{2}x={\cot }^{2}x({\cos }^{2}x-1)+1=-{\cot }^{2}x\cdot {\sin }^{2}x+1.$$

Vì $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ nên ${\cot }^{2}x\cdot {\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$. Do đó:
$$A=1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x.$$

Vậy $A={\sin }^{2}x$ (với $\sin x\ne 0$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$. Do đó với điều kiện $\sin x+\cos x\ne 0$: $$A=\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\sin x+\cos x}=\cos x-\sin x.$$ Vậy $A=\cos x-\sin x$.