Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 105^{\circ }=\sin (60^{\circ }+45^{\circ })=\sin 60^{\circ }\cos 45^{\circ }+\cos 60^{\circ }\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan 105^{\circ }=\tan (60^{\circ }+45^{\circ })=\frac{\tan 60^{\circ }+\tan 45^{\circ }}{1-\tan 60^{\circ }\tan 45^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}$. Nhân liên hợp: $\frac{(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}=\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2}{1-3}=\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-(2+\sqrt{3})$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 36^0=\sin 54^0$ và $\cos 86^0=\sin 4^0$. Do đó $\cos 54^0\cos 4^0-\cos 36^0\cos 86^0=\cos 54^0\cos 4^0-\sin 54^0\sin 4^0=\cos (54^0+4^0)=\cos 58^0$. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \frac{37\pi }{12}=\cos \left(\frac{37\pi }{12}-2\pi \right)=\cos \frac{13\pi }{12}=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{12}\right)=-\cos \frac{\pi }{12}$. Với $\cos \frac{\pi }{12}=\cos 15^{\circ }=\cos (45^{\circ }-30^{\circ })=\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Vậy $\cos \frac{37\pi }{12}=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a$, $b$ nhọn nên $\cos a=\sqrt{1-{\left(\frac{8}{17}\right)}^2}=\frac{15}{17}$. Từ $\tan b=\frac{5}{12}$, với $b$ nhọn, tam giác vuông cho $\sin b=\frac{5}{13}$, $\cos b=\frac{12}{13}$. Khi đó $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b=\frac{8}{17}\cdot \frac{12}{13}-\frac{15}{17}\cdot \frac{5}{13}=\frac{96-75}{221}=\frac{21}{221}$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<y<90^{\circ }$ và $\sin y=\frac{3}{5}$ nên $\cos y=\frac{4}{5}$, suy ra $\tan y=\frac{3}{4}$. Theo công thức cộng: $\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}=\frac{0,5+0,75}{1-0,5\cdot 0,75}=\frac{1,25}{0,625}=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $c=\cos 2\alpha$, với $\cos 4\alpha =2{\cos }^{2}2\alpha -1=2c^2-1$.
- Tử số: $3-4c+2c^2-1=2c^2-4c+2=2(1-c{)}^2$.
- Mẫu số: $3+4c+2c^2-1=2c^2+4c+2=2(1+c{)}^2$.

Biểu thức bằng ${\left(\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\right)}^2={\left(\frac{2{\sin }^2\alpha }{2{\cos }^2\alpha }\right)}^2={\tan }^4\alpha$.

Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $t=\tan \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$, dùng công thức nhân đôi: $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}=\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}$ và $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}$. Khi đó $2-3\cos x=2-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}$, nên $\frac{\sin x}{2-3\cos x}=\frac{4/5}{1/5}=4$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$, $B$, $C$ là ba góc của tam giác nên $A+B+C=\pi$, suy ra $A+B=\pi -C$. Khi đó: $\sin C=\sin (\pi -(A+B))=\sin (A+B)$ nên A sai; $\cos C=\cos (\pi -(A+B))=-\cos (A+B)$ nên B sai; $\tan C=\tan (\pi -(A+B))=-\tan (A+B)$ nên C sai; $\cot C=\cot (\pi -(A+B))=-\cot (A+B)$ nên D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \alpha <0$, $\cos \alpha <0$ → a đúng. Từ $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=-\frac{1}{4}$ suy ra ${\cos }^2\alpha =\frac{3}{8}$, mà $\cos \alpha <0$ nên $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{4}$ → c sai. Khi đó ${\sin }^2\alpha =1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$, mà $\sin \alpha <0$ nên $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{4}$ → b sai. $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III nên $\sin \alpha <0,\cos \alpha <0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\sin }^2\alpha =\frac{5}{8}$ nhưng $\sin \alpha <0$ nên $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{4}$, không phải $+\frac{\sqrt{10}}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^2\alpha =\frac{3}{8}$ nhưng $\cos \alpha <0$ nên $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{4}$, không phải $+\frac{\sqrt{6}}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{-\sqrt{6}/4}{-\sqrt{10}/4}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho sin α = 3/5 và π/2 < α < π (góc phần tư thứ II).
a) Đúng: với α ∈ (π/2, π) thì cos α < 0.
b) Đúng: theo hệ thức cơ bản sin²α + cos²α = 1, cos α = −√(1 − 9/25) = −4/5 (dấu âm vì α ở góc phần tư II).
c) Sai: tan α = sin α / cos α = (3/5)/(−4/5) = −3/4 ≠ 3/4.
d) Sai: tan(α + π/3) = (tan α + tan π/3)/(1 − tan α·tan π/3) = (−3/4 + √3)/(1 + 3√3/4) = (4√3 − 3)/(4 + 3√3). Nhân cả tử và mẫu với (4 − 3√3): tử = (4√3 − 3)(4 − 3√3) = 16√3 − 36 − 12 + 9√3 = 25√3 − 48; mẫu = 16 − 27 = −11. Vậy tan(α + π/3) = (48 − 25√3)/11 ≠ (48 − √3)/11.
a) (AI giải đề cho tôi)
α ∈ (π/2, π) thuộc góc phần tư thứ II nên cos α < 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos α = −√(1 − sin²α) = −√(1 − 9/25) = −4/5 (dấu âm vì α ở góc phần tư II).
c) (AI giải đề cho tôi)
tan α = (3/5)/(−4/5) = −3/4, không phải 3/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan(α + π/3) = (−3/4 + √3)/(1 + 3√3/4) = (4√3 − 3)/(4 + 3√3) = (48 − 25√3)/11 ≠ (48 − √3)/11.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $\frac{\pi }{4}<\frac{x}{2}<\frac{\pi }{2}$, do đó $\sin \frac{x}{2}>0$, $\cos \frac{x}{2}>0$.

Ta có $\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$ (vì $\sin x>0$ khi $x$ thuộc góc phần tư thứ hai).

Áp dụng công thức nửa cung:
$$\sin \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}.$$
$$\cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.$$
$$\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$$
$$\cot \frac{x}{2}=\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

Kiểm tra: $\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{6}{5}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ — khớp kết quả trên.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 16: Cho $\sin x=\frac{1}{5}$ với $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ (góc ở góc phần hai), nên $\cos x<0$.

Ta có:
$$\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{1}{25}}=-\sqrt{\frac{24}{25}}=-\frac{2\sqrt{6}}{5}.$$

Tính $\cos 2x$ và $\sin 2x$:
$$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-\frac{2}{25}=\frac{23}{25},$$
$$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \frac{1}{5}\cdot \left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)=-\frac{4\sqrt{6}}{25}.$$

Do đó:
$$\cot 2x=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{23/25}{-4\sqrt{6}/25}=-\frac{23}{4\sqrt{6}}=-\frac{23\sqrt{6}}{24}.$$

Vậy $\cot 2x=-\frac{23\sqrt{6}}{24}$. Kết quả này trùng với lời giải AI được cung cấp.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 17 (tự luận): Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$, do đó $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Vì $\frac{\pi }{2}<\beta <\pi$ nên $\sin \beta >0$, do đó $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Áp dụng công thức cộng: $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=-\frac{2}{9}-\frac{2\sqrt{10}}{9}=-\frac{2+2\sqrt{10}}{9}$. Kết quả trùng với lời giải AI được cung cấp.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, suy ra $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1/3}{-2\sqrt{2}/3}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ vì $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sin x+\cos x$. Vậy mệnh đề a đúng. b) Với $x\in \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ thì $\sin x<0$ và $\cos x<0$ nên $g(x)<0$: đúng. c) $g(x)=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0\iff x+\frac{\pi }{4}=k\pi$. Với $x\in [0;2\pi ]$ thì $x+\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{4};\frac{9\pi }{4}\right]$, cho $x+\frac{\pi }{4}=\pi$ hoặc $2\pi$, tức $x=\frac{3\pi }{4}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{4}$: đúng 2 nghiệm, mệnh đề đúng. d) Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $\max g(x)=\sqrt{2}\ne 2$: mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x+\cos x=g(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(\pi ;\frac{3\pi }{2})$ cả $\sin x<0$ và $\cos x<0$ nên $g(x)<0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=0\iff \sin (x+\frac{\pi }{4})=0$ cho $x=\frac{3\pi }{4}$ và $x=\frac{7\pi }{4}$ thuộc $[0;2\pi ]$: đúng 2 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\max g(x)=\sqrt{2}$, không phải 2.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức: $\cos (a-b)-\cos (a+b)=2\sin a\sin b$. Do đó $2\sin a\sin b=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$, suy ra $\sin a\sin b=\frac{1}{24}\approx 0,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $\cos x<0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, suy ra $\cos x=-\frac{4}{5}$. Khi đó $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$ và $\cot x=\frac{1}{\tan x}=-\frac{4}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha ,\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$ nên $\beta -\alpha \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$. Áp dụng công thức: $\tan (\beta -\alpha )=\frac{\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }=\frac{\frac{4}{3}-\frac{1}{7}}{1+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{7}}=\frac{\frac{25}{21}}{\frac{25}{21}}=1$. Do đó $\beta -\alpha =\frac{\pi }{4}$ (thỏa mãn khoảng xác định). Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ nên sin, cos đều dương. a) $\sin a=\sqrt{1-{\cos }^{2}a}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$: đúng. b) Từ $\tan b=\frac{12}{5}$, có $\sin b=\frac{12}{13},\cos b=\frac{5}{13}$ (dương vì $b$ nhọn), nên mệnh đề $\cos b=-\frac{5}{13}$ sai. c) $\tan a=\frac{4}{3}$, $\tan (a+b)=\frac{\frac{4}{3}+\frac{12}{5}}{1-\frac{4}{3}\cdot \frac{12}{5}}=\frac{\frac{56}{15}}{-\frac{33}{15}}=-\frac{56}{33}\ne \frac{36}{63}$: sai. d) $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}-\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}=\frac{20}{65}-\frac{36}{65}=-\frac{16}{65}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin a=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$ vì $a$ nhọn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ nên $\cos b>0$; cụ thể $\cos b=\frac{5}{13}$, không phải $-\frac{5}{13}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan (a+b)=\frac{\frac{4}{3}+\frac{12}{5}}{1-\frac{4}{3}\cdot \frac{12}{5}}=-\frac{56}{33}\ne \frac{36}{63}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin (a-b)=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}-\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}=-\frac{16}{65}$.