Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu hỏi (Câu 39, trang 11): Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, tìm đường thẳng vuông góc với $C{C}^{\prime }$. Vì $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $C{C}^{\prime }$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$. Đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ với $AB\subset (ABCD)$, suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp C{C}^{\prime }$. Các phương án còn lại: $B{C}^{\prime }$, $C{B}^{\prime }$, $D{A}^{\prime }$ đều là đường chéo của các mặt bên chứa $C{C}^{\prime }$, tạo với $C{C}^{\prime }$ góc nhọn khác $90^{\circ }$ nên không vuông góc. Vậy đáp án là $A^{\prime }{B}^{\prime }$, khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 43: Xét từng khẳng định. A đúng: định lý về ba giao tuyến của ba mặt phẳng cắt nhau — ba giao tuyến phân biệt hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. B sai: trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ trong hình lập phương, $AB$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }$ cùng vuông góc với $A{A}^{\prime }$ nhưng chéo nhau). C đúng: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau (đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng). D đúng: cho hai đường thẳng chéo nhau, qua đường thẳng này có duy nhất một mặt phẳng song song với đường thẳng kia. Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$ nên góc giữa $B{C}^{\prime }$ và $AD$ bằng góc giữa $B{C}^{\prime }$ và $BC$. Trong hình vuông $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, tam giác $BC{C}^{\prime }$ vuông tại $C$ với $BC=C{C}^{\prime }$, do đó là tam giác vuông cân nên $\widehat{C^{\prime }BC}=45^{\circ }$. Vậy $(B{C}^{\prime },AD)=45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SCD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel CD$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp BC$, do đó $MN\perp BC$. Các phương án khác sai vì $MN\parallel CD\parallel AB$ nên $MN$ không vuông góc với $AB$; còn $AC$, $BD$ là các đường chéo không vuông góc với $CD$ (trường hợp hình vuông mới có, nhưng đề cho hình chữ nhật nên không kết luận được, và $MN$ chéo với $AC$, $BD$). Vậy khẳng định đúng là $MN\perp BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$ (vì $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ nên $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành, và tương tự $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$... xét $A^{\prime }D$ và $B^{\prime }C$: $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$). Trong mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là hình vuông, hai đường chéo $B{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }C$ vuông góc với nhau. Do đó $B{C}^{\prime }\perp B^{\prime }C\parallel A^{\prime }D$, tức $B{C}^{\prime }\perp A^{\prime }D$. Kiểm tra các phương án khác: $AC$ tạo với $B{C}^{\prime }$ góc $60^{\circ }$ (tam giác $AB{C}^{\prime }$ đều); $B{B}^{\prime }$ không vuông góc với $B{C}^{\prime }$ (góc $\ne 90^{\circ }$); $A{D}^{\prime }$ tạo với $B{C}^{\prime }$ góc $60^{\circ }$ (tam giác $AB{C}^{\prime }$... xét $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$... thực tế $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ không vuông góc, tích vô hướng $=a^2\ne 0$). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hình lập phương cạnh $a$ với tọa độ $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A^{\prime }(0,0,a)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(a,a,0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0,a,-a)$.

$$\cos (AC,A^{\prime }D)=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }D}|}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{A^{\prime }D}|}=\frac{|0+a^2+0|}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}$$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A^{\prime }D$ bằng $60^{\circ }$.

Cách khác: $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$ (vì $A^{\prime }D{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành), nên góc giữa $AC$ và $A^{\prime }D$ bằng góc giữa $AC$ và $B^{\prime }C$. Tam giác $A{B}^{\prime }C$ có $A{B}^{\prime }=B^{\prime }C=AC=a\sqrt{2}$ là tam giác đều, nên góc $\widehat{AC{B}^{\prime }}=60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, xét từng phương án:
- $C{C}^{\prime }$ vuông với mặt đáy $(ABCD)$, mà $BD$ nằm trong $(ABCD)$ nên $C{C}^{\prime }\perp BD$. Đúng.
- $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ mà $BC$ không vuông góc với $BD$ (tam giác $BCD$ vuông tại $C$, góc giữa $BD$ và $BC$ là $45^{\circ }$), nên sai.
- $AB$ tạo với $BD$ góc $45^{\circ }$ trong mặt đáy, không vuông góc.
- Với tọa độ $B(1,0,0),D(0,1,0),B^{\prime }(1,0,1),C(1,1,0)$: $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0,1,-1)$, tích vô hướng $=1\ne 0$, không vuông góc.
Vậy đáp án là $C{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ có 6 mặt đều là hình vuông nên là hình lập phương cạnh $a$, với $E,F,G,H$ lần lượt nằm trên $A,B,C,D$. Xét tam giác $EGD$: $EG$ là đường chéo mặt trên $EFGH$ nên $EG=a\sqrt{2}$; $GD$ là đường chéo mặt bên $DCGH$ nên $GD=a\sqrt{2}$; $ED$ là đường chéo mặt bên $ADHE$ nên $ED=a\sqrt{2}$. Tam giác $EGD$ đều nên góc giữa $EG$ và $GD$ bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\parallel AD$, do đó góc giữa $SD$ và $BC$ bằng góc giữa $SD$ và $AD$, tức là góc $SDA$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$) với $SA=AD=2a$, nên tam giác $SAD$ vuông cân tại $A$, suy ra $\widehat{SDA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $SD$ và $BC$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $BC\parallel A^{\prime }{D}^{\prime }$ (vì $BC\parallel AD\parallel A^{\prime }{D}^{\prime }$). Do đó góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{D}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Xét mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$: tam giác $A^{\prime }{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông tại $D^{\prime }$ (vì $A^{\prime }{D}^{\prime }\perp D^{\prime }{C}^{\prime }$) và là tam giác vuông cân ($A^{\prime }{D}^{\prime }=D^{\prime }{C}^{\prime }$ = cạnh hình lập phương). Suy ra góc $\widehat{D^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $BC$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình lập phương là a. a) B'D' // BD (cùng vuông góc với mặt ADD'A'... thực chất B'D' song song BD vì BB' // DD'), mà BD // BD nên BD // B'D'. Đúng. b) Vì B'D' // BD và AC ⊥ BD (hai đường chéo hình vuông ABCD) nên (AC, B'D') = (AC, BD) = 90°. Đúng. c) AC = AD' = CD' = a√2 (các đường chéo của các hình vuông ABCD, ADD'A', CDD'C'), nên tam giác ACD' đều. Đúng. d) A'B // D'C (vì A'B // C'D... xét A'D' // BC nên A'BCD' là hình bình hành, suy ra A'B // D'C). Khi đó (AC, A'B) = (AC, D'C) = góc ACD' = 60° (tam giác ACD' đều), không phải 30°. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
B'D' // BD (do BB' // DD'), nên BD // B'D'.
b) (AI giải đề cho tôi)
B'D' // BD và AC ⊥ BD nên (AC, B'D') = 90°.
c) (AI giải đề cho tôi)
AC = AD' = CD' = a√2 nên tam giác ACD' đều.
d) (AI giải đề cho tôi)
A'B // D'C nên (AC, A'B) = góc ACD' = 60° (tam giác ACD' đều), không phải 30°.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $DC\parallel AB$. Do đó góc giữa đường thẳng $SA$ và $DC$ bằng góc giữa $SA$ và $AB$, tức là góc ở đỉnh $A$ của tam giác đều $SAB$, bằng $60^{\circ }$. Vậy $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông cân tại $B^{\prime }$ (hai cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$ là cạnh hình lập phương), nên góc $\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\parallel CD$, do đó góc giữa $SB$ và $CD$ bằng góc giữa $SB$ và $AB$, tức là góc $SBA$ của tam giác $SAB$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp$ mặt phẳng đáy) với $SA=AB=a$, nên tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$, suy ra $\widehat{SBA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (vì $A^{\prime }AC{C}^{\prime }$ là hình bình hành). Do đó góc giữa $BD$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $BD$ và $AC$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $BD\perp AC$, suy ra góc giữa $BD$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nằm trong mặt trên của hình lập phương, có $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$, nên là tam giác vuông cân tại $B^{\prime }$. Do đó góc $\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD\parallel BA$ nên góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $BA$, tức là góc $A^{\prime }BA$. Trong tam giác $A^{\prime }BA$ vuông tại $A$ có $A^{\prime }A=AB$, nên tam giác vuông cân, góc $A^{\prime }BA=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (do $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }$), góc giữa $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BD$ bằng góc giữa $AC$ và $BD$. Trong hình vuông $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau nên góc giữa $AC$ và $BD$ bằng $90^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BD$ bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện đều $ABCD$, gọi $I$ là trung điểm của $AB$, $K$ là trung điểm của $CD$. Vì tam giác đều nên $CI\perp AB$ và $DI\perp AB$, do đó $AB\perp (CDI)$, suy ra $AB\perp CD$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\parallel AB$, do đó góc giữa $SB$ và $CD$ bằng góc giữa $SB$ và $AB$, tức là góc $\widehat{SBA}$. Ta có $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$, tam giác $SAB$ vuông tại $A$. Trong tam giác vuông $SAD$ (vuông tại $A$): $SA=\sqrt{S{D}^2-A{D}^2}=\sqrt{2a^2-a^2}=a$. Với $AB=a$, ta có $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a}{a}=1$, suy ra $\widehat{SBA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$.