Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc lượng giác, radian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $-\frac{63\pi }{2}=-32\pi +\frac{\pi }{2}$. Vì $-32\pi$ là số vòng tròn nguyên nên góc này đồng đoán với $\frac{\pi }{2}$, tức hai tia $Ox$ và $Oz$ vuông góc với nhau. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số đo cung $AM=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{3}$ với $k\in \mathbb{Z}$. Hai điểm $M$ trùng nhau khi hai số đo cung khác nhau một bội của $2\pi$. Xét $k=0,1,2,3,4,5$ ta được các cung: $\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3},2\pi$ — cho 6 điểm phân biệt trên đường tròn. Với $k=6$ cung bằng $\frac{7\pi }{3}\equiv \frac{\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$ nên điểm lặp lại. Vậy có đúng 6 điểm $M$ thoả mãn. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Một số đo của góc là $\frac{3\pi }{2}+2001\pi =\frac{3\pi }{2}+\pi +2000\pi =\frac{5\pi }{2}+2000\pi =\frac{\pi }{2}+2\pi +2000\pi =\frac{\pi }{2}+1001\cdot 2\pi$. Vậy giá trị tổng quát của góc $(Ox,Oy)$ là $\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu của $\sin$ và $\cos$ theo góc phần tư của điểm $M$ (với bán kính đơn vị, $\sin \alpha =y_M$, $\cos \alpha =x_M$):
- Góc phần tư $I$: $x>0$, $y>0$ nên $\sin \alpha >0$ và $\cos \alpha >0$ → cùng dấu.
- Góc phần tư $II$: $x<0$, $y>0$ nên $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$ → trái dấu.
- Góc phần tư $III$: $x<0$, $y<0$ nên $\sin \alpha <0$ và $\cos \alpha <0$ → cùng dấu.
- Góc phần tư $IV$: $x>0$, $y<0$ nên $\sin \alpha <0$, $\cos \alpha >0$ → trái dấu.
Vậy $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ cùng dấu khi $M$ thuộc góc phần tư $I$ và $III$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $19<\frac{\pi }{3}+k2\pi <27$. Trừ $\frac{\pi }{3}\approx 1,047$: $17,953<k2\pi <25,953$. Chia $2\pi \approx 6,283$: $2,86<k<4,13$. Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k=3$ hoặc $k=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai góc có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác khi và chỉ khi hiệu của chúng là bội của 360° (hay $2\pi$).
a) $1127^{\circ }-(-313^{\circ })=1440^{\circ }=4\cdot 360^{\circ }$ → cùng điểm, Đúng.
b) $1127^{\circ }-(-674^{\circ })=1801^{\circ }$, mà $1801=5\cdot 360^{\circ }+1$, không là bội của $360^{\circ }$ → Sai.
c) $\frac{61\pi }{5}-\left(-\frac{19\pi }{5}\right)=\frac{80\pi }{5}=16\pi =8\cdot 2\pi$ → cùng điểm, Đúng.
d) $\frac{61\pi }{5}-\left(-\frac{23\pi }{4}\right)=\frac{244\pi +115\pi }{20}=\frac{359\pi }{20}$, không là bội của $2\pi$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu $1127^{\circ }-(-313^{\circ })=1440^{\circ }=4\cdot 360^{\circ }$ là bội của $360^{\circ }$, nên hai góc cùng điểm biểu diễn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu $1127^{\circ }-(-674^{\circ })=1801^{\circ }=5\cdot 360^{\circ }+1^{\circ }$ không là bội của $360^{\circ }$, nên hai góc không cùng điểm biểu diễn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu $\frac{61\pi }{5}+\frac{19\pi }{5}=16\pi =8\cdot 2\pi$ là bội của $2\pi$, nên hai góc cùng điểm biểu diễn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu $\frac{61\pi }{5}+\frac{23\pi }{4}=\frac{359\pi }{20}$ không là bội của $2\pi$, nên hai góc không cùng điểm biểu diễn.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi $40^{\circ }$ sang radian: $40^{\circ }=40\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{2\pi }{9}$ rad. Độ dài cung $l=R\alpha =10\cdot \frac{2\pi }{9}=\frac{20\pi }{9}\approx 6,98\approx 7cm$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) 218° nằm giữa 180° và 270° nên điểm M thuộc góc phần tư thứ III, cung AOM (chiều dương) bằng 218°. Đúng.
b) -405° = -405° + 360° = -45°, góc -45° quay ngược chiều kim đồng hồ... thực chất quay theo chiều âm 45° nên điểm N thuộc góc phần tư thứ IV và AON = -45°. Đúng.
c) 25π/4 = 6π + π/4 = 3·2π + π/4, nên điểm biểu diễn trùng với điểm của góc π/4, thuộc góc phần tư thứ I, AOP = π/4. Đúng.
d) 15π/2 = 7π/2 + 4π = 7π/2 + 2·2π, nên góc đồng kết với 7π/2 = 2π + 3π/2, tức tương đương -π/2. Điểm biểu diễn là Q(0;-1) và AOQ = -π/2. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
218° ∈ (180°;270°) nên M thuộc góc phần tư thứ III và AOM = 218° (cung chiều dương).
b) (AI giải đề cho tôi)
-405° + 360° = -45°, điểm N thuộc góc phần tư thứ IV với AON = -45°.
c) (AI giải đề cho tôi)
25π/4 = 3·2π + π/4 nên P trùng điểm của góc π/4, thuộc góc phần tư thứ I, AOP = π/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
15π/2 = 2·2π + 7π/2 đồng kết với -π/2, điểm biểu diễn Q(0;-1), AOQ = -π/2.

(AI giải đề cho tôi)
Bánh lái có 8 nan chia đều đường tròn lượng giác, mỗi nan cách nhau một góc $45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$. Theo hình vẽ, tia $OA$ trùng với trục $Ox$ dương (số đo $0^{\circ }$), tia $OB$ là nan kế tiếp theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) nên có số đo $45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$. Do đó góc lượng giác $(OB,OA)$ có số đo âm (quay từ $OB$ về $OA$ theo chiều dương là quay ngược): $-45^{\circ }=-\frac{\pi }{4}$. Công thức tổng quát: $\widehat{(OB,OA)}=-\frac{\pi }{4}+k\cdot 2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (tức $-45^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$).

(AI giải đề cho tôi)
Quạt quay 45 vòng/phút = 45 vòng trong 60 giây, tức trong 1 giây quay được 45/60 = 3/4 vòng. Trong 3 giây, quạt quay được 3 · (3/4) = 9/4 vòng. Vì chọn chiều quay của quạt là chiều thuận, góc quay mang dấu dương. Mỗi vòng tương ứng $2\pi$ radian, nên số đo góc là $$\frac{9}{4}\cdot 2\pi =\frac{9\pi }{2}\text{ (radian)}.$$ Vậy sau 3 giây quạt quay được một góc có số đo $\frac{9\pi }{2}$ radian.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 15 phút, kim phút quay được một góc $90^{\circ }=\frac{\pi }{2}$ rad. Độ dài cung tròn mà mũi kim phút vạch nên là $l=R\phi =1,75\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{8}\approx 2,75m$.

Trong 15 phút, kim giờ quay được một góc bằng $\frac{1}{4}$ của khoảng cách giữa hai vạch giờ liên tiếp, tức $\frac{30^{\circ }}{4}=7,5^{\circ }=\frac{\pi }{24}$ rad. Độ dài cung tròn mà mũi kim giờ vạch nên là $l=1,26\cdot \frac{\pi }{24}=\frac{21\pi }{400}\approx 0,165m$.

Vậy trong 15 phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn dài khoảng $2,75m$ và mũi kim giờ vạch nên cung tròn dài khoảng $0,165m$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai huyện cùng nằm trên một kinh tuyến nên cung kinh tuyến nối chúng là cung tròn tâm tại tâm Trái Đất, bán kính $R=6278km$, góc ở tâm bằng hiệu vĩ độ: $\Delta \phi =23^{\circ }-9^{\circ }=14^{\circ }$. Đổi sang radian: $14^{\circ }=14\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{7\pi }{90}rad$. Độ dài cung: $l=R\cdot \Delta \phi =6278\cdot \frac{7\pi }{90}\approx 6278\cdot 0,24435\approx 1534km$. Vậy độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lí khoảng $1534km$.

(AI giải đề cho tôi)
Bánh xe có 72 răng nên mỗi răng ứng với một góc ở tâm bằng $\frac{360^{\circ }}{72}=5^{\circ }$. Khi bánh xe di chuyển 10 răng, góc quay được là $10\cdot 5^{\circ }=50^{\circ }$. Đổi sang radian: $50^{\circ }=50\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{5\pi }{18}$ radian. Vậy số đo góc bánh xe đã quay là $50^{\circ }$ (tương đương $\frac{5\pi }{18}$ radian).

(AI giải đề cho tôi)
Đồng hồ có đường kính 60 cm nên bán kính R = 30 cm. Trên mặt đồng hồ, mỗi giờ tương ứng với cung tâm $\frac{360^{\circ }}{12}=30^{\circ }$ (tức $\frac{\pi }{6}$ rad).

- Điểm A ứng với số 2, điểm B ứng với số 9. Đi theo chiều kim đồng hồ từ 2 đến 9 là 7 giờ (góc $210^{\circ }$), nên cung nhỏ AB ứng với $12-7=5$ giờ, tức số đo cung nhỏ $\widehat{AB}=5\cdot 30^{\circ }=150^{\circ }=\frac{5\pi }{6}$ rad.
Độ dài cung nhỏ AB: $s_{AB}=R\cdot \frac{5\pi }{6}=30\cdot \frac{5\pi }{6}=25\pi \approx 78,54$ cm.

- Điểm C ứng với số 4. Cung nhỏ AC đi từ số 2 đến số 4 là 2 giờ, số đo cung $\widehat{AC}=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$ rad.
Độ dài cung nhỏ AC: $s_{AC}=R\cdot \frac{\pi }{3}=30\cdot \frac{\pi }{3}=10\pi \approx 31,42$ cm.

Vậy độ dài cung nhỏ AB ≈ 78,54 cm và cung nhỏ AC ≈ 31,42 cm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21: Vệ tinh quay hết một vòng ($2\pi$ rad) trong $2h$ theo chiều kim đồng hồ. Vì chiều kim đồng hồ là chiều quay ngược chiều dương (chiều âm của góc lượng giác), nên sau $3h$ vệ tinh quay được $\frac{3}{2}$ vòng, góc lượng giác quét được là $-\frac{3}{2}\cdot 2\pi =-3\pi$ (rad). Kim phút của đồng hồ cũng quay theo chiều kim đồng hồ, quay hết một vòng ($2\pi$ rad) trong $1h$, nên trong $3h$ kim phút quay được $3$ vòng, tức góc lượng giác $-3\cdot 2\pi =-6\pi$ (rad). Kết luận: góc quét của vệ tinh là $-3\pi$ rad; kim phút đi được góc $-6\pi$ rad (về độ lớn quỹ đạo góc là $3\pi$ rad và $6\pi$ rad tương ứng, nhưng theo chiều kim đồng hồ nên mang dấu âm).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \alpha <0$, $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha >0$. Xét từng khẳng định: A: $\cos (-\alpha )=\cos \alpha <0$ (đúng). B: $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha <0$ (đúng). C: $\tan (\alpha +\pi )=\tan \alpha >0$ (đúng). D: $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \alpha >0$, nên khẳng định $<0$ là sai. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha \in \left(3\pi ;\frac{7\pi }{2}\right)$, xét theo chu kì $2\pi$ thì $\alpha$ tương ứng góc thuộc khoảng $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$, tức góc phần thứ III nên $\cos \alpha <0$. Ta có ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{16}{49}=\frac{33}{49}$, suy ra $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{33}}{7}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ có góc $BAC=60^{\circ }$. Xét chiều dương ngược chiều kim đồng hồ: tia $AB$ chỉ phương khoảng $240^{\circ }$, tia $AC$ chỉ phương khoảng $300^{\circ }$, nên $\mathrm{sd}(AB;AC)=60^{\circ }+k360^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Do đó: B đúng vì $-300^{\circ }+k360^{\circ }\equiv 60^{\circ }+k360^{\circ }$; C đúng vì $-300^{\circ }$ là một giá trị ($k=-1$... thực tế $-300^{\circ }\equiv 60^{\circ }$); D đúng vì $60^{\circ }$ là giá trị với $k=0$. Khẳng định A sai vì $-60^{\circ }+k360^{\circ }\equiv -60^{\circ }(\mathrm{mod}360^{\circ })\ne 60^{\circ }$. Vậy khẳng định sai là A, trùng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 1 phút bánh xe quay được góc $450\pi$ (rad). Quãng đường đi được bằng độ dài cung: $s=r\cdot \theta =0,3\cdot 450\pi =135\pi \approx 424,115$ m. Làm tròn đến hàng đơn vị: $424$ m.

Chọn B. Mũi tên chỉ chiều quay cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm). Từ tia đầu $Ou$, tia quay trọn 1 vòng đầy đủ rồi quay tiếp một góc $360^{\circ }-60^{\circ }=300^{\circ }$ theo chiều âm đến tia cuối $Ov$. Do đó số đo góc lượng giác là $-360^{\circ }-300^{\circ }=-660^{\circ }$.