Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi góc giữa thang và mặt đất là $\theta$ ($0<\theta <\frac{\pi }{2}$). Thang chạm mép trên hàng rào cao $2,2$ m cách tường $1,6$ m, nên chiều dài thang là $L(\theta )=\frac{2,2}{\sin \theta }+\frac{1,6}{\cos \theta }$. Đạo hàm $L^{\prime }(\theta )=-\frac{2,2\cos \theta }{{\sin }^2\theta }+\frac{1,6\sin \theta }{{\cos }^2\theta }=0\Rightarrow {\tan }^3\theta =\frac{2,2}{1,6}$, tức $\tan \theta ={\left(\frac{2,2}{1,6}\right)}^{1/3}\approx 1,112$. Khi đó giá trị nhỏ nhất (công thức quen thuộc) là $L_{\min }={\left(2,2^{2/3}+1,6^{2/3}\right)}^{3/2}$. Tính: $2,2^{2/3}\approx 1,6916$, $1,6^{2/3}\approx 1,3680$, tổng $\approx 3,0596$, lũy thừa $3/2$ cho $L_{\min }\approx 5,35$ m. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục theo hình vẽ: $Q(0;0)$, $M(3;0)$, $N(0;6)$ (vì $QM\perp QN$, $QM=3$ km, $QN=6$ km).

Sau $t$ giờ (từ 9h00'), Quý đi bộ từ $Q$ đến $M$ với tốc độ $4$ km/h nên vị trí của Quý là $(4t;0)$.

Minh đi xe đạp từ $M$ đến $N$ với tốc độ $12$ km/h. Vectơ $\overrightarrow{MN}=(-3;6)$ có độ dài $3\sqrt{5}$ km, nên vị trí của Minh là
$$\left(3-\frac{36t}{3\sqrt{5}};\frac{72t}{3\sqrt{5}}\right)=\left(3-\frac{12t}{\sqrt{5}};\frac{24t}{\sqrt{5}}\right).$$

Bình phương khoảng cách giữa hai bạn:
$$f(t)={\left(3-\left(4+\frac{12}{\sqrt{5}}\right)t\right)}^2+{\left(\frac{24}{\sqrt{5}}t\right)}^2.$$
Đặt $a=4+\frac{12}{\sqrt{5}}$, $b=\frac{24}{\sqrt{5}}$. $f^{\prime }(t)=0\iff t=\frac{3a}{a^2+b^2}$.
Tính: $a^2+b^2=\frac{224}{5}+\frac{96}{\sqrt{5}}+\frac{576}{5}=160+\frac{96}{\sqrt{5}}$, $3a=12+\frac{36}{\sqrt{5}}$.
$$t=\frac{12+\frac{36}{\sqrt{5}}}{160+\frac{96}{\sqrt{5}}}=\frac{36+12\sqrt{5}}{160\sqrt{5}+96}\approx 0,13846\text{giờ}.$$

Đổi ra phút: $t\approx 0,13846\times 60\approx 8,3077$ phút. Thời điểm này hợp lệ vì $t<0,5$ giờ (Minh chưa đến nhà Nam, Quý chưa đến nhà Minh).

Vậy sau khoảng $8,3$ phút, khoảng cách giữa hai bạn Minh và Quý là ngắn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $N(t)=1100+\frac{9100t}{100+t^2}$ với $t\ge 0$. Ta có $$N^{\prime }(t)=9100\cdot \frac{(100+t^2)-t\cdot 2t}{(100+t^2{)}^2}=\frac{9100(100-t^2)}{(100+t^2{)}^2}.$$ Cho $N^{\prime }(t)=0\Rightarrow t^2=100\Rightarrow t=10$ (vì $t\ge 0$). Với $0\le t<10$ thì $N^{\prime }(t)>0$, với $t>10$ thì $N^{\prime }(t)<0$, nên $N(t)$ đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $t=10$ giây. Khi đó số vi khuẩn lớn nhất là $N(10)=1100+\frac{91000}{200}=1100+455=1555$ con. Vậy thời gian cần tìm là $t=10$ giây, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(t)=\frac{8100t}{8100+t^2}$ với $t\ge 0$. Ta có $f^{\prime }(t)=\frac{8100(8100+t^2)-8100t\cdot 2t}{(8100+t^2{)}^2}=\frac{8100(8100-t^2)}{(8100+t^2{)}^2}$. Cho $f^{\prime }(t)=0\Rightarrow t=90$ (vì $t\ge 0$). Với $0\le t<90$ thì $f^{\prime }(t)>0$, với $t>90$ thì $f^{\prime }(t)<0$, nên $f$ đạt max tại $t=90$: $f(90)=\frac{8100\cdot 90}{8100+8100}=\frac{729000}{16200}=45$. Vậy $N_{\max }=1000+45=1045$ con, khớp với đáp án nguồn 1045.

Doanh thu của nhà máy A khi bán $x$ tấn sản phẩm là $x\left(231-0,02x^2\right)=231x-0,02x^3$ (triệu đồng).

Lợi nhuận thu được khi nhà máy A bán $x$ tấn sản phẩm là
$\left(231x-0,02x^3\right)-(150+15x)=-0,02x^3+216x-150$ (triệu đồng).

Đặt $f(x)=-0,02x^3+216x-150$ với $x\in [0;150]$.

Ta có: $f^{\prime }(x)=-0,06x^2+216$. Khi đó $f^{\prime }(x)=0\iff -0,06x^2+216=0\iff x=60$.

Ta có: $f(0)=-150$, $f(60)=8490$, $f(150)=-35250$.

Suy ra giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0;150]$ là 8490 tại $x=60$.

Vậy A bán cho B là 60 tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất.

(AI giải đề cho tôi)
a) C(50)=8·50²+40·50+1400=20000+2000+1400=23400 triệu đồng → đúng. b) Doanh thu R(q)=q·P(q)=1400q−2q², nên F(q)=R(q)−C(q)=1400q−2q²−(8q²+40q+1400)=−10q²+1360q−1400, không phải −10q²+1440q−1400 → sai. c) F(20)=−10·400+1360·20−1400=−4000+27200−1400=21800 triệu đồng → đúng. d) F(q)=−10q²+1360q−1400 đạt max tại q=68, F(68)=−46240+92480−1400=44840 triệu đồng < 45000 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
C(50)=8·2500+40·50+1400=23400 triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
F(q)=q(1400−2q)−(8q²+40q+1400)=−10q²+1360q−1400, khác −10q²+1440q−1400.
c) (AI giải đề cho tôi)
F(20)=−4000+27200−1400=21800 triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Fmax=F(68)=44840 triệu đồng < 45000 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(v)=\frac{290,4v}{0,36v^2+13,2v+246}$ với $v>0$. Vì $290,4>0$, $f(v)$ lớn nhất khi $g(v)=\frac{v}{0,36v^2+13,2v+246}$ lớn nhất. Đạo hàm $g^{\prime }(v)=\frac{246-0,36v^2}{(0,36v^2+13,2v+246{)}^2}$; $g^{\prime }(v)=0\iff v^2=\frac{246}{0,36}=\frac{24600}{36}=683,\mathrm{33...}$, tức $v=\sqrt{683,\mathrm{33...}}\approx 26,1416$. Với $0<v<26,14$ thì $g^{\prime }>0$, với $v>26,14$ thì $g^{\prime }<0$, nên $f$ đạt max tại $v\approx 26,1$ km/h (làm tròn đến hàng phần mười). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $L(x)=220x-C(x)=220x-(x^3-3x^2-20x+500)=-x^3+3x^2+240x-500$ (nghìn đồng), với $1\le x\le 18$. $L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=0\iff x^2-2x-80=0\iff x=10$ (nhận, vì $1\le 10\le 18$) hoặc $x=-8$ (loại). So sánh: $L(1)=-1+3+240-500=-258$; $L(10)=-1000+300+2400-500=1200$; $L(18)=-5832+972+4320-500=-1040$. Vậy lợi nhuận tối đa là $1200$ nghìn đồng $=1,2$ triệu đồng, đạt khi $x=10$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là hình chiếu của A trên bờ có nhà máy B, AH = 1 km, HB = 4 km. Gọi P nằm trên đoạn HB, đặt PB = x (0 ≤ x ≤ 4), khi đó PH = 4 − x và AP = √(1 + (4 − x)²). Chi phí: C(x) = 3000x + 5000√(1 + (4 − x)²). C'(x) = 3000 − 5000(4 − x)/√(1 + (4 − x)²). Cho C'(x) = 0: (4 − x)/√(1 + (4 − x)²) = 3/5 ⇒ (4 − x)² = (9/25)(1 + (4 − x)²) ⇒ (16/25)(4 − x)² = 9/25 ⇒ 4 − x = 3/4 ⇒ x = 13/4 = 3,25. Vì C'(x) < 0 khi x < 3,25 và C'(x) > 0 khi x > 3,25 nên x = 3,25 cho chi phí nhỏ nhất: C(3,25) = 9750 + 5000·(5/4) = 16000 USD, nhỏ hơn C(0) = 5000√17 ≈ 20615 USD và C(4) = 12000 USD. Vậy P cách B một đoạn 3,25 km.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $t$ (giờ) là thời gian máy bay B đã bay (với $0\le t\le 6$). Tại thời điểm đó, máy bay A đã bay được $t+\frac{1}{2}$ giờ. Vì cả hai máy bay cùng bay về phía nam nên khoảng cách theo phương bắc–nam giữa chúng là $800\left(t+\frac{1}{2}\right)-920t=400-120t$ (km) (khi $t\le \frac{10}{3}$; nếu $t>\frac{10}{3}$ thì B đã vượt lên trước A và khoảng cách bắc–nam là $120t-400$). Độ cao chênh lệch không đổi là $50$ km. Do đó bình phương khoảng cách giữa hai máy bay là $$f(t)=(120t-400{)}^2+50^2.$$ Hàm $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $120t-400=0$, tức $t=\frac{400}{120}=\frac{10}{3}$ giờ $=200$ phút. Vì $\frac{10}{3}<6$ nên giá trị này nằm trong khoảng thời gian 6 giờ tính từ lúc B bay theo hướng nam. Vậy thời gian máy bay B bay để khoảng cách giữa hai máy bay ngắn nhất là $200$ phút (khi đó khoảng cách ngắn nhất bằng $50$ km).

Trả lời: 52. Xét hàm số: $$f(x)=TR-TC=-2x^2+1312x-\left(x^3-77x^2+1000x+40000\right).$$ $$f(x)=-x^3+75x^2+312x-40000.$$ TXĐ: $D=(0;+\infty )$. Ta có $f^{\prime }(x)=-3x^2+150x+312=0\iff x=52(N)$ hoặc $x=-2(L)$. Bảng biến thiên: Hàm số đạt giá trị cực đại $y_{CD}=38416$ tại $x=52$. Vậy lợi nhuận của công ty đạt cực đại khi số sản phẩm $x=52$.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $f(x)=xP(x)-xC(x)=x(45-0,001x^2)-(100+33x)=12x-0,001x^3-100$, với $0<x\le 100$. $f^{\prime }(x)=12-0,003x^2=0\Rightarrow x=\sqrt{4000}\approx 63,25$ (thỏa miền). $f(\sqrt{4000})=12\sqrt{4000}-0,001(4000{)}^{3/2}-100=240\sqrt{10}-80\sqrt{10}-100=160\sqrt{10}-100\approx 405,97\approx 406$ triệu đồng. So với đáp án nguồn 406: khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận của A khi bán $x$ tấn (với $0<x\le 100$) là: $$L(x)=x[P(x)-C(x)]=x\left(45-0,001x^2-\frac{100}{x}-33\right)=12x-0,001x^3-100.$$ Xét $L^{\prime }(x)=12-0,003x^2=0\Rightarrow x^2=4000\Rightarrow x=\sqrt{4000}=20\sqrt{10}\approx 63,25$ (thỏa $0<x\le 100$). Vì $L^{\prime }(x)>0$ khi $x<20\sqrt{10}$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $x>20\sqrt{10}$ nên $L$ đạt max tại $x=20\sqrt{10}$: $$L(20\sqrt{10})=12\cdot 20\sqrt{10}-0,001\cdot (20\sqrt{10}{)}^3-100=240\sqrt{10}-80\sqrt{10}-100=160\sqrt{10}-100\approx 405,96\approx 406.$$ Vậy lợi nhuận cao nhất là 406 triệu đồng, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 4: 406).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi x là số lần tăng giá 20 nghìn đồng/chiếc (x ≥ 0, nguyên hoặc thực tùy mô hình liên tục). Khi đó giá bán là $p=330+20x$ (nghìn đồng/chiếc), số áo bán mỗi ngày là $q=13500-900x$ (chiếc), với $0\le x\le 15$. Lợi nhuận trên mỗi chiếc là $p-190=140+20x$ (nghìn đồng). Lợi nhuận mỗi ngày (nghìn đồng): $$L(x)=(140+20x)(13500-900x)-20000=18000(x+7)(15-x)-20000.$$ Hàm $f(x)=(x+7)(15-x)$ là tam thức bậc hai có đỉnh tại $x=\frac{-7+15}{2}=4$, giá trị lớn nhất $f(4)=11\cdot 11=121$. Vậy $L_{\max }=18000\cdot 121-20000=2178000-20000=2158000$ nghìn đồng $=2158$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn 2158.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá 20 nghìn đồng/chiếc ($x\ge 0$, $13500-900x\ge 0\Rightarrow 0\le x\le 15$). Khi đó giá bán là $330+20x$ nghìn đồng/chiếc, số áo bán mỗi ngày là $13500-900x$ chiếc, lợi nhuận trên mỗi chiếc là $(330+20x)-190=(140+20x)$ nghìn đồng. Lợi nhuận (nghìn đồng/ngày): $$P(x)=(140+20x)(13500-900x)-20000$$ (trừ chi phí cố định 20 triệu = 20000 nghìn đồng). Khai triển: $(140+20x)(13500-900x)=1890000+144000x-18000x^2$, là parabol với đỉnh tại $x=\frac{144000}{2\cdot 18000}=4$. Khi đó $P(4)=1890000+576000-288000-20000=2158000$ nghìn đồng $=2158$ triệu đồng. Vậy lợi nhuận tối đa là 2158 triệu đồng, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $L(x)=-x^3+24x^2+780x-5000$ trên $[0;40]$.
a) $L^{\prime }(x)=-3x^2+48x+780$: đúng theo quy tắc đạo hàm.
b) $L^{\prime }(x)=0\iff -3x^2+48x+780=0\iff x^2-16x-260=0\iff x=26$ hoặc $x=-10$. Trên đoạn $[0;40]$ chỉ có nghiệm $x=26$, tức chỉ 1 nghiệm → ý b) sai.
c) $L(0)=-5000\ne 0$ (nên ý c) sai dù $L(26)=-17576+16224+20280-5000=13928$ đúng và $L(40)=-64000+38400+31200-5000=600$ đúng).
d) So sánh: $L(0)=-5000$, $L(26)=13928$, $L(40)=600$. Vì $L^{\prime }(x)>0$ khi $x\in [0;26)$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (26;40]$, hàm số đạt maximum tại $x=26$ với $L(26)=13928$ nghìn đồng. Vậy để lợi nhuận cao nhất xưởng nên sản xuất 26 kg/ngày → ý d) đúng.
Tóm tắt:
a) Đạo hàm $L^{\prime }(x)=-3x^2+48x+780$.
b) $L^{\prime }(x)=0\iff x=26$ hoặc $x=-10$; trên $[0;40]$ chỉ có 1 nghiệm là $x=26$.
c) $L(0)=-5000\ne 0$; mặc dù $L(26)=13928$ và $L(40)=600$ đúng, cả mệnh đề sai vì $L(0)$ sai.
d) $L$ tăng trên $[0;26]$, giảm trên $[26;40]$; $L(26)=13928$ lớn nhất, nên sản xuất 26 kg/ngày cho lợi nhuận cao nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0), E(40;0), B(0;20), D(40;20), H(30;0), K(0;10), C(30;10). Đường cong là đồ thị hàm bậc ba y=f(x) đi qua B, D và có cực tiểu tại C(30;10): f(0)=20, f(30)=10, f'(30)=0, f(40)=20. Giải hệ được f(x)=x³/450 − 11x²/90 + 4x/3 + 20. Khoảng cách bơi vuông góc với AE bằng f(x) trên [0;40]. f'(x)=3x²/450 − 11x/45 + 4/3 = 0 ⇔ 3x²−110x+600=0 ⇔ x=30 hoặc x=20/3. f(30)=10 (giá trị nhỏ nhất), f(20/3)=4420/243≈18,19, f(0)=f(40)=20 (giá trị lớn nhất). Đường bơi ngắn nhất dài 10 m mất 5 giây nên vận tốc 2 m/s. Đường bơi dài nhất dài 20 m nên thời gian là 20/2 = 10 giây.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là cạnh đáy (tam giác đều), $h$ là chiều cao lăng trụ. Diện tích vật liệu (toàn phần): $S=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2+3ah=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2+3ah=24\sqrt{3}$, suy ra $h=\frac{24\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2}{3a}=\frac{8\sqrt{3}}{a}-\frac{\sqrt{3}a}{6}$ với $0<a<\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.

Thể tích: $V=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}h=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\left(\frac{8\sqrt{3}}{a}-\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)=6a-\frac{a^3}{8}$.

Xét $V^{\prime }(a)=6-\frac{3a^2}{8}=0\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=4$ (thỏa miền xác định).

Vì $V^{\prime }(a)>0$ khi $a<4$ và $V^{\prime }(a)<0$ khi $a>4$, hàm số đạt cực đại (cũng là giá trị lớn nhất) tại $a=4$. Khi đó $h=\frac{8\sqrt{3}}{4}-\frac{4\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Thể tích lớn nhất: $V_{\max }=6\cdot 4-\frac{64}{8}=24-8=16(d{m}^3)$.

Kiểm tra: $S=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 16+3\cdot 4\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}+16\sqrt{3}=24\sqrt{3}$ đúng. Vậy thể tích lớn nhất của chiếc lồng đèn là $16d{m}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $V(x)=x(30-2x)(20-2x)=600x-100x^2+4x^3$ với $0<x<10$. $V^{\prime }(x)=600-200x+12x^2=0\iff 3x^2-50x+150=0\iff x=\frac{25\pm 5\sqrt{7}}{3}$. Chọn $x=\frac{25-5\sqrt{7}}{3}\approx 3.924$ (nằm trong $(0;10)$). Khi đó $V\approx 3.924\cdot 22.152\cdot 12.152\approx 1056.3\approx 1056c{m}^3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1056.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số máy ($x\ge 1$, $x\in \mathbb{N}$). Tổng thời gian sản xuất: mỗi giờ sản xuất $30x$ quả nên cần $t=\frac{8000}{30x}$ giờ. Chi phí gồm: chi phí thiết lập $200x$ (nghìn đồng) và tiền giám sát $192\cdot \frac{8000}{30x}=\frac{51200}{x}$ (nghìn đồng). Tổng chi phí $C(x)=200x+\frac{51200}{x}\ge 2\sqrt{200x\cdot \frac{51200}{x}}=2\sqrt{10240000}=6400$, dấu bằng khi $200x=\frac{51200}{x}\iff x^2=256\iff x=16$. Vậy công ty nên dùng 16 máy, chi phí thấp nhất 6400 nghìn đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (16).