Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C$ là điểm đối diện $A$ trên bờ bên kia, $B$ cách $C$ một đoạn $10km$ dọc bờ. Giả sử người này chèo đến điểm $D$ trên bờ đối diện với $CD=x$ ($0\le x\le 10$), sau đó chạy bộ đến $B$.

- Quãng đường chèo: $AD=\sqrt{2^2+x^2}=\sqrt{4+x^2}$, thời gian chèo: $\frac{\sqrt{4+x^2}}{6}$.
- Quãng đường chạy bộ: $10-x$, thời gian chạy: $\frac{10-x}{10}$.

Tổng thời gian: $T(x)=\frac{\sqrt{4+x^2}}{6}+\frac{10-x}{10}$, với $0\le x\le 10$.

$T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{4+x^2}}-\frac{1}{10}=0\Rightarrow 10x=6\sqrt{4+x^2}\Rightarrow 100x^2=36(4+x^2)\Rightarrow 64x^2=144\Rightarrow x=1,5$.

Tại $x=1,5$: $T=\frac{\sqrt{4+2,25}}{6}+\frac{8,5}{10}=\frac{2,5}{6}+0,85\approx 0,4167+0,85=1,2667$.

So sánh hai đầu: $T(0)=\frac{2}{6}+1=\frac{4}{3}\approx 1,333$; $T(10)=\frac{\sqrt{104}}{6}\approx 1,699$. Vậy thời gian nhỏ nhất là $T(1,5)\approx 1,2667\approx 1,27$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=-t^2+12t$. Trên $[0;9]$, $v^{\prime }(t)=-2t+12=0\Rightarrow t=6$. Xét $v(0)=0$, $v(6)=36$, $v(9)=27$. Vậy vận tốc lớn nhất đạt được tại $t=6$ giây và bằng $36$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số đồng biến trên $[2;3]$. Do đó $m=y(2)=\frac{0}{3}=0$ và $M=y(3)=\frac{1}{4}$. Vậy $M+m=0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x-m^2-1}{x-m}=1+\frac{m-m^2}{x-m}$, với $y^{\prime }=\frac{m^2-m}{(x-m{)}^2}$.

- Nếu $m\in (0;4)$ thì hàm số gián đoạn tại $x=m$ nằm trong $[0;4]$, một nhánh tiến đến $+\infty$ nên hàm không có GTLN bằng $-6$ (loại). Riêng $m=0$: GTLN trên $(0;4]$ bằng $y(4)=\frac{3}{4}$; $m=4$: hàm không xác định tại $x=4$ (loại).
- Nếu $m<0$ hoặc $m>4$: $m^2-m>0$ nên hàm liên tục và đồng biến trên $[0;4]$, GTLN tại $x=4$: $\frac{3-m^2}{4-m}=-6\iff m^2+6m-27=0\iff m=3$ (loại vì $3\in (0;4)$) hoặc $m=-9$ (thỏa, $m<0$).
- Nếu $0<m<1$: hàm gián đoạn tại $x=m$ trong đoạn, loại (đã xét ở trên).

Thử lại $m=-9$: $y=\frac{x-82}{x+9}$, $y^{\prime }=\frac{91}{(x+9{)}^2}>0$ nên đồng biến trên $[0;4]$, GTLN $=y(4)=\frac{-78}{13}=-6$. Vậy $m=-9$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm vận tốc: $v(t)=s^{\prime }(t)=-6t^2+48t+9$ trên đoạn $[0;10]$. Xét $v^{\prime }(t)=-12t+48=0\Rightarrow t=4$. Ta có $v(0)=9$, $v(4)=-6\cdot 16+48\cdot 4+9=-96+192+9=105$, $v(10)=-600+480+9=-111$. Vậy vận tốc lớn nhất đạt được tại $t=4$ giây và bằng $105$ (đơn vị quãng đường/giây).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-5;3]$: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3]$ nên với $x\in [-5;-3]$ ta có $f(x)\le f(-3)=4$. Hàm số nghịch biến trên $[-3;3]$ nên với $x\in [-3;3]$ ta có $f(x)\le f(-3)=4$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-5;3]$ là $f(-3)=4$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng đáy là $x$ (m), chiều dài là $5x$ (m), chiều cao là $h$ (m). Thể tích $5x^{2}h=16\Rightarrow h=\frac{16}{5x^2}$. Tủ là khối hộp chữ nhật kín nên diện tích gỗ cần dùng là $S=2(5x^2)+2(5x)h+2xh=10x^2+12xh=10x^2+\frac{192}{5x}$ với $x>0$. Tìm min: $S^{\prime }(x)=20x-\frac{192}{5x^2}=0\Rightarrow x^3=\frac{192}{100}=1,92\Rightarrow x=\sqrt[3]{1,92}\approx 1,242$. Khi đó $S\approx 10(1,5424)+\frac{192}{5\cdot 1,242}\approx 15,42+30,92=46,34{\text{m}}^2$. Chi phí ít nhất $=46,34\times 200000\approx 9,27$ triệu đồng, làm tròn đến hàng đơn vị ta được $a\approx 9$.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí trung bình $f(x)=\frac{0,5x^2+x+23}{x}=0,5x+1+\frac{23}{x}$ với $x>0$. Xét $f^{\prime }(x)=0,5-\frac{23}{x^2}=0\Rightarrow x=\sqrt{46}\approx 6,78$. Vì $x$ là số sản phẩm (nguyên), so sánh: $f(6)=3+1+\frac{23}{6}\approx 7,833$ và $f(7)=3,5+1+\frac{23}{7}\approx 7,786$. Vậy $f(7)<f(6)$, chi phí trung bình thấp nhất khi sản xuất $7$ sản phẩm. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=\frac{24000}{1+6e^{-t}}$. Tính đạo hàm: $f^{\prime }(t)=\frac{24000\cdot 6e^{-t}}{(1+6e^{-t}{)}^2}=\frac{144000e^{-t}}{(1+6e^{-t}{)}^2}$. Đặt $u=e^{-t}>0$, khi đó $f^{\prime }=\frac{144000u}{(1+6u{)}^2}$. Xét $g(u)=\frac{u}{(1+6u{)}^2}$, có $g^{\prime }(u)=\frac{(1+6u{)}^2-u\cdot 2(1+6u)\cdot 6}{(1+6u{)}^4}=\frac{1-6u}{(1+6u{)}^3}$. Vậy $g^{\prime }(u)=0$ khi $u=\frac{1}{6}$, tức $e^{-t}=\frac{1}{6}\Rightarrow t=\ln 6$. Khi đó tốc độ bán hàng $f^{\prime }(t)$ đạt giá trị lớn nhất (vì $g$ tăng khi $u>1/6$... chính xác hơn $g$ tăng với $u<1/6$ và giảm với $u>1/6$). Vậy $t=\ln a$ với $a=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=1+x+\frac{4}{x}$ trên $[-3;-1]$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 2$; trong đoạn $[-3;-1]$ có $x=-2$. Tính giá trị: $y(-3)=1-3-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$, $y(-2)=1-2-2=-3$, $y(-1)=1-1-4=-4$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-4$ đạt tại $x=-1$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục toạ độ với $O$ gốc, $OD$ là trục $Oy$, $OE$ là trục $Ox$ (đơn vị: mét). Điểm $M$ cách $OD$ là $125m$ và cách $OE$ là $1000m$ nên $M(125;1000)$. Đường $AB$ cắt trục $Oy$ tại $A(0;a)$ và trục $Ox$ tại $B(b;0)$, phương trình: $\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$. Vì đường đi qua $M$: $\frac{125}{b}+\frac{1000}{a}=1$, với $a,b>0$.

Cần tối thiểu độ dài đường $AB=a+b$. Theo bất đẳng thức Cauchy:
$$a+b=(a+b)\left(\frac{125}{b}+\frac{1000}{a}\right)=125\frac{a}{b}+1000\frac{b}{a}+1125\ge 2\sqrt{125\cdot 1000}+1125.$$

Tính $\sqrt{125000}=100\sqrt{12,5}\approx 353,5534$, nên $A{B}_{\min }\approx 1125+707,1068=1832,1068m$.

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{b}=\frac{1000}{125}\cdot \frac{b}{a}$, tức $\frac{a}{1000}=\frac{b}{125}$, khi đó $a\approx 1581,14m$, $b\approx 197,64m$ (vị trí $A,B$ tối ưu).

Chi phí: làm $100m$ đường tốn $155$ triệu đồng nên chi phí là:
$$\frac{1832,1068}{100}\times 155\approx 2839,77\text{ triệu đoˆˋng}=2,8398\text{ tỷ đoˆˋng}.$$

Làm tròn đến hàng phần trăm: $\boxed{2,84}$ tỷ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-3}{x+1}$ xác định trên $[1;5]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x)(x+1)-(x^2-3)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x+3}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+1{)}^2+2}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số đồng biến trên $[1;5]$, nên giá trị lớn nhất đạt tại $x=5$: $y(5)=\frac{25-3}{6}=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ N(1)=C/(1+2)=6 suy ra C=18, nên a đúng. Với C=18: N(4)=18·4/(16+2)=72/18=4 (mg/l) ≠ 9, nên b sai. N(x)=18x/(x²+2) có giá trị lớn nhất tại x=√2: N_max=18√2/4=9√2/2≈6,36 (mg/l) < 7, nên nồng độ không bao giờ đạt 7 mg/l, c sai. N'(x)=18(2−x²)/(x²+2)²; N'(x)>0 khi x<√2≈1,414 và N'(x)<0 khi x>√2, nên trong khoảng (0;2) hàm tăng rồi giảm (tăng đến x=√2 rồi giảm), do đó không tăng dần trên cả 2 phút đầu, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
N(1)=C/3=6 nên C=18.
b) (AI giải đề cho tôi)
N(4)=72/18=4 (mg/l), không phải 9.
c) (AI giải đề cho tôi)
N_max=9√2/2≈6,36<7 nên không đạt 7 mg/l.
d) (AI giải đề cho tôi)
N'(x)=18(2−x²)/(x²+2)² đổi dấu tại x=√2≈1,414, nên trong (0;2) nồng độ tăng đến x=√2 rồi giảm, không tăng dần trên cả 2 phút.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận mỗi ngày: $P(x)=500x-S(x)=-x^3+3x^2+420x-500$ (nghìn đồng), với $1\le x<25$. Xét $P^{\prime }(x)=-3x^2+6x+420=0\iff x^2-2x-140=0\iff x=1+\sqrt{141}\approx 12,874$ (nhận, vì $x=1-\sqrt{141}<0$ loại). Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $x<1+\sqrt{141}$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>1+\sqrt{141}$, hàm số đạt max tại $x=1+\sqrt{141}$. Tính: $x^2\approx 165,745$, $x^3\approx 2133,9$, nên $P\approx -2133,9+497,2+5407,2-500\approx 3270,5$ nghìn đồng $\approx 3,2705$ triệu đồng. Làm tròn đến hàng phần mười: $3,3$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Do tính đối xứng, lấy $B(-x,0)$, $C(x,0)$ với $x>0$, đỉnh B, C nằm trên vòm nên chiều cao là $y=\frac{1}{2}{e}^{-x^2}$ (dam). Diện tích (theo dam vuông): $S(x)=2x\cdot \frac{1}{2}{e}^{-x^2}=x{e}^{-x^2}$, $x>0$. $S^{\prime }(x)=e^{-x^2}(1-2x^2)=0\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (vì $S^{\prime }>0$ khi $x<\frac{1}{\sqrt{2}}$, $S^{\prime }<0$ khi $x>\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên đây là điểm cực đại, cũng là GTLN). $S_{\max }=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-1/2}\approx 0.42888$ dam². Đổi ra mét vuông: $0.42888\times 100\approx 42.89$ m², làm tròn đến hàng đơn vị là $43$ m².

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. Trên đoạn $[-2;2]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=-1$. Tính giá trị: $f(-2)=-8-12+18+10=8$; $f(-1)=-1-3+9+10=15$; $f(2)=8-12-18+10=-12$. Vậy ${\max }_{[-2;2]}f(x)=f(-1)=15$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$: $f(-1)=0$, hàm đồng biến đến $f(0)=5$, nghịch biến đến $f(2)=1$, rồi đồng biến đến $f(3)=4$. So sánh các giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu mút: $\max \{f(-1),f(0),f(2),f(3)\}=\max \{0,5,1,4\}=5=f(0)$. Vậy giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $[-1;3]$ là $f(0)=5$, khẳng định A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. Trên đoạn $[-2;2]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=-1$. Tính: $f(-2)=-8-12+18+3=1$; $f(-1)=-1-3+9+3=8$; $f(2)=8-12-18+3=-19$. Vậy giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $[-2;2]$ là $8$, đạt tại $x=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(-1)=1$, $f(0)=2$ (cực đại), $f(2)=-2$ (cực tiểu), $f(3)=3$. Trên đoạn $[-1;3]$, hàm số liên tục nên giá trị nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị $f(-1)=1$, $f(0)=2$, $f(2)=-2$, $f(3)=3$, tức $\min f=-2$ đạt tại $x=2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ao có diện tích 50 m², vụ trước mật độ 20 con/m² nên số cá thả là 20·50 = 1000 con; tổng thu 1,5 tấn = 1500 kg nên khối lượng trung bình mỗi con là 1500/1000 = 1,5 kg.

a) Số cá giống vụ vừa qua là 1000 con, không phải 1500 con → Sai.

b) Khối lượng trung bình mỗi con là 1,5 kg → Đúng.

c) Gọi x (con) là số cá giảm so với vụ trước (0 ≤ x ≤ 1000). Mật độ giảm x/50 con/m², theo đề cứ giảm 8 con/m² thì mỗi con tăng 0,5 kg nên mỗi con tăng (x/50)·(0,5/8) = x/800 (kg). Khối lượng mỗi con: 1,5 + x/800. Tổng sản lượng: F(x) = (1000 − x)(1,5 + x/800) = −x²/800 + 1,25x + 1500 = −0,00125x² + 1,25x + 1500 (kg). Biểu thức −0,0652x² + 16x + 1500 trong đề không khớp → Sai.

d) F'(x) = 1,25 − x/400 = 0 ⇒ x = 500. Vậy cần thả 1000 − 500 = 500 con cá giống (không phải 488 con) → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cá thả vụ trước = 20 con/m² × 50 m² = 1000 con, không phải 1500 con.
b) (AI giải đề cho tôi)
1500 kg : 1000 con = 1,5 kg/con.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với x là số cá giảm, F(x) = (1000 − x)(1,5 + x/800) = −0,00125x² + 1,25x + 1500 (kg), khác biểu thức trong đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
F'(x) = 1,25 − x/400 = 0 ⇒ x = 500, tức thả 1000 − 500 = 500 con để năng suất cao nhất, không phải 488 con.