Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với mặt sàn là mặt phẳng $Oxy$. Hình chiếu của cửa sổ là hình vuông cạnh $1,5$ m nên đặt $A^{\prime }(0;0;0)$, $B^{\prime }(1,5;0;0)$, $C^{\prime }(1,5;1,5;0)$, $D^{\prime }(0;1,5;0)$ (phép chiếu vuông góc). Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $D=A+C-B$, do đó với $z_A=1,2$, $z_B=1,3$, $z_C=2,4$ ta có $z_D=1,2+2,4-1,3=2,3$.

Vậy trong không gian:
$$A(0;0;1,2),B(1,5;0;1,3),C(1,5;1,5;2,4),D(0;1,5;2,3).$$

Hai vectơ chỉ phương của mặt nghiêng:
$$\overrightarrow{AB}=(1,5;0;0,1),\overrightarrow{AD}=(0;1,5;1,1).$$

Vectơ pháp tuyến:
$$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=(-0,15;-1,65;2,25).$$

Góc $\theta$ giữa mặt nghiêng của cửa sổ và mặt sàn thỏa:
$$\cos \theta =\frac{|n_z|}{|\vec{n}|}=\frac{2,25}{\sqrt{0,15^2+1,65^2+2,25^2}}=\frac{2,25}{\sqrt{7,8075}}\approx 0,8052.$$

Suy ra $\theta \approx 36,36^{\circ }\approx 36,4^{\circ }$.

Kiểm tra lại bằng cách khác: góc nghiêng lớn nhất của mặt phẳng so với mặt ngang có $\tan \theta =\frac{\sqrt{1,1^2+0,1^2}}{1,5}=\frac{\sqrt{1,22}}{1,5}\approx 0,7364\Rightarrow \theta \approx 36,4^{\circ }$, trùng kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $O$ là gốc, tia $OB$ nằm trên trục $Ox$, tia $OC$ nằm trên trục $Oy$ (hai mặt bên vuông góc nên $OB\perp OC$), trục $Oz$ hướng lên. Khi đó $B(-2;0;0)$, $C(0;4;0)$.

Mái số 1 chứa đường $OB$ (trục $Ox$) và có độ dốc $45^{\circ }$ nên mặt phẳng $(ABO)$ có dạng $z=y$, VTPT $\overrightarrow{n_1}=(0;1;-1)$.

Mái số 2 chứa đường $OC$ (trục $Oy$) và có độ dốc $30^{\circ }$ nên mặt phẳng $(CDO)$ có dạng $z=\frac{x}{\sqrt{3}}$, VTPT $\overrightarrow{n_2}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}};0;-1\right)\propto (1;0;-\sqrt{3})$.

Cosin góc giữa hai mặt phẳng:
$$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{\sqrt{6}}{4}\approx 0,6124.$$

Suy ra $\theta \approx 52,2388^{\circ }\approx 52,2^{\circ }$.

(Vị trí các điểm $A$, $D$ với $AB=3$, $CD=3$ chỉ dùng để xác định các mái, không ảnh hưởng đến góc giữa hai mặt phẳng vì cả hai mặt phẳng đều đi qua $O$.)

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(1;-2;2)$ và $(Q):2x-y+5z+2=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}=(2;-1;5)$. Cosin góc giữa hai mặt phẳng: $$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}|}{|\overrightarrow{n_P}||\overrightarrow{n_Q}|}=\frac{|1\cdot 2+(-2)(-1)+2\cdot 5|}{\sqrt{1+4+4}\cdot \sqrt{4+1+25}}=\frac{|2+2+10|}{3\sqrt{30}}=\frac{14}{3\sqrt{30}}=\frac{7\sqrt{30}}{45}.$$ Vậy $\cos \phi =\frac{7\sqrt{30}}{45}\approx 0,8518$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(2;-1;0)$. Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0. Kiểm tra: A: $(-2;1;-3)\cdot (2;-1;0)=-4-1+0=-5\ne 0$. B: $(1;5;1)\cdot (2;-1;0)=2-5+0=-3\ne 0$. C: $(4;-2;0)\cdot (2;-1;0)=8+2+0=10\ne 0$. D: $(1;2;-1)\cdot (2;-1;0)=2-2+0=0$. Vậy $({\alpha }_4)$ vuông góc với $(\alpha )$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;0)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Xét $({\alpha }_3):4x-2y+7=0$ có $\overrightarrow{n_3}=(4;-2;0)=2\cdot (2;-1;0)$, cùng phương với $\vec{n}$, và $7\ne 0$ nên $({\alpha }_3)$ không trùng $(\alpha )$. Vậy $({\alpha }_3)$ song song với $(\alpha )$. Các đáp án khác có vectơ pháp tuyến chứa thành phần $z$ khác 0 nên không cùng phương với $\vec{n}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song $(P):2x-y+z=0$ và $(Q):2x-y+z-7=0$. Khoảng cách giữa chúng là $d=\frac{|0-(-7)|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{7}{\sqrt{6}}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vectơ pháp tuyến của (α) vuông góc với cả n1=(1;2;-2) và n2=(3;1;0), nên lấy tích có hướng: n1×n2 = (2·0-(-2)·1; (-2)·3-1·0; 1·1-2·3) = (2;-6;-5). Mặt phẳng qua O: 2x-6y-5z=0. Đúng.
b) n1·n2 = 1·3+2·1+(-2)·0 = 5 ≠ 0 nên (P) không vuông góc với (Q). Sai.
c) Từ phương trình mặt phẳng, n1=(1;2;-2) là pháp tuyến của (P) và n2=(3;1;0) là pháp tuyến của (Q). Đúng.
d) G là trọng tâm tam giác ABC: G = ((-1+2-4)/3; (3+6-12)/3; (5-1+5)/3) = (-1;-1;3). Ta có MA+MB+MC = 3·MG nên S = 3·MG, nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên (P): S_min = 3·d(G,(P)) = 3·|(-1)+2(-1)-2·3-5|/√(1+4+4) = 3·14/3 = 14. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
n1×n2 = (2;-6;-5), mặt phẳng qua O có phương trình 2x-6y-5z=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
n1·n2 = 5 ≠ 0 nên hai mặt phẳng không vuông góc.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đọc trực tiếp từ phương trình mặt phẳng: n1=(1;2;-2), n2=(3;1;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
S = 3·MG với G(-1;-1;3) trọng tâm; d(G,(P)) = 14/3 nên S_min = 14.

(AI giải đề cho tôi)
Sàn nhà nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục cao (trục Oz) tại cao độ $\frac{1}{4}$, nên sàn nhà là mặt phẳng $(H):z=\frac{1}{4}$.

Hai mái nhà nằm trên $(P):x-2y+5=0$ và $(Q):x-2y-3z+20=0$. Điểm cao nhất của mái nhà nằm trên giao tuyến $d$ của $(P)$ và $(Q)$.

Trên $d$: từ $(P)$ có $x-2y=-5$. Thay vào $(Q)$: $-5-3z+20=0\Rightarrow 3z=15\Rightarrow z=5$.

Vậy giao tuyến (đỉnh mái) nằm trên mặt phẳng $z=5$, tức điểm cao nhất của mái nhà có cao độ $5$ m.

Chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn đến điểm cao nhất của mái là:
$$h=5-\frac{1}{4}=\frac{19}{4}=4,75\text{ (m)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y+3z-1=0$ và $(Q):x+2y+3z+6=0$ song song (cùng vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;3)$). Khoảng cách giữa chúng là $d=\frac{|6-(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{7}{\sqrt{14}}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x+y+z-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;1;1)$. Xét các phương án: A có pháp tuyến $(1;\frac{1}{2};-\frac{1}{2})$ không cùng phương với $\vec{n}$; B có pháp tuyến $(1;-1;-1)$ không cùng phương; C: $4x+2y+2z+4=0$ chia cho 2 được $2x+y+z+2=0$, có pháp tuyến $(2;1;1)$ cùng phương với $\vec{n}$ và $\frac{4}{2}=\frac{2}{1}=\frac{2}{1}\ne \frac{4}{-2}$ nên hai mặt phẳng song song (không trùng); D: $2x+y+z-2=0$ trùng với $(P)$ chứ không song song. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng của hai pháp tuyến bằng 0. $(P)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(m;m-1;1)$, $(Q)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}=(2;1;-2)$. Điều kiện vuông góc: $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}=2m+(m-1)-2=0\iff 3m-3=0\iff m=1$. Thử lại: với $m=1$, $\overrightarrow{n_P}=(1;0;1)$, tích vô hướng $=2+0-2=0$. Vậy đáp án là $m=1$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y+2z-10=0$ và $(Q):x+2y+2z-3=0$ có cặp hệ số tỉ lệ tương ứng (cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$) nên song song với nhau. Khoảng cách giữa chúng được tính bằng công thức $$d((P),(Q))=\frac{|c_P-c_Q|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|-10-(-3)|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{7}{3}\approx 2,3.$$ Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng là $2,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi vecto pháp tuyến cùng phương ($\overrightarrow{n_1}=k\overrightarrow{n_2}$, $k\ne 0$) và hai mặt phẳng không trùng nhau, tức $D_1\ne k{D}_2$. Nếu $D_1=k{D}_2$ thì hai mặt phẳng trùng nhau. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(4-a;-(a+3);1)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(3;-4;1)$.

a) Song song khi $\frac{4-a}{3}=\frac{a+3}{4}=\frac{1}{1}$. Từ $4-a=3\Rightarrow a=1$; kiểm tra $\frac{a+3}{4}=1\Rightarrow a=1$ (thỏa). Vậy $a=1$ cho hai mặt phẳng song song (hằng số $1\ne 3$ nên không trùng). → Đúng.

b) Vuông góc khi $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}=0$: $3(4-a)-4(-(a+3))+1=12-3a+4a+12+1=a+25=0\Rightarrow a=-25$, không phải $a=2$. → Sai.

c) Để trùng nhau cần song song, tức $a=1$, nhưng khi đó hằng số là $1$ và $3$ khác nhau nên hai mặt phẳng không thể trùng nhau với mọi $a$. → Đúng.

d) $\overrightarrow{n_P}\times \overrightarrow{n_Q}=(1-a;a-1;7a-7)=(1-a)(1;-1;-7)$, nên với $a\ne 1$ vectơ $(1;-1;-7)$ vuông góc với cả hai pháp tuyến. Với $a=1$ hai mặt phẳng song song có pháp tuyến $(3;-4;1)$ và $(1;-1;-7)\cdot (3;-4;1)=3+4-7=0$, vẫn vuông góc. Vậy mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng trên có thể có pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;-7)$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Song song khi (4-a)/3=(a+3)/4=1, giải ra a=1 thỏa mãn cả hai tỉ lệ; hằng số 1≠3 nên song song thật.
b) (AI giải đề cho tôi)
n_P·n_Q = a+25 = 0 ⟹ a = -25, không phải a = 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trùng nhau đòi hỏi a=1 (điều kiện song song) nhưng hằng số 1 và 3 khác nhau nên không có giá trị a nào để hai mặt phẳng trùng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
n_P×n_Q=(1-a)(1;-1;-7), và với a=1 thì (1;-1;-7)·(3;-4;1)=0, nên (1;-1;-7) luôn vuông góc với cả hai pháp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-2;1)$ nên song song (a Đúng). $d(A,(Q))=\frac{|2\cdot 0-2\cdot 1+1-5|}{\sqrt{9}}=\frac{6}{3}=2\ne 4$ (b Sai). $d((P),(Q))=\frac{|-5-1|}{3}=2\ne 6$ (c Sai). $d(B,(P))=\frac{|4-0+1+1|}{3}=2$, góc giữa $BC$ và $(P)$ là $30^{\circ }$ nên $BC=\frac{d(B,(P))}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2}{1/2}=4\ne \frac{4\sqrt{3}}{3}$ (d Sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt $\overrightarrow{n_1}=(2;-2;1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;-2;1)$, với $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{n_2}$ và hai mặt phẳng không trùng nhau (vì $1\ne -5$), nên $(P)\parallel (Q)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(Q))=\frac{|2\cdot 0-2\cdot 1+1-5|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{|-6|}{3}=2\ne 4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)\parallel (Q)$, lấy điểm $A(0;1;1)\in (P)$: $d((P),(Q))=d(A,(Q))=2\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(B,(P))=\frac{|2\cdot 2-2\cdot 0+1+1|}{3}=\frac{6}{3}=2$. Góc giữa $BC$ và $(P)$ bằng $30^{\circ }$ nên $BC=\frac{d(B,(P))}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2}{1/2}=4\ne \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x+y+z-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;1;1)$. Xét các phương án:
- A: ${\vec{n}}_A=(1;\frac{1}{2};-\frac{1}{2})$ không cùng phương với $\vec{n}$ (thành phần $z$ trái dấu), loại.
- B: ${\vec{n}}_B=(1;-1;-1)$ không cùng phương với $\vec{n}$, loại.
- C: $4x+2y+2z+4=0$ có ${\vec{n}}_C=(4;2;2)=2\vec{n}$ và $\frac{D_C}{D_P}=\frac{4}{-2}=-2\ne 2$, nên $(C)$ song song với $(P)$.
- D: $2x+y+z-2=0$ chính là $(P)$ (trùng nhau), không phải song song.
Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0. $(P)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(m;m-1;1)$, $(Q)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;1;-2)$. Điều kiện vuông góc: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0\iff 2m+(m-1)-2=0\iff 3m-3=0\iff m=1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song cùng dạng $x+2y+3z+d=0$. Khoảng cách $d((P),(Q))=\frac{|6-(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{7}{\sqrt{14}}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi hai vecto pháp tuyến vuông góc, tức $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$, tương đương $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$. Các phương án A, B tương ứng với trường hợp song song (trùng nhau), D không phải điều kiện vuông góc. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ (hoặc góc bù của nó), luôn lấy giá trị trong $[0^{\circ };90^{\circ }]$. Vì góc giữa $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là $30^{\circ }$ (đã nằm trong $[0^{\circ };90^{\circ }]$) nên góc giữa hai đường thẳng $d_1,d_2$ cũng bằng $30^{\circ }$. Chọn A.