Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai pháp tuyến hoặc bù với nó, nên $\cos \phi =\frac{\left|\vec{n}\cdot \overrightarrow{n^{\prime }}\right|}{\left|\vec{n}\right|\left|\overrightarrow{n^{\prime }}\right|}$ (luôn $\ge 0$, vì $0^{\circ }\le \phi \le 90^{\circ }$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;0)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Xét $({\alpha }_3):4x-2y+7=0$ có $\overrightarrow{n_3}=(4;-2;0)=2\cdot (2;-1;0)$, cùng phương với $\vec{n}$, và $7\ne 0$ nên $({\alpha }_3)$ không trùng $(\alpha )$. Vậy $({\alpha }_3)$ song song với $(\alpha )$. Các đáp án khác có vectơ pháp tuyến chứa thành phần $z$ khác 0 nên không cùng phương với $\vec{n}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi hai vecto pháp tuyến vuông góc, tức $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$, tương đương $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$. Các phương án A, B tương ứng với trường hợp song song (trùng nhau), D không phải điều kiện vuông góc. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ (hoặc góc bù của nó), luôn lấy giá trị trong $[0^{\circ };90^{\circ }]$. Vì góc giữa $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là $30^{\circ }$ (đã nằm trong $[0^{\circ };90^{\circ }]$) nên góc giữa hai đường thẳng $d_1,d_2$ cũng bằng $30^{\circ }$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-3y+2z-15=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(2;-3;2)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương và hai mặt phẳng không trùng nhau. Xét các đáp án: A có $\vec{n}=(6;9;-6)$ không cùng phương với $\overrightarrow{n_P}$ (tỉ số $6/2=3$ nhưng $9/(-3)=-3$). B có $\vec{n}=(2;-3;2)=\overrightarrow{n_P}$ và hằng số khác ($+15\ne -15$) nên $(Q)$ song song với $(P)$. C có $\vec{n}=(1;2;-3)$ không cùng phương. D có $\vec{n}=(4;-6;4)=2\overrightarrow{n_P}$ nhưng phương trình $4x-6y+4z-30=0$ chính là $2x-3y+2z-15=0$ (chia cho 2), tức $(Q)$ trùng với $(P)$, không song song. Vậy đáp án đúng là B, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 4: B).

Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ được tính theo công thức $\cos ((P),(Q))=|\cos (\vec{n},\vec{u})|=\frac{|A\cdot a+B\cdot b+C\cdot c|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

**Chọn A**

Dễ thấy, do Ox; Oy; Oz đôi một vuông góc nên ( Oxz ) ⊥ ( Oyz ) .
Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( Oxz ) và ( Oyz ) bằng 900 .

D. 450 .

Do mặt phẳng $(Oxy)$ vuông góc với mặt phẳng $(Oyz)$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng $90^{\circ }$.

Chọn A

Vectơ pháp tuyến n$\alpha$ = (1; -2;3) ; n$\beta$ = ( 2; -4;6 )


n$\beta$ = 2n$\alpha$
Ta có:
M (-1;0;0) $\in$ ($\alpha$ ) $\Rightarrow$ M $\notin$ ( $\beta$ )
Chứng tỏ ($\alpha$ ) / / ( $\beta$ ) .
2x + 3

**Chọn A**

   
Ta có nP  1;1;  1 , nQ   2; 2;  2   nQ  2nP . Do đó góc giữa hai mặt phẳng  P  và  Q  là
0 .

Góc giữa hai mặt phẳng không vượt quá $90^{\circ }$, nên $((P),(Q))=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$.

Vì góc giữa hai vectơ pháp tuyến bằng $30^{\circ }\le 90^{\circ }$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $30^{\circ }$.

Mặt phẳng $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{k}=(0;0;1)$, mặt phẳng $(Oxz)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{j}=(0;1;0)$. Vì $\vec{k}\perp \vec{j}$ nên góc giữa hai mặt phẳng này bằng $90^{\circ }$. Chọn C.

Chọn B

Mặt phẳng $(Oxz)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{j}=(0;1;0)$, mặt phẳng $(Oyz)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{i}=(1;0;0)$. Vì $\vec{i}\cdot \vec{j}=0$, hai mặt phẳng này vuông góc với nhau, góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. Chọn A.

Chọn A.
Ta có $(Oxy)\perp (Oxz)\Rightarrow ((Oxy),(Oxz))=90^{\circ }$.

Hai mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ và $(Oyz)$ vuông góc với nhau nên góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. Chọn A.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề A; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9-10, mã đề 024; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)