Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương và hai mặt phẳng không trùng nhau. Mặt phẳng $(\alpha ):2x+7y-z-1=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{\alpha }=(2;7;-1)$. Xét các đáp án: A có ${\vec{n}}_Q=(1;1;9)$ không cùng phương với ${\vec{n}}_{\alpha }$. B có ${\vec{n}}_R=(2;-7;-1)$ không cùng phương. C có ${\vec{n}}_S=(2;7;1)$ không cùng phương. D có ${\vec{n}}_P=(2;7;-1)$ cùng phương với ${\vec{n}}_{\alpha }$, và vì $10\ne -1$ (tỉ số các hệ số tự do khác tỉ số $2/2=7/7=(-1)/(-1)=1$) nên $(P)$ không trùng $(\alpha )$. Vậy $(P)$ song song với $(\alpha )$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n_P}=(m-1;1;-2)$, của $(Q)$ là $\overrightarrow{n_Q}=(2;0;-1)$. Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}=0$, tức $2(m-1)+0+(-2)(-1)=2m-2+2=2m=0$, suy ra $m=0$. Thử lại: với $m=0$, $(P):-x+y-2z=0$, tích vô hướng $(-1)(2)+(-2)(-1)=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):2x+y-2z-1=0$ và $(Q):6x+3y-6z+15=0$ có cặp vector pháp tuyến tỉ lệ: $(6;3;-6)=3(2;1;-2)$, nên $(P)\parallel (Q)$. Chia $(Q)$ cho 3: $2x+y-2z+5=0$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: $d=\frac{|5-(-1)|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{6}{3}=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I=d_1\cap d_2$. Vì $d_1\subset (P)$, $d_2\subset (Q)$ nên $I\in (P)$ và $I\in (Q)$. Mặt khác $d_2\subset (R)$ nên $I\in (R)$. Do đó $I$ thuộc giao của $(P)$ và $(R)$, tức $I\in d_3=(P)\cap (R)$. Vậy cả ba đường thẳng $d_1,d_2,d_3$ cùng đi qua điểm $I$, tức chúng đồng quy. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có pháp tuyến $n_P=(8;-4;-8)$, $n_Q=(\sqrt{2};-\sqrt{2};0)$. Tính $\cos \phi =\frac{|8\sqrt{2}+4\sqrt{2}+0|}{\sqrt{64+16+64}\cdot \sqrt{2+2}}=\frac{12\sqrt{2}}{12\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $\phi =\frac{\pi }{4}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $H(2;-1;-2)$ là hình chiếu vuông góc của $O$ xuống $(P)$ nên vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=\overrightarrow{OH}=(2;-1;-2)$. Mặt phẳng $(Q):x-y-11=0$ có ${\vec{n}}_Q=(1;-1;0)$. Góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \phi =\frac{|2\cdot 1+(-1)(-1)+(-2)\cdot 0|}{\sqrt{4+1+4}\cdot \sqrt{1+1}}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\phi =45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0. $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(2;m;2m)$, $\overrightarrow{n_{\beta }}=(6;-1;-1)$. Điều kiện: $2\cdot 6+m\cdot (-1)+2m\cdot (-1)=0\iff 12-3m=0\iff m=4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Các vecto pháp tuyến: $(P):\overrightarrow{n_1}=(1;-1;0)$, $(Q):\overrightarrow{n_2}=(1;1;-1)$, $(R):\overrightarrow{n_3}=(1;1;2)$.

a) $\cos ((P),(Q))=\frac{|1\cdot 1+(-1)\cdot 1+0\cdot (-1)|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}=\frac{0}{\sqrt{6}}=0$ → đúng.

b) Vì $\cos ((P),(Q))=0$ nên góc giữa $(P)$ và $(Q)$ bằng $90^{\circ }$, không phải $0^{\circ }$ → sai.

c) $\cos ((Q),(R))=\frac{|1+1-2|}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}=0$ → đúng.

d) $\cos ((P),(R))=\frac{|1-1+0|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}}=0\ne 1$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_1}=(1;-1;0)$, $\overrightarrow{n_2}=(1;1;-1)$: $\cos =\frac{|1-1+0|}{\sqrt{2}\sqrt{3}}=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cosin góc bằng 0 nên góc giữa $(P)$ và $(Q)$ bằng $90^{\circ }$, không phải $0^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_2}=(1;1;-1)$, $\overrightarrow{n_3}=(1;1;2)$: $\cos =\frac{|1+1-2|}{\sqrt{3}\sqrt{6}}=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_1}=(1;-1;0)$, $\overrightarrow{n_3}=(1;1;2)$: $\cos =\frac{|1-1+0|}{\sqrt{2}\sqrt{6}}=0\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có pháp tuyến $n_P=(1;-1;2)$ và $n_Q=(2;1;1)$. Tích vô hướng: $n_P\cdot n_Q=1\cdot 2+(-1)\cdot 1+2\cdot 1=3$. Độ dài: $|n_P|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$, $|n_Q|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$. Vậy $\cos \phi =\frac{|3|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, suy ra góc giữa hai mặt phẳng là $\phi =60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(1;-2;2)$ và $(Q):2x-y+5z+2=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}=(2;-1;5)$. Cosin góc giữa hai mặt phẳng: $$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}|}{|\overrightarrow{n_P}||\overrightarrow{n_Q}|}=\frac{|1\cdot 2+(-2)(-1)+2\cdot 5|}{\sqrt{1+4+4}\cdot \sqrt{4+1+25}}=\frac{|2+2+10|}{3\sqrt{30}}=\frac{14}{3\sqrt{30}}=\frac{7\sqrt{30}}{45}.$$ Vậy $\cos \phi =\frac{7\sqrt{30}}{45}\approx 0,8518$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(2;-1;0)$. Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0. Kiểm tra: A: $(-2;1;-3)\cdot (2;-1;0)=-4-1+0=-5\ne 0$. B: $(1;5;1)\cdot (2;-1;0)=2-5+0=-3\ne 0$. C: $(4;-2;0)\cdot (2;-1;0)=8+2+0=10\ne 0$. D: $(1;2;-1)\cdot (2;-1;0)=2-2+0=0$. Vậy $({\alpha }_4)$ vuông góc với $(\alpha )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song $(P):2x-y+z=0$ và $(Q):2x-y+z-7=0$. Khoảng cách giữa chúng là $d=\frac{|0-(-7)|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{7}{\sqrt{6}}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y+3z-1=0$ và $(Q):x+2y+3z+6=0$ song song (cùng vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;3)$). Khoảng cách giữa chúng là $d=\frac{|6-(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{7}{\sqrt{14}}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x+y+z-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;1;1)$. Xét các phương án: A có pháp tuyến $(1;\frac{1}{2};-\frac{1}{2})$ không cùng phương với $\vec{n}$; B có pháp tuyến $(1;-1;-1)$ không cùng phương; C: $4x+2y+2z+4=0$ chia cho 2 được $2x+y+z+2=0$, có pháp tuyến $(2;1;1)$ cùng phương với $\vec{n}$ và $\frac{4}{2}=\frac{2}{1}=\frac{2}{1}\ne \frac{4}{-2}$ nên hai mặt phẳng song song (không trùng); D: $2x+y+z-2=0$ trùng với $(P)$ chứ không song song. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng của hai pháp tuyến bằng 0. $(P)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(m;m-1;1)$, $(Q)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}=(2;1;-2)$. Điều kiện vuông góc: $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}=2m+(m-1)-2=0\iff 3m-3=0\iff m=1$. Thử lại: với $m=1$, $\overrightarrow{n_P}=(1;0;1)$, tích vô hướng $=2+0-2=0$. Vậy đáp án là $m=1$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y+2z-10=0$ và $(Q):x+2y+2z-3=0$ có cặp hệ số tỉ lệ tương ứng (cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$) nên song song với nhau. Khoảng cách giữa chúng được tính bằng công thức $$d((P),(Q))=\frac{|c_P-c_Q|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|-10-(-3)|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{7}{3}\approx 2,3.$$ Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng là $2,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi vecto pháp tuyến cùng phương ($\overrightarrow{n_1}=k\overrightarrow{n_2}$, $k\ne 0$) và hai mặt phẳng không trùng nhau, tức $D_1\ne k{D}_2$. Nếu $D_1=k{D}_2$ thì hai mặt phẳng trùng nhau. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x+y+z-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;1;1)$. Xét các phương án:
- A: ${\vec{n}}_A=(1;\frac{1}{2};-\frac{1}{2})$ không cùng phương với $\vec{n}$ (thành phần $z$ trái dấu), loại.
- B: ${\vec{n}}_B=(1;-1;-1)$ không cùng phương với $\vec{n}$, loại.
- C: $4x+2y+2z+4=0$ có ${\vec{n}}_C=(4;2;2)=2\vec{n}$ và $\frac{D_C}{D_P}=\frac{4}{-2}=-2\ne 2$, nên $(C)$ song song với $(P)$.
- D: $2x+y+z-2=0$ chính là $(P)$ (trùng nhau), không phải song song.
Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0. $(P)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(m;m-1;1)$, $(Q)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;1;-2)$. Điều kiện vuông góc: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0\iff 2m+(m-1)-2=0\iff 3m-3=0\iff m=1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song cùng dạng $x+2y+3z+d=0$. Khoảng cách $d((P),(Q))=\frac{|6-(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{7}{\sqrt{14}}$. Vậy chọn A.