Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $AB=a$, thì $A{A}^{\prime }=h=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ nên $h^2=\frac{3a^2}{2}$. Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;h)$, $C^{\prime }(a;a;h)$.

Mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$: $\overrightarrow{BD}=(-a;a;0)$, $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(-a;0;h)$, nên pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(ah;ah;a^2)\sim (h;h;a)$.

Mặt phẳng $(C^{\prime }BD)$: $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(0;a;h)$, nên $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(ah;ah;-a^2)\sim (h;h;-a)$.

Hai pháp tuyến cùng độ dài $\sqrt{2h^2+a^2}$, do đó:
$$\cos \theta =\frac{|h^2+h^2-a^2|}{2h^2+a^2}=\frac{|3a^2-a^2|}{3a^2+a^2}=\frac{2a^2}{4a^2}=\frac{1}{2}.$$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C^{\prime }BD)$ bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):4x+my+mz+1=0$ và $(Q):x-y-3=0$ có pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_P}=(4;m;m)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(1;-1;0)$. Góc giữa hai mặt phẳng bằng $60^{\circ }$ nên $$\cos 60^{\circ }=\frac{|4\cdot 1+m\cdot (-1)+m\cdot 0|}{\sqrt{16+2m^2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}.$$ Suy ra $|4-m|=\frac{1}{2}\sqrt{2}\sqrt{16+2m^2}=\sqrt{8+m^2}$. Bình phương hai vế: $(4-m{)}^2=8+m^2\iff 16-8m+m^2=8+m^2\iff 8m=8\iff m=1$. Thử lại với $m=1$: $\cos \phi =\frac{|4-1|}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, thỏa mãn. Vậy chỉ có đúng 1 giá trị của $m$ thỏa mãn, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $C^{\prime }(1;1;1)$. Mặt phẳng $(AB{C}^{\prime })$ đi qua $A(0;0;0),B(0;1;0),C^{\prime }(1;1;1)$: $\overrightarrow{AB}=(0;1;0)$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1;1;1)$ nên pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1;0;-1)$ (phương trình $x-z=0$). Mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ đi qua $A^{\prime }(0;0;1),B(0;1;0),C(1;1;0)$: $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(0;-1;1)$, $\overrightarrow{BC}=(1;0;0)$ nên pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(0;1;1)$ (phương trình $y+z-1=0$). Khi đó $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0+0-1|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, suy ra $\phi =60^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0)$, tâm đáy $O\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$. Vì $AC=a\sqrt{2}$ nên $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60^{\circ }$ nên $SO=AO\tan 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{6}}{2}$, tức $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)$.

Vectơ $\overrightarrow{SB}=\left(\frac{a}{2};-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)$, $\overrightarrow{SC}=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)$, $\overrightarrow{SD}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)$.

Pháp tuyến của $(SBC)$: $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}\parallel (\sqrt{6};0;1)$.
Pháp tuyến của $(SCD)$: $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{SD}\times \overrightarrow{SC}\parallel (0;\sqrt{6};1)$.

$$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}=\frac{1}{7}.$$

Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $(P)$ có VTPT ${\vec{n}}_P=(1;-2;2)$, $(Q)$ có VTPT ${\vec{n}}_Q=(-1;2;-2)=-{\vec{n}}_P$, và hằng số khác nhau ($-3\ne 1$), nên hai mặt phẳng song song, phân biệt. Đúng.

b) Thay $A(3;1;1)$ vào $(P)$: $3-2(1)+2(1)-3=0$. Vậy $A\in (P)$. Đúng.

c) $d(A,(Q))=\frac{|-3+2(1)-2(1)+1|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|-2|}{3}=\frac{2}{3}\ne 2$. Sai.

d) Điểm $B$ trên $(Q)$ gần $A$ nhất là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(Q)$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $(Q)$: $x=3-t,y=1+2t,z=1-2t$. Thay vào $(Q)$: $-(3-t)+2(1+2t)-2(1-2t)+1=9t-2=0\Rightarrow t=\frac{2}{9}$. Suy ra $B=\left(\frac{25}{9};\frac{13}{9};\frac{5}{9}\right)$, khi đó $x_0+y_0+z_0=\frac{43}{9}\ne 43$. Sai.

Kết luận: a đúng, b đúng, c sai, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\vec{n}}_Q=(-1;2;-2)=-{\vec{n}}_P$ và hai mặt phẳng phân biệt (hằng số khác nhau), nên $(P)\parallel (Q)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Thay $A(3;1;1)$ vào $(P)$: $3-2+2-3=0$, nên $A\in (P)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $d(A,(Q))=\frac{|-3+2-2+1|}{3}=\frac{2}{3}\ne 2$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hình chiếu của $A$ lên $(Q)$: đường thẳng $x=3-t,y=1+2t,z=1-2t$; thay vào $(Q)$ được $9t-2=0\Rightarrow t=\frac{2}{9}$, nên $B=\left(\frac{25}{9};\frac{13}{9};\frac{5}{9}\right)$ và $x_0+y_0+z_0=\frac{43}{9}\ne 43$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
$(P):x-2y+2z-5=0$ có vtpt $\overrightarrow{n_1}=(1;-2;2)$; $(Q):x+(2m-1)z+7=0$ có vtpt $\overrightarrow{n_2}=(1;0;2m-1)$.

a) Với $m=\frac{1}{4}$: $\overrightarrow{n_2}=(1;0;-\frac{1}{2})$, tích vô hướng $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=1+0+2\cdot (-\frac{1}{2})=0$ nên $(P)\perp (Q)$. → Đúng.

b) $\cos ((P),(Q))=\frac{|1+2(2m-1)|}{3\sqrt{1+(2m-1{)}^2}}=\frac{|4m-1|}{3\sqrt{1+(2m-1{)}^2}}$. Đặt $t=2m-1$, giải $\frac{|2t+1|}{3\sqrt{1+t^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$: $2(2t+1{)}^2=9(1+t^2)\iff t^2-8t+7=0\iff t=1$ hoặc $t=7$, tức $m=1$ hoặc $m=4$: có 2 giá trị $m$, không phải 1. → Sai.

c) Để $(P)\equiv (Q)$ cần tỉ số hệ số tương ứng bằng nhau, nhưng hệ số của $y$ trong $(Q)$ bằng $0$ còn trong $(P)$ bằng $-2$, hai mặt không thể trùng nhau. → Sai.

d) Nếu $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ xuống $(Q)$ thì $\overrightarrow{OH}=(2;1;2)$ phải cùng phương với $\overrightarrow{n_2}=(1;0;2m-1)$, nhưng thành phần $y$ là $1$ so với $0$ nên không tỉ lệ: không tồn tại $m$ thỏa giả thiết. Mệnh đề sai. (Kiểm tra thêm: $\cos \beta =\frac{|4m-1|}{3\sqrt{1+(2m-1{)}^2}}=\frac{4}{9}\iff 80m^2-8m-23=0$ cho $m=\frac{1\pm 2\sqrt{29}}{20}$, không gắn với $H$; với $m=-\frac{1}{8}$ khiến $H\in (Q)$ thì $\cos \beta =\frac{5}{3\sqrt{41}}\ne \frac{4}{9}$.) → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=\frac{1}{4}$, $\overrightarrow{n_2}=(1;0;-\frac{1}{2})$ và $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=1-1=0$ nên $(P)\perp (Q)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\frac{|4m-1|}{3\sqrt{1+(2m-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $t=2m-1$ được $t^2-8t+7=0$, cho $m=1$ và $m=4$: có 2 giá trị $m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của $y$ trong $(Q)$ bằng 0 còn trong $(P)$ bằng $-2$, hai mặt không thể trùng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OH}=(2;1;2)$ không thể cùng phương với $\overrightarrow{n_2}=(1;0;2m-1)$ (thành phần $y$: $1$ so với $0$), nên $H$ không thể là hình chiếu của $O$ xuống $(Q)$; mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
$(ABC)$ là mặt phẳng $Oxy$: $z=0$, ${\vec{n}}_{ABC}=(0;0;1)$.

a) $(SAB)$ đi qua $S(0;0;3)$, $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$ chính là mặt phẳng $Oxy$ (vì $C$ không thuộc nhưng $S,A,B$ đều có $y=0$), tức $(SAB):y=0$ với pháp tuyến $\vec{n}=(0;1;0)$. $\cos$ giữa $(SAB)$ và $(ABC)=\frac{|(0;1;0)\cdot (0;0;1)|}{1\cdot 1}=0$... kiểm tra lại: $(SAB)$ chứa $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $S(0;0;3)$ — cả ba điểm đều có $y=0$ nên $(SAB)$ là mặt phẳng $Oxz$: $y=0$. $\cos =0$. Đúng.

b) $(SAC)$ chứa $A(0;0;0)$, $C(0;2;0)$, $S(0;0;3)$, tất cả có $x=0$ nên $(SAC):x=0$ (mặt $Oyz$), vuông góc với $Oxy$. Góc $=90^{\circ }$. Đúng.

c) $(SBC)$: $\overrightarrow{SB}=(1;0;-3)$, $\overrightarrow{SC}=(0;2;-3)$, $\vec{n}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}=(6;3;2)$, $|\vec{n}|=7$. $\cos$ với $(ABC)=\frac{|2|}{7}=\frac{2}{7}\ne \frac{3}{7}$. Sai.

d) $\cos$ giữa $\vec{n}=(6;3;2)$ và ${\vec{n}}_P=(1;1;1)$: $\frac{|11|}{7\sqrt{3}}=\frac{11\sqrt{3}}{21}\ne \frac{10\sqrt{3}}{21}$. Sai.

a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ là mặt phẳng $Oxz$ ($y=0$), $(ABC)$ là mặt phẳng $Oxy$ ($z=0$), hai pháp tuyến $(0;1;0)$ và $(0;0;1)$ vuông góc nên $\cos =0$.

b) (AI giải đề cho tôi)
$(SAC)$ là mặt phẳng $Oyz$ ($x=0$) vuông góc với $(ABC)$ là mặt phẳng $Oxy$, góc bằng $90^{\circ }$.

c) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{(SBC)}=(6;3;2)$, $|\vec{n}|=7$; $\cos$ góc với $(ABC)=\frac{2}{7}\ne \frac{3}{7}$.

d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos$ giữa $(SBC)$ và $(P)=\frac{|6+3+2|}{7\cdot \sqrt{3}}=\frac{11\sqrt{3}}{21}\ne \frac{10\sqrt{3}}{21}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(P):x+3y+z-7=0$ và $(Q):x-y+z+1=0$ có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{n_P}\times \overrightarrow{n_Q}=(3\cdot 1-1\cdot (-1);1\cdot 1-1\cdot 1;1\cdot (-1)-3\cdot 1)=(4;0;-4)\parallel (1;0;-1)$.
Lấy điểm thuộc giao tuyến: trừ hai phương trình được $4y-8=0\Rightarrow y=2$, khi đó $x+z=1$, chọn $A(1;2;0)$.
Vì $(\alpha )$ chứa giao tuyến nên $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;b;c)\perp \vec{u}$: $1\cdot 1+c\cdot (-1)=0\Rightarrow c=1$.
Vì $(\alpha )\perp (\beta )$ với $\overrightarrow{n_{\beta }}=(1;2;3)$: $1\cdot 1+2b+3c=0\Rightarrow 1+2b+3=0\Rightarrow b=-2$.
Mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+z+d=0$ qua $A(1;2;0)$: $1-4+0+d=0\Rightarrow d=3$.
Vậy $d=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-1;0)$ và $\overrightarrow{n_2}=(m+3;m;m)$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=1(m+3)+(-1)m+0=m+3-m=3$.

$|\overrightarrow{n_1}|=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{n_2}|=\sqrt{(m+3{)}^2+m^2+m^2}=\sqrt{3m^2+6m+9}$.

Góc giữa hai mặt phẳng bằng $30^{\circ }$:
$$\cos 30^{\circ }=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{3}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3m^2+6m+9}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Bình phương hai vế:
$$\frac{9}{2(3m^2+6m+9)}=\frac{3}{4}\Rightarrow 36=6(3m^2+6m+9)\Rightarrow 3m^2+6m+9=6$$
$$\Rightarrow 3m^2+6m+3=0\Rightarrow (m+1{)}^2=0\Rightarrow m=-1.$$

Thử lại với $m=-1$: $\overrightarrow{n_2}=(2;-1;-1)$, $\cos \phi =\frac{3}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, tức $\phi =30^{\circ }$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với mặt sàn là mặt phẳng $Oxy$. Hình chiếu của cửa sổ là hình vuông cạnh $1,5$ m nên đặt $A^{\prime }(0;0;0)$, $B^{\prime }(1,5;0;0)$, $C^{\prime }(1,5;1,5;0)$, $D^{\prime }(0;1,5;0)$ (phép chiếu vuông góc). Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $D=A+C-B$, do đó với $z_A=1,2$, $z_B=1,3$, $z_C=2,4$ ta có $z_D=1,2+2,4-1,3=2,3$.

Vậy trong không gian:
$$A(0;0;1,2),B(1,5;0;1,3),C(1,5;1,5;2,4),D(0;1,5;2,3).$$

Hai vectơ chỉ phương của mặt nghiêng:
$$\overrightarrow{AB}=(1,5;0;0,1),\overrightarrow{AD}=(0;1,5;1,1).$$

Vectơ pháp tuyến:
$$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=(-0,15;-1,65;2,25).$$

Góc $\theta$ giữa mặt nghiêng của cửa sổ và mặt sàn thỏa:
$$\cos \theta =\frac{|n_z|}{|\vec{n}|}=\frac{2,25}{\sqrt{0,15^2+1,65^2+2,25^2}}=\frac{2,25}{\sqrt{7,8075}}\approx 0,8052.$$

Suy ra $\theta \approx 36,36^{\circ }\approx 36,4^{\circ }$.

Kiểm tra lại bằng cách khác: góc nghiêng lớn nhất của mặt phẳng so với mặt ngang có $\tan \theta =\frac{\sqrt{1,1^2+0,1^2}}{1,5}=\frac{\sqrt{1,22}}{1,5}\approx 0,7364\Rightarrow \theta \approx 36,4^{\circ }$, trùng kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $O$ là gốc, tia $OB$ nằm trên trục $Ox$, tia $OC$ nằm trên trục $Oy$ (hai mặt bên vuông góc nên $OB\perp OC$), trục $Oz$ hướng lên. Khi đó $B(-2;0;0)$, $C(0;4;0)$.

Mái số 1 chứa đường $OB$ (trục $Ox$) và có độ dốc $45^{\circ }$ nên mặt phẳng $(ABO)$ có dạng $z=y$, VTPT $\overrightarrow{n_1}=(0;1;-1)$.

Mái số 2 chứa đường $OC$ (trục $Oy$) và có độ dốc $30^{\circ }$ nên mặt phẳng $(CDO)$ có dạng $z=\frac{x}{\sqrt{3}}$, VTPT $\overrightarrow{n_2}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}};0;-1\right)\propto (1;0;-\sqrt{3})$.

Cosin góc giữa hai mặt phẳng:
$$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{\sqrt{6}}{4}\approx 0,6124.$$

Suy ra $\theta \approx 52,2388^{\circ }\approx 52,2^{\circ }$.

(Vị trí các điểm $A$, $D$ với $AB=3$, $CD=3$ chỉ dùng để xác định các mái, không ảnh hưởng đến góc giữa hai mặt phẳng vì cả hai mặt phẳng đều đi qua $O$.)

(AI giải đề cho tôi)
a) Vectơ pháp tuyến của (α) vuông góc với cả n1=(1;2;-2) và n2=(3;1;0), nên lấy tích có hướng: n1×n2 = (2·0-(-2)·1; (-2)·3-1·0; 1·1-2·3) = (2;-6;-5). Mặt phẳng qua O: 2x-6y-5z=0. Đúng.
b) n1·n2 = 1·3+2·1+(-2)·0 = 5 ≠ 0 nên (P) không vuông góc với (Q). Sai.
c) Từ phương trình mặt phẳng, n1=(1;2;-2) là pháp tuyến của (P) và n2=(3;1;0) là pháp tuyến của (Q). Đúng.
d) G là trọng tâm tam giác ABC: G = ((-1+2-4)/3; (3+6-12)/3; (5-1+5)/3) = (-1;-1;3). Ta có MA+MB+MC = 3·MG nên S = 3·MG, nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên (P): S_min = 3·d(G,(P)) = 3·|(-1)+2(-1)-2·3-5|/√(1+4+4) = 3·14/3 = 14. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
n1×n2 = (2;-6;-5), mặt phẳng qua O có phương trình 2x-6y-5z=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
n1·n2 = 5 ≠ 0 nên hai mặt phẳng không vuông góc.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đọc trực tiếp từ phương trình mặt phẳng: n1=(1;2;-2), n2=(3;1;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
S = 3·MG với G(-1;-1;3) trọng tâm; d(G,(P)) = 14/3 nên S_min = 14.

(AI giải đề cho tôi)
Sàn nhà nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục cao (trục Oz) tại cao độ $\frac{1}{4}$, nên sàn nhà là mặt phẳng $(H):z=\frac{1}{4}$.

Hai mái nhà nằm trên $(P):x-2y+5=0$ và $(Q):x-2y-3z+20=0$. Điểm cao nhất của mái nhà nằm trên giao tuyến $d$ của $(P)$ và $(Q)$.

Trên $d$: từ $(P)$ có $x-2y=-5$. Thay vào $(Q)$: $-5-3z+20=0\Rightarrow 3z=15\Rightarrow z=5$.

Vậy giao tuyến (đỉnh mái) nằm trên mặt phẳng $z=5$, tức điểm cao nhất của mái nhà có cao độ $5$ m.

Chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn đến điểm cao nhất của mái là:
$$h=5-\frac{1}{4}=\frac{19}{4}=4,75\text{ (m)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(4-a;-(a+3);1)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(3;-4;1)$.

a) Song song khi $\frac{4-a}{3}=\frac{a+3}{4}=\frac{1}{1}$. Từ $4-a=3\Rightarrow a=1$; kiểm tra $\frac{a+3}{4}=1\Rightarrow a=1$ (thỏa). Vậy $a=1$ cho hai mặt phẳng song song (hằng số $1\ne 3$ nên không trùng). → Đúng.

b) Vuông góc khi $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}=0$: $3(4-a)-4(-(a+3))+1=12-3a+4a+12+1=a+25=0\Rightarrow a=-25$, không phải $a=2$. → Sai.

c) Để trùng nhau cần song song, tức $a=1$, nhưng khi đó hằng số là $1$ và $3$ khác nhau nên hai mặt phẳng không thể trùng nhau với mọi $a$. → Đúng.

d) $\overrightarrow{n_P}\times \overrightarrow{n_Q}=(1-a;a-1;7a-7)=(1-a)(1;-1;-7)$, nên với $a\ne 1$ vectơ $(1;-1;-7)$ vuông góc với cả hai pháp tuyến. Với $a=1$ hai mặt phẳng song song có pháp tuyến $(3;-4;1)$ và $(1;-1;-7)\cdot (3;-4;1)=3+4-7=0$, vẫn vuông góc. Vậy mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng trên có thể có pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;-7)$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Song song khi (4-a)/3=(a+3)/4=1, giải ra a=1 thỏa mãn cả hai tỉ lệ; hằng số 1≠3 nên song song thật.
b) (AI giải đề cho tôi)
n_P·n_Q = a+25 = 0 ⟹ a = -25, không phải a = 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trùng nhau đòi hỏi a=1 (điều kiện song song) nhưng hằng số 1 và 3 khác nhau nên không có giá trị a nào để hai mặt phẳng trùng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
n_P×n_Q=(1-a)(1;-1;-7), và với a=1 thì (1;-1;-7)·(3;-4;1)=0, nên (1;-1;-7) luôn vuông góc với cả hai pháp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-2;1)$ nên song song (a Đúng). $d(A,(Q))=\frac{|2\cdot 0-2\cdot 1+1-5|}{\sqrt{9}}=\frac{6}{3}=2\ne 4$ (b Sai). $d((P),(Q))=\frac{|-5-1|}{3}=2\ne 6$ (c Sai). $d(B,(P))=\frac{|4-0+1+1|}{3}=2$, góc giữa $BC$ và $(P)$ là $30^{\circ }$ nên $BC=\frac{d(B,(P))}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2}{1/2}=4\ne \frac{4\sqrt{3}}{3}$ (d Sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt $\overrightarrow{n_1}=(2;-2;1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;-2;1)$, với $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{n_2}$ và hai mặt phẳng không trùng nhau (vì $1\ne -5$), nên $(P)\parallel (Q)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(Q))=\frac{|2\cdot 0-2\cdot 1+1-5|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{|-6|}{3}=2\ne 4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)\parallel (Q)$, lấy điểm $A(0;1;1)\in (P)$: $d((P),(Q))=d(A,(Q))=2\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(B,(P))=\frac{|2\cdot 2-2\cdot 0+1+1|}{3}=\frac{6}{3}=2$. Góc giữa $BC$ và $(P)$ bằng $30^{\circ }$ nên $BC=\frac{d(B,(P))}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2}{1/2}=4\ne \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(2;-1;1) vào (P): 2 - 2(-1) - 2(1) + 5 = 7 ≠ 0 nên A không thuộc (P) → Sai.
b) d(B,(P)) = |0 - 2·2 - 2(-1) + 5| / √(1+4+4) = |3|/3 = 1 → Đúng.
c) (Q) ⊥ (P) với n_Q = (1;b;c), n_P = (1;-2;-2) nên 1 - 2b - 2c = 0 ⇒ b + c = 1/2. A ∈ (Q): 2 - b + c + d = 0; B ∈ (Q): 2b - c + d = 0. Trừ hai phương trình: 2 - 3b + 2c = 0. Thay c = 1/2 - b: 2 - 3b + 1 - 2b = 0 ⇒ b = 3/5, c = -1/10, d = -2b + c = -13/10. Kiểm tra A: 2 - 3/5 - 1/10 - 13/10 = 0 ✓. Vậy n_Q = (1; 3/5; -1/10) ∝ (10; 6; -1) → Đúng.
d) b + c + d = 3/5 - 1/10 - 13/10 = (6 - 1 - 13)/10 = -4/5 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(2;-1;1) vào (P): 2 + 2 - 2 + 5 = 7 ≠ 0 nên A không thuộc (P) → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(B,(P)) = |0 - 4 + 2 + 5|/√9 = 3/3 = 1 → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ (Q) ⊥ (P): b + c = 1/2; qua A, B: 2 - b + c + d = 0 và 2b - c + d = 0 ⇒ 2 - 3b + 2c = 0 ⇒ b = 3/5, c = -1/10, d = -13/10. n_Q = (1; 3/5; -1/10) ∝ (10; 6; -1) → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
b + c + d = 3/5 - 1/10 - 13/10 = -4/5 → Đúng.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 101: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(1;-3;1)$ thuộc giao tuyến nên $A\in (\alpha )$: $1+(m-1)(-3)+n+5=0\Rightarrow n=3m-9$. Kiểm tra $A\in (\beta )$: $4-3+2-3=0$ (đúng). Hai mặt phẳng vuông góc: $\overrightarrow{n_{\alpha }}\cdot \overrightarrow{n_{\beta }}=4+(m-1)+2n=0\Rightarrow m+2n=-3$. Thay $n=3m-9$: $m+6m-18=-3\Rightarrow m=\frac{15}{7}$, $n=-\frac{18}{7}$. Do đó $P=-14\cdot \frac{15}{7}+7\cdot \left(-\frac{18}{7}\right)=-30-18=-48$.