Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $5x+y-z+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(5;1;-1)$. Hai mặt phẳng vuông góc khi $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0$. Kiểm tra: A: $(3;-1;2)$ cho $15-1-2=12\ne 0$; B: $(2;-1;3)$ cho $10-1-3=6\ne 0$; C: $(1;-3;2)$ cho $5-3-2=0$; D: $(1;3;-1)$ cho $5+3+1=9\ne 0$. Vậy mặt phẳng $x-3y+2z-7=0$ vuông góc với mặt phẳng đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $x-y+2z-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;2)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Xét đáp án C: $-2x+2y-4z-7=0$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_C=(-2;2;-4)=-2(1;-1;2)$, cùng phương với $\vec{n}$, và hai mặt phẳng không trùng nhau (vì $-7\ne -2\cdot (-1)$). Các đáp án A, B, D có pháp tuyến không cùng phương với $\vec{n}$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+2z+3=0$ và $(\beta ):x+2y+2z-3=0$ song song với nhau (cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$). Chiều cao tối đa của căn phòng (và của chiếc tủ) là khoảng cách giữa hai mặt phẳng này: $$d(\alpha ,\beta )=\frac{|3-(-3)|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{6}{3}=2\text{ (m)}.$$ Vậy chiều cao của chiếc tủ không được vượt quá $2$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(Q)$ song song với $(P):6x+5y+z+2=0$ nên $(Q)$ có dạng $6x+5y+z+d=0$. Vì $(Q)$ đi qua $M(1;1;1)$ nên $6(1)+5(1)+1+d=0\Rightarrow d=-12$. Vậy $(Q):6x+5y+z-12=0$, suy ra $a=6,b=5,c=1$ và $a+b+c=6+5+1=12$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(2;-1;1) vào (P): 2 - 2(-1) - 2(1) + 5 = 7 ≠ 0 nên A không thuộc (P) → Sai.
b) d(B,(P)) = |0 - 2·2 - 2(-1) + 5| / √(1+4+4) = |3|/3 = 1 → Đúng.
c) (Q) ⊥ (P) với n_Q = (1;b;c), n_P = (1;-2;-2) nên 1 - 2b - 2c = 0 ⇒ b + c = 1/2. A ∈ (Q): 2 - b + c + d = 0; B ∈ (Q): 2b - c + d = 0. Trừ hai phương trình: 2 - 3b + 2c = 0. Thay c = 1/2 - b: 2 - 3b + 1 - 2b = 0 ⇒ b = 3/5, c = -1/10, d = -2b + c = -13/10. Kiểm tra A: 2 - 3/5 - 1/10 - 13/10 = 0 ✓. Vậy n_Q = (1; 3/5; -1/10) ∝ (10; 6; -1) → Đúng.
d) b + c + d = 3/5 - 1/10 - 13/10 = (6 - 1 - 13)/10 = -4/5 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(2;-1;1) vào (P): 2 + 2 - 2 + 5 = 7 ≠ 0 nên A không thuộc (P) → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(B,(P)) = |0 - 4 + 2 + 5|/√9 = 3/3 = 1 → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ (Q) ⊥ (P): b + c = 1/2; qua A, B: 2 - b + c + d = 0 và 2b - c + d = 0 ⇒ 2 - 3b + 2c = 0 ⇒ b = 3/5, c = -1/10, d = -13/10. n_Q = (1; 3/5; -1/10) ∝ (10; 6; -1) → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
b + c + d = 3/5 - 1/10 - 13/10 = -4/5 → Đúng.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 101: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(1;-3;1)$ thuộc giao tuyến nên $A\in (\alpha )$: $1+(m-1)(-3)+n+5=0\Rightarrow n=3m-9$. Kiểm tra $A\in (\beta )$: $4-3+2-3=0$ (đúng). Hai mặt phẳng vuông góc: $\overrightarrow{n_{\alpha }}\cdot \overrightarrow{n_{\beta }}=4+(m-1)+2n=0\Rightarrow m+2n=-3$. Thay $n=3m-9$: $m+6m-18=-3\Rightarrow m=\frac{15}{7}$, $n=-\frac{18}{7}$. Do đó $P=-14\cdot \frac{15}{7}+7\cdot \left(-\frac{18}{7}\right)=-30-18=-48$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa sàn $(\alpha ):2x-2y+z-5=0$ và trần $(\beta ):2x-2y+z+4=0$ là $\frac{|-5-4|}{\sqrt{4+4+1}}=3$ m. Chiều cao phòng là 3 m, tủ cao 2 m nên mặt trên của tủ song song với sàn và cách sàn 2 m. Mặt phẳng $(P)$ song song với $(\alpha )$ có dạng $2x-2y+z+d=0$ với $\frac{|d+5|}{3}=2\Rightarrow d=1$ (chọn mặt nằm giữa sàn và trần, phía trên sàn). Vậy $(P):2x-2y+z+1=0$, suy ra $b=-2,c=1,d=1$ và $b-2c+d=-2-2+1=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):6x+8y+10z-4=0$ có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(6;8;10)$, cùng phương với $(3;4;5)$. Xét các phương án: A có ${\vec{n}}_A=(3;4;5)$ cùng phương với $\vec{n}$ và $\frac{-4}{2}=-2\ne -1$ nên A song song với $(P)$. Phương án C: $3x+4y+5z-2=0$ chính là $(P)$ sau khi chia hai vế cho 2, nên C trùng với $(P)$ chứ không song song. B và D có vecto pháp tuyến không cùng phương với $\vec{n}$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_R}=(7;7;-1)$ và $\overrightarrow{n_{\beta }}=(14;14;-2)=2\overrightarrow{n_R}$, nên chúng song song hoặc trùng nhau. Thử điểm thuộc $(R)$, ví dụ $O$ không thuộc $(R)$ vì $-5\ne 0$; lấy điểm $M(0;0;-5)\in (R)$, thay vào $(\beta )$: $0+0+10-6=4\ne 0$, nên $M\notin (\beta )$. Vậy $(R)$ và $(\beta )$ song song, không trùng nhau. Đáp án D, khớp với bảng đáp án (Câu 17: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):2x-y+2z-1=0$ và $(Q):-4x+2y-4z+14=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(2;-1;2)$, ${\vec{n}}_Q=(-4;2;-4)=-2{\vec{n}}_P$, nên $(P)\parallel (Q)$. Chia phương trình $(Q)$ cho $-2$ được $2x-y+2z-7=0$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: $d((P),(Q))=\frac{|-1-(-7)|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{6}{3}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc với trục $Oz$ nên có dạng $z=c$. Mặt dưới đi qua $A(3;6;18)$ nên là $z=18$; mặt trên đi qua $D(6;9;22)$ nên là $z=22$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là $|22-18|=4$ decimet. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 3 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-3y+2z-15=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(2;-3;2)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương và hai mặt phẳng không trùng nhau.
- A: $\vec{n}=(6;9;-6)$, không cùng phương với $\overrightarrow{n_P}$ (tỉ số $6/2=3$ nhưng $9/(-3)=-3$) → không song song.
- B: $\vec{n}=(4;-6;4)=2\overrightarrow{n_P}$, cùng phương; nhưng $4x-6y+4z-30=0\iff 2x-3y+2z-15=0$, tức $(Q)$ trùng với $(P)$ → không song song.
- C: $\vec{n}=(1;2;-3)$, không cùng phương với $\overrightarrow{n_P}$ → không song song.
- D: $\vec{n}=(4;-6;4)=2\overrightarrow{n_P}$, cùng phương; và $4x-6y+4z+30=0\iff 2x-3y+2z+15=0\ne (P)$ → hai mặt phẳng song song.
Vậy đáp án đúng là D, khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục $Oz$ nên chúng có dạng $z=h\grave{\stackrel{˘}{a}}ngs\acute{\hat{o}}$. Mặt dưới đi qua $A(3;6;18)$ nên là mặt phẳng $z=18$; mặt trên đi qua $D(6;9;20)$ nên là mặt phẳng $z=20$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $z=18$ và $z=20$ là $|20-18|=2$ (decimet). Vậy độ dày mái nhà là $2$ decimet, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-3y+2z-15=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(2;-3;2)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương và hai mặt phẳng không trùng nhau. Xét các đáp án: A có $\vec{n}=(6;9;-6)$ không cùng phương với $\overrightarrow{n_P}$ (tỉ số $6/2=3$ nhưng $9/(-3)=-3$). B có $\vec{n}=(2;-3;2)=\overrightarrow{n_P}$ và hằng số khác ($+15\ne -15$) nên $(Q)$ song song với $(P)$. C có $\vec{n}=(1;2;-3)$ không cùng phương. D có $\vec{n}=(4;-6;4)=2\overrightarrow{n_P}$ nhưng phương trình $4x-6y+4z-30=0$ chính là $2x-3y+2z-15=0$ (chia cho 2), tức $(Q)$ trùng với $(P)$, không song song. Vậy đáp án đúng là B, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-1;4)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;0;-2)$. Tính $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|2+0-8|}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{8}}=\frac{6}{\sqrt{144}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng là $\theta =60^{\circ }$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (Q) song song với (P):2x−y+2z−3=0 nên có dạng (Q): 2x−y+2z+d=0 (a=2, b=−1). Khoảng cách giữa (P) và (Q) là d((P),(Q)) = |d−(−3)|/√(4+1+4) = |d+3|/3 = 4, suy ra |d+3| = 12, tức d = 9 hoặc d = −15. Vì d > 0 nên d = 9. Khi đó T = a + b + d = 2 + (−1) + 9 = 10, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1204, Câu 1 = 10).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa trục $Oy$ có pháp tuyến vuông góc với $\vec{j}=(0;1;0)$, nên có dạng $\vec{n}=(a;0;c)$, tức phương trình dạng $ax+cz=0$. Mặt phẳng $(\alpha ):x-z+5=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;0;-1)$. Điều kiện vuông góc: $\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_{\alpha }}=0\Rightarrow a-c=0\Rightarrow a=c$. Chọn $a=c=1$ ta được $x+z=0$. Kiểm tra: mặt phẳng $x+z=0$ chứa trục $Oy$ (điểm $(0;y;0)$ thỏa mãn) và vuông góc với $(\alpha )$ vì tích vô hướng hai pháp tuyến $1\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot (-1)=0$. Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1204: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y-z+2=0$ và $(Q):2x-y-z+4=0$ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_P}=(1;2;-1)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(2;-1;-1)$. Góc giữa hai mặt phẳng: $$\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}|}{|\overrightarrow{n_P}||\overrightarrow{n_Q}|}=\frac{|1\cdot 2+2\cdot (-1)+(-1)(-1)|}{\sqrt{1+4+1}\cdot \sqrt{4+1+1}}=\frac{|2-2+1|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{1}{6}.$$ Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oxz)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(0;1;0)$, mặt phẳng $(P):x-y+1=0$ có $\overrightarrow{n_2}=(1;-1;0)$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0-1+0|}{1\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\alpha =45^{\circ }$. Vậy đáp án A.