Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):ax+by+cz-1=0$ đi qua $A(0;0;1)$ nên $c-1=0\Rightarrow c=1$; đi qua $B(1;0;0)$ nên $a-1=0\Rightarrow a=1$. Mặt phẳng $(Oxz)$ có VTPT $\overrightarrow{n_2}=(0;1;0)$. Góc giữa hai mặt phẳng: $\cos 45^{\circ }=\frac{|b|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2+b^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Suy ra $2b^2=2+b^2\Rightarrow b^2=2$, vì $b<0$ nên $b=-\sqrt{2}$. Vậy $a+b+2c=1-\sqrt{2}+2=3-\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y-z+2=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(1;2;-1)$ và $(Q):2x-y-z+4=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}=(2;-1;-1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng được tính bởi:
$$\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}|}{|\overrightarrow{n_P}||\overrightarrow{n_Q}|}=\frac{|1\cdot 2+2\cdot (-1)+(-1)(-1)|}{\sqrt{1+4+1}\cdot \sqrt{4+1+1}}=\frac{|2-2+1|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{1}{6}.$$

Vậy $\cos \alpha =\frac{1}{6}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oxz)$ có VTPT $\overrightarrow{n_1}=(0;1;0)$, mặt phẳng $(P):x-y+1=0$ có VTPT $\overrightarrow{n_2}=(1;-1;0)$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0-1+0|}{1\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\alpha =45^0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song: (Q): 2x+2y-2z+3=0 chia 2 được x+y-z+3/2=0, cùng pháp tuyến với (P): x+y-z+5=0. Khoảng cách d = |5 - 3/2| / √(1²+1²+(-1)²) = (7/2)/√3 = 7/(2√3). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng (P): $2x-3y+z-1=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;-3;1)$ và (Q): $x+y+z+7=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;1;1)$. Ta có $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2\cdot 1+(-3)\cdot 1+1\cdot 1=2-3+1=0$, nên $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$, suy ra $(P)\perp (Q)$. Hai mặt phẳng không song song vì các pháp tuyến không cùng phương, và không trùng nhau. Vậy kết luận đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song khi vecto pháp tuyến tỷ lệ nhưng hằng số không tỷ lệ. (P): $2x+2y-2z-3=0$ có $\overrightarrow{n_P}=(2;2;-2)$; (Q): $mx+y-z+1=0$ có $\overrightarrow{n_Q}=(m;1;-1)$. Điều kiện: $\frac{m}{2}=\frac{1}{2}=\frac{-1}{-2}\ne \frac{1}{-3}$. Từ đó $m=1$, và vì $\frac{1}{-3}\ne \frac{1}{2}$ nên hai mặt phẳng thực sự song song (không trùng nhau). Vậy $m=1$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0. $\overrightarrow{n_P}=(2m-1;-3m;2)$, $\overrightarrow{n_Q}=(m;m-1;4)$. Điều kiện: $(2m-1)m+(-3m)(m-1)+2\cdot 4=0\iff 2m^2-m-3m^2+3m+8=0\iff -m^2+2m+8=0\iff m^2-2m-8=0\iff m=4$ hoặc $m=-2$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng (P): $x+y-z-11=0$ và (Q): $2x+2y-2z+7=0$ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_P}=(1;1;-1)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(2;2;-2)=2\overrightarrow{n_P}$. Hai pháp tuyến cùng phương nên hai mặt phẳng song song (không trùng nhau vì $2(x+y-z-11)=2x+2y-2z-22\ne 2x+2y-2z+7$). Góc giữa hai mặt phẳng song song bằng $0^{\circ }$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(2;1;1) vào (α): 2+2·1−3·1+2=3≠0 nên A không thuộc (α) → Sai. b) n_α=(1;2;−3), n_β=(1;0;2) không cùng tỉ số nên (α) không song song (β) → Sai. c) n_β·n_γ=1·4+0·(−3)+2·(−2)=0? Tính lại: 4+0−4=0... kiểm tra: n_β=(1;0;2), n_γ=(4;−3;−2), tích vô hướng 1·4+0·(−3)+2·(−2)=4−4=0, vậy (β) vuông góc (γ) → Đúng. d) (P) vuông góc với (α),(γ) nên n_P=[n_α,n_γ]=(2·(−2)−(−3)(−3); (−3)·4−1·(−2); 1·(−3)−2·4)=(−13;−10;−11) ∝ (13;10;11). Qua A(2;1;1): 13·2+10·1+11·1=47, nên (P): 13x+10y+11z−47=0 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(2;1;1): 2+2−3+2=3≠0, A không thuộc (α).
b) (AI giải đề cho tôi)
n_α=(1;2;−3) và n_β=(1;0;2) không cùng tỉ lệ nên hai mặt phẳng không song song.
c) (AI giải đề cho tôi)
n_β·n_γ=1·4+0·(−3)+2·(−2)=4−4=0 nên (β)⊥(γ).
d) (AI giải đề cho tôi)
n_P=[n_α,n_γ]=(−13;−10;−11)∝(13;10;11); qua A(2;1;1) có 13·2+10·1+11·1=47 nên (P): 13x+10y+11z−47=0.

(AI giải đề cho tôi)
Các vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;1;2)$, $\overrightarrow{n_{\beta }}=(1;1;-1)$, $\overrightarrow{n_{\gamma }}=(1;-1;0)$. Xét từng mệnh đề: A) $\overrightarrow{n_{\alpha }}$ và $\overrightarrow{n_{\gamma }}$ không tỉ lệ nên $(\alpha )$ không song song $(\gamma )$ → sai. B) $\overrightarrow{n_{\alpha }}\cdot \overrightarrow{n_{\beta }}=1+1-2=0$ → $(\alpha )\perp (\beta )$ đúng. C) $\overrightarrow{n_{\gamma }}\cdot \overrightarrow{n_{\beta }}=1-1+0=0$ → $(\gamma )\perp (\beta )$ đúng. D) $\overrightarrow{n_{\alpha }}\cdot \overrightarrow{n_{\gamma }}=1-1+0=0$ → $(\alpha )\perp (\gamma )$ đúng. Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;2;-2)$ và $(Q):x+y+z-1=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;1;1)$. Cosin góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|1+2-2|}{\sqrt{1+4+4}\cdot \sqrt{1+1+1}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình d có u=(2;1;6), từ (P) có n=(1;1;-5). b) Đúng: M(-1;-1;-5) là điểm trên d (thay vào d thỏa mãn), mà d⊂(Q) nên M∈(Q). c) Sai: pháp tuyến của (Q) là u×n_P = (2;1;6)×(1;1;-5) = (-11;16;1). Kiểm tra (1;-11;16): tích có hướng với u bằng (2·16-6·(-11); 6·1-2·16; 2·(-11)-1·1) = (98;-26;-23) ≠ 0 nên không vuông góc với u, không thể là pháp tuyến của (Q). d) Đúng: (Q): -11x+16y+z+10=0. Vectơ chỉ phương của d' = n_P×n_Q = (1;1;-5)×(-11;16;1) = (81;54;27) ∝ (3;2;1). Điểm (1;0;1) thỏa cả hai phương trình: (P): 1+0-5+4=0; (Q): -11+0+1+10=0. Vậy d': x=1+3t, y=2t, z=1+t đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình d: (x+1)/2=(y+1)/1=(z+5)/6 suy ra u=(2;1;6). Từ (P): x+y-5z+4=0 suy ra n=(1;1;-5).
b) (AI giải đề cho tôi)
M(-1;-1;-5) thỏa phương trình d nên M∈d⊂(Q), do đó M∈(Q).
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của (Q) là u×n_P=(2;1;6)×(1;1;-5)=(-11;16;1). Vectơ (1;-11;16) không vuông góc với u=(2;1;6) vì 2-11+96=87≠0, nên không phải pháp tuyến của (Q).
d) (AI giải đề cho tôi)
(Q): -11x+16y+z+10=0. Chỉ phương d' = n_P×n_Q ∝ (3;2;1). Điểm (1;0;1) thuộc cả (P) và (Q), nên d': x=1+3t, y=2t, z=1+t.

(AI giải đề cho tôi)
(P) có vectơ pháp tuyến n1=(1;2;-2), |n1|=3. (Q) có n2=(1;m;m-1), |n2|=√(1+m²+(m-1)²)=√(2m²-2m+2).
a) m=1: n2=(1;1;0), cos = |1+2-0|/(3√2)=1/√2 ⇒ góc bằng 45°, không phải 30° ⇒ Sai.
b) H là hình chiếu của O xuống (R) ⇒ n_R = OH = (2;2;1), (R) qua H: 2x+2y+z=9. cos((P),(R)) = |2+4-2|/(3·3) = 4/9 ⇒ Đúng.
c) cos60° = |1+2m-2(m-1)|/(3√(2m²-2m+2)) = 1/√(2m²-2m+2) = 1/2 ⇒ 2m²-2m+2=4 ⇔ m²-m-1=0 ⇒ m1+m2 = 1 ≠ -1 ⇒ Sai.
d) cos góc = 1/√(2m²-2m+2) lớn nhất khi 2m²-2m+2 nhỏ nhất, tức m=1/2 (không phải m=1). Tại m=1 góc bằng 45°, không phải nhỏ nhất ⇒ Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
m=1: cos = 3/(3√2)=1/√2 ⇒ góc 45° ≠ 30°.
b) (AI giải đề cho tôi)
(R): 2x+2y+z-9=0, cos = |2+4-2|/9 = 4/9.
c) (AI giải đề cho tôi)
m²-m-1=0 ⇒ m1+m2 = 1 ≠ -1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhỏ nhất khi m = 1/2, không phải m = 1.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(1;2;-2)$, $\overrightarrow{n_Q}=(1;1;1)$. Cosin góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \theta =\frac{|1\cdot 1+2\cdot 1+(-2)\cdot 1|}{\sqrt{1+4+4}\cdot \sqrt{1+1+1}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vecto pháp tuyến hoặc bù của nó, luôn nằm trong $[0^{\circ };90^{\circ }]$. Vì góc giữa ${\vec{n}}_P$ và ${\vec{n}}_Q$ bằng $120^{\circ }$, góc giữa hai mặt phẳng là $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1;1;-1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;2;-2)=2\overrightarrow{n_1}$, nên hai mặt phẳng song song (không trùng nhau vì $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{-1}{-2}\ne \frac{-11}{7}$). Góc giữa hai mặt phẳng song song bằng $0^{\circ }$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của (P) là $\overrightarrow{n_P}=(1;1;1)$, của (Q) là $\overrightarrow{n_Q}=(2;m;2)$, của (R) là $\overrightarrow{n_R}=(-1;2;n)$. Vì $(P)\perp (R)$: $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_R}=-1+2+n=0\Rightarrow n=-1$. Vì $(P)//(Q)$: $\overrightarrow{n_Q}=k\overrightarrow{n_P}$, từ $2=k\cdot 1\Rightarrow k=2$, suy ra $m=2$. Vậy $m+2n=2+2(-1)=0$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vector pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n_P}=(1;1;1)$, của $(Q)$ là $\overrightarrow{n_Q}=(2;m;2)$, của $(R)$ là $\overrightarrow{n_R}=(-1;2;n)$.

Vì $(P)\perp (R)$: $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_R}=-1+2+n=0\Rightarrow n=-1$.

Vì $(P)\parallel (Q)$: $\overrightarrow{n_Q}=k\overrightarrow{n_P}$, từ $2=k\cdot 1\Rightarrow k=2$, suy ra $m=2$ (kiểm tra: $2=2\cdot 1$, $2=2\cdot 1$ đúng).

Vậy $m+2n=2+2(-1)=0$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0. $(P):mx+(m-1)y+z-10=0$ có $\overrightarrow{n_P}=(m;m-1;1)$; $(Q):2x+y-2z+3=0$ có $\overrightarrow{n_Q}=(2;1;-2)$. Điều kiện vuông góc: $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}=0\iff 2m+(m-1)-2=0\iff 3m-3=0\iff m=1$. Kiểm tra: với $m=1$, $\overrightarrow{n_P}=(1;0;1)$, tích vô hướng $2\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot (-2)=0$, thỏa mãn. Vậy $m=1$, đáp án B, khớp đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 4: B).