Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0: $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;m;2)$, $\overrightarrow{n_{\beta }}=(2;-1;3)$. Khi đó $\overrightarrow{n_{\alpha }}\cdot \overrightarrow{n_{\beta }}=2-m+6=0\Rightarrow m=8$. Khớp với đáp án nguồn (mã 1202, Câu 5 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0. $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;m+1;-2)$, $\overrightarrow{n_{\beta }}=(2;-1;0)$. Điều kiện: $1\cdot 2+(m+1)(-1)+(-2)\cdot 0=0\iff 2-(m+1)=0\iff m=1$. Vậy chọn A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(Q)$ song song với $(P):-x+6y+7z+34=0$ nên $(Q)$ có dạng $-x+6y+7z+c=0$, tức $a=6,b=7$. Điểm $M(3;3;-2)$ thuộc $(Q)$: $-3+6\cdot 3+7\cdot (-2)+c=0\Rightarrow -3+18-14+c=0\Rightarrow c=-1$. Vậy $a+b+c=6+7-1=12$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(Q)$ song song với $(P):-x+6y+7z+34=0$ nên $(Q)$ có dạng $-x+6y+7z+c=0$, tức $a=6,b=7$. Đi qua $M(3;-3;2)$: $-3+6(-3)+7(2)+c=0\Rightarrow -3-18+14+c=0\Rightarrow c=7$. Vậy $a+b+c=6+7+7=20$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z-6=0$ và $(Q):x+2y-2z+3=0$ có cùng vectơ pháp tuyến $(1;2;-2)$ nên song song với nhau. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là $d((P),(Q))=\frac{|-6-3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{9}{3}=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 17: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z-6=0$ và $(Q):x+2y-2z+3=0$ có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;-2)$ nên song song với nhau. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là $d(P,Q)=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|-6-3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{9}{3}=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 19: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba vị trí thả dây dọi trên mặt nước là A, B, C với độ sâu tương ứng 4; 4,4; 4,8 m. Vì ba vị trí đối nhau từng cặp một khoảng 2 m nên tam giác ABC đều cạnh 2 m. Chọn hệ trục: A(0;0;4), B(2;0;4,4), C(1;√3;4,8). Mặt phẳng đáy bể qua ba điểm này có dạng z = ax + by + c. Từ A và B: a = (4,4 − 4)/2 = 0,2. Từ A và C: a·1 + b·√3 = 0,8 ⇒ b = 0,6/√3 = √3/5 ≈ 0,3464. Góc α giữa đáy bể và mặt phẳng ngang thỏa tan α = √(a² + b²) = √(0,04 + 0,12) = √0,16 = 0,4. Vậy α = arctan(0,4) ≈ 21,8°. Kết quả khớp với đáp án nguồn 21,8.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+2z-4=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;2;2)$. Xét từng phương án: A có $\vec{n}=(2;2;4)$, không cùng phương với $(1;2;2)$. B có $\vec{n}=(1;-2;-2)$, không cùng phương. C có $\vec{n}=(1;-1;2)$, không cùng phương. D có $\vec{n}=(2;4;4)=2(1;2;2)$, cùng phương với $\overrightarrow{n_{\alpha }}$ và $2x+4y+4z-9=0$ khác với $2x+4y+4z-8=0$ nên hai mặt phẳng không trùng nhau, chỉ song song. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 222, Câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x+4y+3z-5=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;4;3)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Xét đáp án B: $2x+4y+3z+7=0$ có pháp tuyến $(2;4;3)=\vec{n}$, cùng phương với $\vec{n}$, và hai mặt phẳng không trùng nhau (hằng số khác nhau: $-5\ne 7$). Vậy $(P)$ song song với mặt phẳng $2x+4y+3z+7=0$. Các đáp án A, C, D có pháp tuyến không cùng phương với $\vec{n}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q):5x+by+cz=0$ qua $A(2;-1;3)$ nên $10-b+3c=0$. Vuông góc với $(P)$ nên $(5;b;c)\cdot (2;-2;1)=0\Rightarrow 10-2b+c=0$. Giải hệ: $b=10+3c$, thay vào: $10-2(10+3c)+c=0\Rightarrow -10-5c=0\Rightarrow c=-2$, $b=4$. Vậy $bc=4\cdot (-2)=-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):3x-y+2z+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-1;2)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương và hai mặt phẳng không trùng nhau.
- A: $(P_3):-3x+y-2z+5=0$ có $\overrightarrow{n_3}=(-3;1;-2)=-1\cdot (3;-1;2)$, cùng phương với $\vec{n}$. Mặt khác nhân $(P)$ với $-1$ ta được $-3x+y-2z-5=0\ne (P_3)$ (hằng số khác nhau), nên $(P_3)$ song song nhưng không trùng với $(P)$. Đúng.
- B: $(P_1):6x-2y-4z+10=0$ có $\overrightarrow{n_1}=(6;-2;-4)$ không cùng phương với $\vec{n}$ (tỉ số $6/3=2$ nhưng $-4/2=-2$), không song song.
- C: $(P_2):-3x+y-2z-5=0$ chính là $-1\cdot (P)$, tức trùng với $(P)$, không phải song song (trong nghĩa hai mặt phẳng phân biệt).
- D: $(P_4):x+y-z+4=0$ có $\overrightarrow{n_4}=(1;1;-1)$ không cùng phương với $\vec{n}$.
Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-3y+2z-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-3;2)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương và hai mặt phẳng không trùng nhau.
- A: $(P_3)$ có $\overrightarrow{n_3}=(1;-1;-2)$, không cùng phương với $\vec{n}$ → loại.
- B: $(P_2)$ có $\overrightarrow{n_2}=(1;-3;4)$, không cùng phương với $\vec{n}$ → loại.
- C: $(P_1):2x-6y+4z-2=0$ có $\overrightarrow{n_1}=(2;-6;4)=2\vec{n}$, nhưng phương trình $(P_1)$ chính là $(P)$ nhân với 2, tức $(P_1)\equiv (P)$ (trùng nhau, không song song) → loại.
- D: $(P_4):-2x+6y-4z-1=0$ có $\overrightarrow{n_4}=(-2;6;-4)=-2\vec{n}$ cùng phương với $\vec{n}$, và hằng số $-1\ne -2\cdot (-1)=2$ nên hai mặt phẳng không trùng nhau → $(P_4)$ song song với $(P)$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1;1;-1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;2;-2)=2\overrightarrow{n_1}$, nên hai mặt phẳng song song (không trùng nhau vì $-11\ne -7/2$). Góc giữa hai mặt phẳng song song bằng $0^{\circ }$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (Q) song song với (P): $x-2y+5z-8=0$ nên có dạng $x-2y+5z+d=0$. Vì (Q) đi qua $A(-1;2;3)$: $-1-2(2)+5(3)+d=0\Rightarrow -1-4+15+d=0\Rightarrow d=-10$. Vậy (Q): $x-2y+5z-10=0$, trùng với đáp án B in đậm trong đề gốc.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ là $d((P),(Q))=\frac{|11-2|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{9}{3}=3$.

Mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(B^{\prime }C{D}^{\prime })$ song song với nhau và vuông góc với đường chéo $A{C}^{\prime }$, chia đường chéo $A{C}^{\prime }$ thành ba đoạn bằng nhau.
Độ dài đường chéo hình lập phương: $A{C}^{\prime }=3\sqrt{3}$.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song này là: $d=\frac{A{C}^{\prime }}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;2),{\vec{n}}_P=(1;-3;2)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},{\vec{n}}_P]=(0;8;12)=4(0;2;3)$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A(2;4;1)$ là $2(y-4)+3(z-1)=0\iff 2y+3z-11=0$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;2;1)$. Vì $A,B\in (Q)$ nên ${\vec{n}}_Q\perp \overrightarrow{AB}\iff -1+2a+b=0\iff b=1-2a$.
Khi đó ${\vec{n}}_Q=(1;a;1-2a)$. VTPT của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(2;-1;-2)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa $(P)$ và $(Q)$:
$\cos \alpha =\frac{|2(1)-a-2(1-2a)|}{3\sqrt{1+a^2+(1-2a{)}^2}}=\frac{|3a|}{3\sqrt{5a^2-4a+2}}=\frac{|a|}{\sqrt{5a^2-4a+2}}$.
Góc $\alpha$ nhỏ nhất khi $\cos \alpha$ lớn nhất. Khảo sát hàm số ta tìm được giá trị lớn nhất đạt được khi $a=1$, suy ra $b=1-2(1)=-1$.
Vậy $a+b=1+(-1)=0$.

Ta có $A(-3;0;0),B(0;2;0),C(0;0;4)$, suy ra $(ABC):\frac{x}{-3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}=1\iff 4x-6y-3z+12=0$. Mặt phẳng song song với $(ABC)$ là $4x-6y-3z-12=0$.

Ta có $A(-1;0;0),B(0;3;0),C(0;0;2)$, suy ra phương trình $(ABC):\frac{x}{-1}+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}=1\iff 6x-2y-3z+6=0$. Mặt phẳng song song với $(ABC)$ là $6x-2y-3z+12=0$.