Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SA$, $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $AC$. Suy ra $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, do đó $OM\parallel SC$. Mặt khác $MN$ là đường trung bình tam giác $SAD$ nên $MN\parallel AD\parallel CD$. Vì $OM\parallel SC$, $MN\parallel CD$, $OM$ và $MN$ cắt nhau, $SC$ và $CD$ cắt nhau và cùng nằm trong $(SCD)$, nên theo định lý về mặt phẳng song song, $(OMN)\parallel (SCD)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ và $BA\parallel CD$ (vì $ABCD$ là hình bình hành). Do đó hai mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(B{B}^{\prime }{A}^{\prime }A)$ lần lượt chứa hai cặp đường thẳng song song phân biệt, nên chúng song song với nhau. Các phương án khác: A trùng với mặt phẳng đã cho; B và D cắt $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ theo giao tuyến $BD$ và $DA$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1102: câu 6 là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\parallel DC$ và $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $A{A}^{\prime }$ lần lượt song song với $DC$ và $D{D}^{\prime }$ cùng nằm trên mặt phẳng $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Theo tính chất hai mặt phẳng song song, suy ra $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, tức là $(C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1101 (câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ (vì $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành) nên $BD\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Mặt khác, $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ (vì tứ giác $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$ có $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ do $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ và $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ theo tính chất hình hộp: $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ vì $A^{\prime }B$ và $D^{\prime }C$ lần lượt song song với $AB$ và $DC$... chính xác hơn: $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ do $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$ là hình bình hành vì $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }=BC$). Suy ra $A^{\prime }B\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $A^{\prime }B$ trong mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ cùng song song với mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, do đó $(A^{\prime }BD)\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Các phương án khác đều sai vì: $(B{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(D{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ đều chứa đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ song song với $BD$ nhưng cắt $(A^{\prime }BD)$ (chung hướng, thực chất $(D{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ chứa $D$ thuộc $(A^{\prime }BD)$ nên cắt nhau); $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ cắt $(A^{\prime }BD)$ vì chung tính chất không song song (chúng có giao tuyến). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án của đề (đề 102, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, tứ giác $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình bình hành (vì $AB\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và $AB=D^{\prime }{C}^{\prime }$) nên $A{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }C$. Tương tự, tứ giác $AD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ là hình bình hành nên $A{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }C$. Xét mặt phẳng $(C^{\prime }BD)$: đường thẳng $A{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }C$ với $D^{\prime }C\subset (C^{\prime }BD)$, $A{B}^{\prime }\not\subset (C^{\prime }BD)$ nên $A{B}^{\prime }\parallel (C^{\prime }BD)$; đường thẳng $A{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }C$ với $B^{\prime }C\subset (C^{\prime }BD)$, $A{D}^{\prime }\not\subset (C^{\prime }BD)$ nên $A{D}^{\prime }\parallel (C^{\prime }BD)$. Hai đường thẳng $A{B}^{\prime },A{D}^{\prime }$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, do đó $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (C^{\prime }BD)$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu: A sai vì hai mặt phẳng có ba điểm chung không nhất thiết trùng nhau (ba điểm có thể thẳng hàng, hoặc hai mặt phẳng cắt nhau theo đường thẳng đi qua ba điểm đó). B đúng theo định nghĩa: hai mặt phẳng song song nếu chúng không có điểm chung. C sai vì hai đường thẳng $a,b$ trong $(P)$ có thể cắt nhau hoặc song song; nếu $a,b$ cắt nhau và cùng song song với $(Q)$ thì $(P)\parallel (Q)$, nhưng nếu $a,b$ song song với nhau thì chưa đủ điều kiện. D sai vì qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước chỉ có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. Vậy phát biểu đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu: A sai vì hai đường thẳng $a,b$ trong $(P)$ có thể cắt nhau hoặc song song; chỉ khi chúng cắt nhau và cùng song song với $(Q)$ mới suy ra $(P)//(Q)$. B sai vì qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng chỉ có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. C sai vì ba điểm chung phải không thẳng hàng thì hai mặt phẳng mới trùng nhau; nếu ba điểm thẳng hàng thì hai mặt phẳng có thể cắt nhau theo đường thẳng qua ba điểm đó. D đúng theo định nghĩa: hai mặt phẳng được gọi là song song khi chúng không có điểm chung. Đáp án khớp với mã đề 101, câu 9: D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $BC$ nên $MN\parallel AC$ mà $AC\subset (SAC)$, $MN\not\subset (SAC)$, do đó $MN\parallel (SAC)$. Trong tam giác $SAB$, $M$, $K$ lần lượt là trung điểm $AB$, $SB$ nên $MK\parallel SA$ mà $SA\subset (SAC)$, $MK\not\subset (SAC)$, do đó $MK\parallel (SAC)$. Hai đường thẳng cắt nhau $MN$ và $MK$ cùng nằm trong $(MNK)$ và cùng song song với $(SAC)$, nên $(MNK)\parallel (SAC)$. Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1111, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAD$: $M$ trung điểm $SA$, $N$ trung điểm $SD$ nên $MN\parallel AD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, suy ra $MN\parallel BC$ với $BC\subset (SBC)$. Trong tam giác $SBD$: $O$ là tâm hình bình hành nên là trung điểm $BD$, $N$ là trung điểm $SD$, do đó $NO$ là đường trung bình của tam giác $SBD$, tức $NO\parallel SB$ với $SB\subset (SBC)$. Hai đường thẳng cắt nhau $MN,NO$ thuộc $(MNO)$ lần lượt song song với $BC,SB$ cùng thuộc $(SBC)$, nên $(MNO)\parallel (SBC)$. Kết quả trùng đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì nếu $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với $(Q)$ thì $(P)$ vuông góc với $(Q)$ (định lý về dấu hiệu mặt phẳng vuông góc), không song song. B sai vì chỉ cần một trong hai đường $a$ hoặc $b$ song song với $(Q)$ thì chưa đủ để kết luận $(P)\parallel (Q)$ (đường thẳng còn lại có thể cắt $(Q)$). C sai vì $(P)$ chứa $a\parallel (Q)$ thì $(P)$ có thể song song hoặc cắt $(Q)$. D đúng theo định lý: nếu $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a,b$ và $a,b$ cùng song song với $(Q)$ thì $(P)\parallel (Q)$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAD$, $M,N$ là trung điểm $SA,SD$ nên $MN\parallel AD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, suy ra $MN\parallel BC$. Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành) nên $MO\parallel SC$. Vậy $(OMN)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MN\parallel BC$ và $MO\parallel SC$, do đó $(OMN)\parallel (SBC)$. Đáp án khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$: $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành), $M$ là trung điểm $SA$ nên $OM$ là đường trung bình, suy ra $OM\parallel SC$. Trong tam giác $SAD$: $M,N$ là trung điểm $SA,SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AD\parallel BC$. Vì $OM\parallel SC\subset (SBC)$, $MN\parallel BC\subset (SBC)$ và $OM,MN$ cắt nhau tại $M$ không nằm trong $(SBC)$, theo định lý về hai mặt phẳng song song ta có $(OMN)\parallel (SBC)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định trong không gian:
- A sai: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau, song song hoặc chéo nhau (ví dụ trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh $AB$, $BC$, $A^{\prime }{D}^{\prime }$, $D^{\prime }{C}^{\prime }$ đều vuông góc với $B{B}^{\prime }$ nhưng không song song với nhau).
- B sai: theo định nghĩa, hai đường thẳng vuông góc với nhau là hai đường thẳng cắt nhau và góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$ (hoặc hai đường chéo nhau có góc giữa bằng $90^{\circ }$ — khi đó ta nói chúng vuông góc, nhưng khẳng định B nói 'vuông góc với nhau' theo nghĩa cắt nhau thì không thể chéo nhau; thực tế hai đường thẳng vuông góc thì phải cắt nhau tại một điểm, không thể chéo nhau theo định nghĩa chuẩn của SGK).
- C đúng: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Đây là hệ quả của tính chất: nếu một đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
- D sai: hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau.
Vậy khẳng định đúng là C.

Nguồn in gốc có hai phương án cùng nhãn C; phương án thứ hai ("chéo với đường thẳng đó") nhiều khả năng là D nhưng giữ nguyên theo nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng phân biệt hoặc song song hoặc cắt nhau theo một giao tuyến, nên khẳng định A đúng. B sai vì hai đường thẳng song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng chưa đủ để kết luận hai mặt phẳng song song (chúng có thể cắt nhau). C sai vì hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng có thể cắt nhau (ví dụ hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đó). D sai vì hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng song song có thể chéo nhau, không nhất thiết song song với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với hai mặt phẳng song song $(P)\parallel (Q)$:
- A đúng: đây là tính chất bắc cầu của quan hệ song song giữa các mặt phẳng phân biệt.
- B đúng: nếu đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại một điểm thì điểm đó thuộc $(Q)$ hoặc không. Nếu $d$ không cắt $(Q)$ thì $d\parallel (Q)$ hoặc $d\subset (Q)$; nhưng nếu $d\subset (Q)$ thì vì $(Q)\parallel (P)$ nên $d\parallel (P)$, mâu thuẫn với $d$ cắt $(P)$. Vậy $d$ cắt $(Q)$.
- C đúng: nếu mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $(P)$ thì $(\alpha )$ không song song với $(P)$, do đó không song song với $(Q)$ (vì $(Q)\parallel (P)$), và $(\alpha )$ không trùng $(Q)$ (vì nếu $(\alpha )\equiv (Q)$ thì $(\alpha )\parallel (P)$, mâu thuẫn). Vậy $(\alpha )$ cắt $(Q)$.
- D sai: đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song có thể nằm trong mặt phẳng còn lại. Ví dụ: $d\subset (Q)$ và $d\parallel (P)$ thì $d$ song song với $(P)$ nhưng $d$ không song song với $(Q)$ vì $d$ nằm trong $(Q)$.
Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $(P)\parallel (Q)$ thì mọi đường thẳng $a\subset (P)$ không có điểm chung với $(Q)$, do đó $a\parallel (Q)$ (định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng). Vậy A đúng.

B sai: hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng song song có thể chéo nhau (ví dụ $AB$ và $C{C}^{\prime }$ trong hình hộp).

C sai: hai đường thẳng song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt chưa đủ để kết luận hai mặt phẳng song song (chỉ có một cặp đường thẳng song song, hai mặt phẳng có thể cắt nhau).

D sai: qua một điểm ngoài mặt phẳng có vô số đường thẳng song song với mặt phẳng đó (mọi đường thẳng trong mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm đó, với $(\alpha )\parallel (P)$); chỉ có duy nhất một mặt phẳng qua điểm đó song song với $(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(\alpha )\parallel (\beta )$ nên hai mặt phẳng không có điểm chung. Do đó đường thẳng $a\subset (\alpha )$ và $b\subset (\beta )$ không thể có điểm chung (nếu chung điểm thì điểm đó thuộc cả $(\alpha )$ và $(\beta )$, mâu thuẫn). Tuy nhiên $a$ và $b$ có thể song song hoặc chéo nhau, nên khẳng định chắc chắn đúng là $a$, $b$ không có điểm chung. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: ta có $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (vì $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ do $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành) nên $BD\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Ta cũng có $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ nên $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$, suy ra $B{C}^{\prime }\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai đường thẳng $BD$ và $B{C}^{\prime }$ cắt nhau tại $B$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(B{C}^{\prime }D)$, đồng thời chúng song song với $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, mặt khác hai mặt phẳng này không trùng nhau. Vậy $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (B{C}^{\prime }D)$. Các phương án khác: $(BC{A}^{\prime })$ cắt $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ tại... thực tế $A^{\prime }$ không tạo được cặp đường thẳng song song tương ứng; $(A^{\prime }{C}^{\prime }C)$ chứa $C{C}^{\prime }$ cắt các đường thẳng của $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$; $(BD{A}^{\prime })$ chứa $A^{\prime }$ với $A^{\prime }B$ không song song với đường nào trong $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ một cách đầy đủ. Đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề của Câu 50:
- A đúng: nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng cắt nhau theo một giao tuyến, gồm vô số điểm chung.
- B đúng: tính bắc cầu của quan hệ song song với mặt phẳng.
- C sai: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau, ví dụ hai cạnh của hình lập phương nằm trên hai mặt phẳng đối diện cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chéo nhau.
- D đúng: nếu đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó không thể song song hoặc nằm trong mặt phẳng còn lại, nên nó cắt mặt phẳng còn lại.
Vậy mệnh đề Sai là C.