Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J,E,F$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,SC,SD$ nên trong tam giác $SAB$, $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$; tương tự $JE\parallel BC$, $EF\parallel CD$, $FI\parallel DA$. Do đó bốn đường thẳng $IJ,JE,EF,FI$ lần lượt song song với các đường thẳng $AB,BC,CD,DA$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$. Mặt khác $IJ,JE,EF,FI$ không nằm trong $(ABCD)$. Theo định lý về mặt phẳng song song, mặt phẳng $(IJEF)$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$. Các phương án B, C, D đều sai vì $(SIJ)\equiv (SAB)$, $(SAC)$, $(SBD)$ đều cắt $(IJEF)$ (chúng có điểm chung với các đường thẳng $IJ,EF,JE,FI$ hoặc giao nhau theo đường trung bình tương ứng). Đáp án khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $IJ\parallel AB$. Tương tự, $E,F$ là trung điểm $SC,SD$ nên $EF\parallel DC$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $IJ\parallel EF$ (bốn điểm $I,J,E,F$ đồng phẳng). Ta có: $IJ\parallel AB$ với $AB\subset (ABCD)$, $IJ\not\subset (ABCD)$ nên $IJ\parallel (ABCD)$; tương tự $EF\parallel DC\subset (ABCD)$, $EF\not\subset (ABCD)$ nên $EF\parallel (ABCD)$. Mặt phẳng $(IJEF)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $IJ$ và $EF$ cùng song song với $(ABCD)$, do đó $(IJEF)\parallel (ABCD)$. Các mặt phẳng $(SIJ),(SAC),(SBD)$ đều cắt $(IJEF)$ (chung điểm $S$ hoặc các điểm $I,J,E,F$), nên không song song. Vậy đáp án là $(ABCD)$, khớp với đáp án nguồn B.

Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $IA=2IM\Rightarrow \frac{IA}{IM}=2$. Ta có $IJ\parallel SM$ nên $\frac{JA}{JS}=\frac{IA}{IM}=2$.

Ta có $(A{A}_1{D}_1)\subset (A{A}_1{D}_{1}D)$ và $(BC{C}_1)\subset (B{B}_1{C}_{1}C)$. Vì $(A{A}_1{D}_{1}D)\parallel (B{B}_1{C}_{1}C)$ nên $(A{A}_1{D}_1)\parallel (BC{C}_1)$. Chọn đáp án (D). (Lưu ý: lập luận trong lời giải gốc chỉ ra $(BC{C}_1)$ — ứng với phương án (C) — nhưng nguồn ghi rõ "Chọn đáp án (D)", giữ nguyên theo nguồn.)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ chính là mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$. Ta có $AB\parallel DC$ và $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ (do $ABCD$ và $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ là các hình bình hành), nên hai mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ và $(DC{D}^{\prime })$ lần lượt chứa hai cặp đường thẳng song song và không trùng nhau, do đó chúng song song với nhau. Các phương án khác sai vì: $(AD{D}^{\prime })$ cắt $(AB{A}^{\prime })$ theo giao tuyến $A{A}^{\prime }$; $(B{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ chính là mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ (trùng nhau); $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ cắt $(AB{A}^{\prime })$ theo giao tuyến $A{A}^{\prime }$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án của đề (mã đề 101, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, hai mặt đáy $(ABCD)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ song song với nhau vì $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$, $AD\parallel A^{\prime }{D}^{\prime }$ (các cặp cạnh tương ứng của hình hộp song song). Các phương án còn lại đều là các mặt bên cắt mặt $(ABCD)$ nên không song song. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ba mâm tầng $(ABCD)$, $(IJKL)$, $(EFGH)$ song song với nhau, nên các cạnh bên $AE$ và $CG$ bị các mặt phẳng song song chia theo cùng một tỉ số (định lý Thales trong không gian). Vì $EI=20cm$ và $EA=120cm$, mặt phẳng $(IJKL)$ chia đoạn $CG$ theo tỉ số $\frac{GK}{GC}=\frac{EI}{EA}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$. Suy ra $GK=\frac{1}{6}\cdot 150=25cm$, do đó $KC=CG-GK=150-25=125cm$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: Phép chiếu song song theo phương $A{A}^{\prime }$ lên $(ABCD)$ biến $C^{\prime }$ thành $C$ (vì $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$), chứ không biến $C$ thành $C^{\prime }$. b) Đúng: Trong hình hộp, $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ nên $AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $AC\not\subset (B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$, suy ra $AC\parallel (B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$. c) Đúng: Ta có $AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$ với $A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$, $AC\subset (AC{D}^{\prime })$; mặt khác $B{A}^{\prime }\parallel C{D}^{\prime }$ (do vectơ $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{D}^{\prime }}$ trong hình hộp) với $C{D}^{\prime }\subset (AC{D}^{\prime })$, $B{A}^{\prime }\subset (B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$. Hai mặt phẳng $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(AC{D}^{\prime })$ lần lượt chứa hai cặp đường thẳng cắt nhau lần lượt song song nên chúng song song. d) Sai: Mặt phẳng $(B^{\prime }AC)$ chứa $AC$, mặt phẳng $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ chứa $A^{\prime }{C}^{\prime }$ với $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và $AC$ không nằm trong $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$. Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng song song với $AC$ (và $A^{\prime }{C}^{\prime }$), chứ không song song với $A{D}^{\prime }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu theo phương $A{A}^{\prime }$ lên $(ABCD)$ biến $C^{\prime }$ thành $C$ (do $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$), không biến $C$ thành $C^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$, $A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$, $AC\not\subset (B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $AC\parallel (B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B{A}^{\prime }\parallel C{D}^{\prime }$ (vectơ bằng nhau trong hình hộp), hai cặp đường thẳng cắt nhau lần lượt song song nên $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (AC{D}^{\prime })$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(B^{\prime }AC)$ chứa $AC$, $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ chứa $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$, $AC\not\subset (B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên giao tuyến song song với $AC$, không song song với $A{D}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P)\parallel (Q)$. Xét từng mệnh đề: A đúng theo tính chất giao tuyến của mặt phẳng thứ ba với hai mặt phẳng song song. C đúng: đường thẳng $a\subset (P)$ thì $a$ không có điểm chung với $(Q)$ nên $a\parallel (Q)$. D đúng: nếu $a$ cắt $(P)$ mà $a$ không cắt $(Q)$ thì $a\parallel (Q)$ hoặc $a\subset (Q)$, khi đó $a$ không cắt $(P)$, mâu thuẫn. B sai: nếu $a\subset (P)$ và $b\subset (Q)$ thì $a$ và $b$ có thể chéo nhau (không song song, không cắt nhau), ví dụ $a$ không song song với hình chiếu của $b$ lên $(P)$. Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SA$, $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $AC$. Suy ra $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, do đó $OM\parallel SC$. Mặt khác $MN$ là đường trung bình tam giác $SAD$ nên $MN\parallel AD\parallel CD$. Vì $OM\parallel SC$, $MN\parallel CD$, $OM$ và $MN$ cắt nhau, $SC$ và $CD$ cắt nhau và cùng nằm trong $(SCD)$, nên theo định lý về mặt phẳng song song, $(OMN)\parallel (SCD)$. Đáp án D.

Lời giải (do AI solution agent cung cấp, không có trong nguồn; đáp án 15.9 khớp với bảng đáp án chính thức mã đề 1102, Phần III, Câu 4 ở trang 9): Vì $(\alpha )\parallel (A^{\prime }BC)$ và $A^{\prime }H=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }$, theo định lý Thales trong không gian, mặt phẳng $(\alpha )$ cắt các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ tại các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ là trung điểm của các cạnh này.
- $MQ$ là giao tuyến của $(\alpha )$ với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $MQ\parallel BC$ và $MQ=\frac{1}{2}BC=3,5dm$.
- $NP$ nối trung điểm của $B{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ nên $NP\parallel BC$ và $NP=BC=7dm$.
Vậy $MNPQ$ là hình thang có hai đáy $MQ=3,5dm$ và $NP=7dm$.
Đường cao của hình thang bằng khoảng cách từ $M$ đến $NP$: vì $MN=\frac{1}{2}{A}^{\prime }B=3,5dm$ và góc giữa $A^{\prime }B$ với $BC$ bằng $60^{\circ }$ (tam giác đều $A^{\prime }BC$), nên $h=MN\cdot \sin 60^{\circ }=3,5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{4}dm$.
Diện tích tứ giác $MNPQ$ là:
$$S=\frac{1}{2}(MQ+NP)\cdot h=\frac{1}{2}(3,5+7)\cdot \frac{7\sqrt{3}}{4}=\frac{73,5\sqrt{3}}{8}\approx 15,91d{m}^2.$$
Kết quả làm tròn đến hàng phần chục: $S\approx 15,9d{m}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ và $BA\parallel CD$ (vì $ABCD$ là hình bình hành). Do đó hai mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(B{B}^{\prime }{A}^{\prime }A)$ lần lượt chứa hai cặp đường thẳng song song phân biệt, nên chúng song song với nhau. Các phương án khác: A trùng với mặt phẳng đã cho; B và D cắt $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ theo giao tuyến $BD$ và $DA$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1102: câu 6 là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\parallel DC$ và $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $A{A}^{\prime }$ lần lượt song song với $DC$ và $D{D}^{\prime }$ cùng nằm trên mặt phẳng $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Theo tính chất hai mặt phẳng song song, suy ra $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, tức là $(C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1101 (câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $B^{\prime }(1;0;1)$, $C^{\prime }(1;1;1)$, $D^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó $M(0;0,5;0)$, $N(1;0,5;0)$, $P(1;1;0,5)$.
a) Đúng. $MN$ là đường trung bình của $ABCD$ nên $MN\parallel AB\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$; $NP$ là đường trung bình tam giác $BC{C}^{\prime }$ nên $NP\parallel B{C}^{\prime }$. Hai đường $MN,NP$ cắt nhau tại $N$ và lần lượt song song với $D^{\prime }{C}^{\prime },B{C}^{\prime }$ cùng nằm trong mặt phẳng $(B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, do đó $(MNP)\parallel (B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.
b) Đúng. $MN\parallel AB$ và $AB\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$ (tính chất hình hộp) nên $MN\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$.
c) Sai. Đường thẳng $NP$ đi qua $N(1;0,5;0)$ có vectơ chỉ phương $(0;1;1)$, nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $x=1$. Đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ với $y=0,z=1$. Giải $y=0$ cho $t=-1$ thì $z=-0,5\ne 1$, nên $NP$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ không có điểm chung và không song song, tức là chéo nhau. Khẳng định '$NP$ cắt $A^{\prime }{B}^{\prime }$' là sai.
d) Đúng. Mặt phẳng $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ là mặt phẳng $x=0$ với pháp tuyến $(1;0;0)$. Đường thẳng $NP$ nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $x=1$ (không thuộc $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$) và có vectơ chỉ phương $(0;1;1)$ vuông góc với pháp tuyến $(1;0;0)$, nên $NP\parallel (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)Đ - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và $NP\parallel B{C}^{\prime }$ (hai cặp đường trung bình), hai đường này cắt nhau tại $N$ nên $(MNP)\parallel (B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình của $ABCD$ nên $MN\parallel AB\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$NP$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ chéo nhau (không có điểm chung, không song song), nên khẳng định '$NP$ cắt $A^{\prime }{B}^{\prime }$' là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$NP$ nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $x=1$, có vectơ chỉ phương $(0;1;1)$ vuông góc với pháp tuyến $(1;0;0)$ của $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ (mặt phẳng $x=0$), nên $NP\parallel (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(\alpha )\parallel (A^{\prime }BC)$ đi qua $H$ với $A^{\prime }H=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }$, mặt phẳng $(\alpha )$ cắt các cạnh bên của lăng trụ tại các điểm có cùng tham số $t=\frac{1}{2}$ theo phương cạnh bên. Do đó $M,Q$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime }$; $N,P$ là trung điểm của $B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$. Chiếu theo phương cạnh bên về mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$: $MQ\parallel BC$ với $MQ=\frac{1}{2}{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{1}{2}$; $NP\parallel BC$ với $NP=BC=1$; $MN$ là đường trung bình tam giác $A^{\prime }B{B}^{\prime }$ nên $MN=\frac{1}{2}{A}^{\prime }B=\frac{1}{2}$; tương tự $PQ=\frac{1}{2}{A}^{\prime }C=\frac{1}{2}$. Vậy $MNPQ$ là hình thang cân với hai đáy $MQ=\frac{1}{2}$, $NP=1$ và hai cạnh bên bằng $\frac{1}{2}$. Đường cao của hình thang: $h=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1-1/2}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Diện tích: $S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+1\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{16}\approx 0.3248\approx 0.32m^2$. Kiểm tra lại bằng tích có hướng hai đường chéo: $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{NQ}$ có độ lớn $\frac{3\sqrt{3}}{8}$, suy ra $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{16}\approx 0.32$, khớp với đáp án nguồn 0.32.

$A^{\prime }{A}_1=4A{A}_1$ và $A{A}^{\prime }=60$ cm, nên $A{A}_1=12cm$. Trong mặt phẳng (A'D'DA), $H=A{Q}_1\cap D{D}^{\prime }\Rightarrow H=D{D}^{\prime }\cap (A{F}_1{C}_1)$. Do $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ cắt $(A_1{F}_1{D}_1{C}_1)\parallel (ABCDEF)$ lần lượt $A_1{D}_1,AD$ nên $A_1{D}_1//AD$. $A{A}_1//D{D}_1\Rightarrow A{A}_1{D}_{1}D$ là hình bình hành. Do đó $A{A}_1=D_{1}D=12cm$ (0,25 điểm). Mà $O{O}_1//D_{1}D$, O là trung điểm AD nên $DH=2D_{1}D=24cm$. Do đó $D^{\prime }H=60-24=36cm$. Vậy $D^{\prime }H=36$ cm. [Hình cần kiểm tra lại: p9_f2] (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ (vì $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành) nên $BD\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Mặt khác, $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ (vì tứ giác $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$ có $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ do $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ và $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ theo tính chất hình hộp: $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ vì $A^{\prime }B$ và $D^{\prime }C$ lần lượt song song với $AB$ và $DC$... chính xác hơn: $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ do $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$ là hình bình hành vì $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }=BC$). Suy ra $A^{\prime }B\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $A^{\prime }B$ trong mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ cùng song song với mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, do đó $(A^{\prime }BD)\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Các phương án khác đều sai vì: $(B{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(D{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ đều chứa đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ song song với $BD$ nhưng cắt $(A^{\prime }BD)$ (chung hướng, thực chất $(D{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ chứa $D$ thuộc $(A^{\prime }BD)$ nên cắt nhau); $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ cắt $(A^{\prime }BD)$ vì chung tính chất không song song (chúng có giao tuyến). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án của đề (đề 102, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, tứ giác $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình bình hành (vì $AB\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và $AB=D^{\prime }{C}^{\prime }$) nên $A{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }C$. Tương tự, tứ giác $AD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ là hình bình hành nên $A{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }C$. Xét mặt phẳng $(C^{\prime }BD)$: đường thẳng $A{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }C$ với $D^{\prime }C\subset (C^{\prime }BD)$, $A{B}^{\prime }\not\subset (C^{\prime }BD)$ nên $A{B}^{\prime }\parallel (C^{\prime }BD)$; đường thẳng $A{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }C$ với $B^{\prime }C\subset (C^{\prime }BD)$, $A{D}^{\prime }\not\subset (C^{\prime }BD)$ nên $A{D}^{\prime }\parallel (C^{\prime }BD)$. Hai đường thẳng $A{B}^{\prime },A{D}^{\prime }$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, do đó $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (C^{\prime }BD)$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu: A sai vì hai mặt phẳng có ba điểm chung không nhất thiết trùng nhau (ba điểm có thể thẳng hàng, hoặc hai mặt phẳng cắt nhau theo đường thẳng đi qua ba điểm đó). B đúng theo định nghĩa: hai mặt phẳng song song nếu chúng không có điểm chung. C sai vì hai đường thẳng $a,b$ trong $(P)$ có thể cắt nhau hoặc song song; nếu $a,b$ cắt nhau và cùng song song với $(Q)$ thì $(P)\parallel (Q)$, nhưng nếu $a,b$ song song với nhau thì chưa đủ điều kiện. D sai vì qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước chỉ có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. Vậy phát biểu đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AE=3EM$ nên $AE=\frac{3}{4}AM$, tức $\frac{AE}{AM}=\frac{3}{4}$. Tương tự $AF=3FN$ nên $\frac{AF}{AN}=\frac{3}{4}$. Trong tam giác $AMN$ (với $D$ thuộc đường thẳng qua $N$), xét tam giác $AMN$: hai điểm $E\in AM$, $F\in AN$ thỏa $\frac{AE}{AM}=\frac{AF}{AN}=\frac{3}{4}$, do đó $EF\parallel MN$ và $EF=\frac{3}{4}MN$. Vì $M,N$ là trung điểm của $BC,CD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD$, suy ra $MN=\frac{1}{2}BD$. Vậy $EF=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}BD=\frac{3}{8}BD$, do đó $\frac{BD}{EF}=\frac{8}{3}\approx 2,67$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 2,67.