Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên từng khoảng; chỉ cần xét tại $x=4$. Với $x>4$: ${\lim }_{x\to 4^{+}}\frac{x^2-16}{x-4}={\lim }_{x\to 4^{+}}(x+4)=8$. Với $x\le 4$: $f(4)=4m+1$ và ${\lim }_{x\to 4^{-}}(mx+1)=4m+1$. Để hàm liên tục tại $x=4$ cần $4m+1=8\Rightarrow m=\frac{7}{4}$. Khi đó hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải.

Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-3}=\frac{\sqrt{8}-3}{1-3}=\frac{2\sqrt{2}-3}{-2}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$.

Giá trị bên trái: $f(1)=\frac{a+15}{4}$.

Điều kiện liên tục: $\frac{a+15}{4}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\Rightarrow a+15=6-4\sqrt{2}\Rightarrow a=-9-4\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Với $x\ne 3$: $f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x-3}=\frac{(x-3)(x+1)}{x-3}=x+1$, là hàm đa thức nên liên tục trên $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$. Tại $x=3$: ${\lim }_{x\to 3}f(x)={\lim }_{x\to 3}(x+1)=4=f(3)$, nên $f$ liên tục tại $x=3$. Kết luận: $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Với $x\ne 1$, $f(x)$ là hàm đa thức (hoặc hàm tuyến tính) nên liên tục trên $(-\infty ;1)$ và $[1;+\infty )$. Chỉ cần xét tại $x=1$:
- $f(1)=1^3+1+1=3$.
- ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x^3+x+1)=3$.
- ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(2x+4)=6$.
Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$ nên $f$ không có giới hạn tại $x=1$, do đó $f$ không liên tục tại $x=1$. Kết luận: $f$ liên tục trên $(-\infty ;1)\cup [1;+\infty )$ và gián đoạn tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: bên trái $x=0$ là nhánh parabol đi xuống chạm gốc tọa độ (tiếp xúc ngang, hệ số góc trái bằng 0), bên phải $x=0$ là đường thẳng đi qua gốc với hệ số góc 1. Về tính liên tục: ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)=0$ nên hàm số liên tục tại $x=0$. Về tính đạo hàm: $f_{-}^{\prime }(0)=0$ còn $f_{+}^{\prime }(0)=1$, vì $f_{-}^{\prime }(0)\ne f_{+}^{\prime }(0)$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x=0$ (đồ thị có điểm gãy góc tại gốc tọa độ). Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đồ thị tại $x=1$: Hình A là đường gãy khúc (dạng $|x-1|$) nhưng hai nhánh nối liền nhau tại điểm $(1;1)$, nên hàm liên tục tại $x=1$. Hình B là parabol, liên tục trên $\mathbb{R}$. Hình C là đường thẳng, liên tục. Hình D: tại $x=1$ đồ thị bị đứt đoạn — nhánh trái kết thúc tại điểm có tung độ $1$ (nét đứt) còn nhánh phải bắt đầu ở thấp hơn và cắt trục hoành tại $x=2$, tức giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=1$ khác nhau (gián đoạn loại nhảy), nên hàm số không liên tục tại $x=1$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<1$: $\frac{1-x^3}{1-x}=1+x+x^2$, do đó ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=1+1+1=3$. Với $x\ge 1$: $y=1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=f(1)=1$. Vì giới hạn trái $3\ne 1$ nên hàm không liên tục trái tại $x=1$, cũng không liên tục tại $x=1$ và không liên tục trên $\mathbb{R}$. Tuy nhiên giới hạn phải bằng $f(1)=1$ nên hàm liên tục phải tại $x=1$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x+2)-4}=\underset{x\to 2}{\lim }(\sqrt{x+2}+2)=2+2=4$.

Vì $f(2)=4=\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$ nên hàm số liên tục tại $x=2$ → chọn A.

Kiểm tra các phương án khác: B sai vì hàm liên tục; C sai vì $f(4)=\frac{4-2}{\sqrt{6}-2}=\frac{2(\sqrt{6}+2)}{2}=\sqrt{6}+2\ne 2$; D sai vì giới hạn bằng 4 chứ không phải 2.

(AI giải đề cho tôi)
a) $g(x)=\frac{2}{x-1}$ xác định tại $x=2$ với $g(2)=2$, và $\underset{x\to 2}{\lim }g(x)=\frac{2}{2-1}=2=g(2)$, nên $g$ liên tục tại $x_0=2$. Đúng.
b) Với $x\ne 2$: $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$. Đúng.
c) Vì $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4\ne 4,5=f(2)$ nên $f$ gián đoạn tại $x_0=2$. Sai.
d) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{4}{2}=2$ trong khi $\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{4,5}{2}=2,25\ne 2$, nên $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ gián đoạn tại $x_0=2$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$g(2)=2=\underset{x\to 2}{\lim }g(x)$ nên $g$ liên tục tại $x_0=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4\ne 4,5=f(2)$ nên $f$ gián đoạn tại $x_0=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{4}{2}=2$ trong khi $\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{4,5}{2}=2,25\ne 2$, nên $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ gián đoạn tại $x_0=2$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: Xét tính liên tục trên tập xác định.

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ là hàm đa thức, tập xác định $D=\mathbb{R}$. Hàm đa thức liên tục trên toàn trục thực, nên $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}=\frac{x^2}{x(x-3)}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$. Trên $D$, hàm là thương của hai hàm liên tục với mẫu khác 0, nên $f$ liên tục trên mọi khoảng của $D$, tức liên tục trên tập xác định của nó (điểm $x=0$ và $x=3$ không thuộc tập xác định nên không cần xét).

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Trên $D$, tử số $\sin x+1$ liên tục và mẫu $x+1\ne 0$, nên $f$ liên tục trên tập xác định của nó. (Tại $x=-1$ không thuộc tập xác định; lưu ý ${\lim }_{x\to -1}\frac{\sin x+1}{x+1}=\cos (-1)\approx 0,54$ tồn tại nhưng hàm không xác định tại đó.)

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$, tập xác định $D=[2;+\infty )$. Hàm $\sqrt{u}$ liên tục với $u\ge 0$ và $x-2$ liên tục, nên $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$: với mọi $x_0>2$ do hàm căn liên tục tại điểm dương; tại $x_0=2$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}=0=f(2)$, nên liên tục phải tại $x=2$. Vậy $f$ liên tục trên tập xác định $[2;+\infty )$.

Kết luận: cả bốn hàm số đều liên tục trên tập xác định của chúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{x}{2}& \text{khi }x\le 1\\ \frac{x^2-3x+2}{x^2-1}& \text{khi }x>1\end{array}$.

Trên $(-\infty ;1]$, $f(x)=-\frac{x}{2}$ là hàm đa thức nên liên tục. Trên $(1;+\infty )$, $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$ (với $x>1$ nên $x\ne 1$, mẫu khác 0) là hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên $(1;+\infty )$.

Chỉ cần xét tại $x=1$:
- $f(1)=-\frac{1}{2}$.
- Giới hạn trái: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-\frac{x}{2}\right)=-\frac{1}{2}$.
- Giới hạn phải: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x+1}=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2}$.

Vì $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=f(1)=-\frac{1}{2}$ nên hàm số liên tục tại $x=1$.

Kết luận: Hàm số liên tục trên tập xác định $\mathbb{R}$ (nói riêng liên tục tại $x=1$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2& \text{neˆˊu }x\le 1\\ mx+1& \text{neˆˊu }x>1\end{array}$.

Ta có:
- $f(1)=1^2+2=3$.
- Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(x^2+2)=3$.
- Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(mx+1)=m+1$.

Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$, tức là $m+1=3\Rightarrow m=2$.

Vậy $m=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty ;1)$, $(1;2)$, $(2;+\infty )$ với mọi $a,b$. Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, chỉ cần liên tục tại $x=1$ và $x=2$.

Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=3$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=a+b$, $f(1)=3$. Liên tục tại $x=1$ yêu cầu $a+b=3$.

Tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=2a+b$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=5$, $f(2)=5$. Liên tục tại $x=2$ yêu cầu $2a+b=5$.

Giải hệ $\{\begin{array}{l}a+b=3\\ 2a+b=5\end{array}$, trừ hai phương trình ta được $a=2$, suy ra $b=1$.

Vậy $a=2,b=1$ khi đó hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ (khi đó $f(x)=2x+1$ trên $(1;2)$, và ${\lim }_{x\to 1}f(x)=3=f(1)$, ${\lim }_{x\to 2}f(x)=5=f(2)$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ nên $g$ liên tục tại $x=1$ (vì $1\ne 0$). Hàm $h(x)=x$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $h(1)=1\ne 0$. Theo định lý về thương hai hàm số liên tục, $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{g(x)}{x}$ liên tục tại mọi điểm mà mẫu khác 0, do đó $f$ liên tục tại $x=1$. Cụ thể: $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\frac{\underset{x\to 1}{\lim }g(x)}{\underset{x\to 1}{\lim }x}=\frac{g(1)}{1}=f(1)$, tức điều kiện liên tục tại $x=1$ được thỏa mãn. Kết luận: $f(x)=\frac{g(x)}{x}$ liên tục tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=0$ khi ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)$, tức $0^2+2\cdot 0-24=4\cdot 0+m^2+3m-22$. Suy ra $m^2+3m-22=-24\iff m^2+3m+2=0\iff (m+1)(m+2)=0$, cho $m=-1$ hoặc $m=-2$. Tổng các giá trị là $-1+(-2)=-3$. Khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=0$ khi ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=f(0)$. Ta có ${\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+2x-24)=-24$ và ${\lim }_{x\to 0^{-}}(4x+m^2+3m-22)=m^2+3m-22=f(0)$. Điều kiện liên tục: $m^2+3m-22=-24\iff m^2+3m+2=0\iff (m+1)(m+2)=0\iff m=-1$ hoặc $m=-2$. Tổng các giá trị của $m$: $(-1)+(-2)=-3$. Khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1$. Khi đó $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }(x-1)=1$. Hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi $f(2)=m=\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=1$. Vậy $m=1$, chọn đáp án D.

Ta có $f(1)=3\cdot 1+m=m+3$.
${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2+2)}{x-1}={\lim }_{x\to 1}(x^2+2)=1^2+2=3$.
Để hàm số liên tục tại $x=1$ thì ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)⟺3=m+3⟺m=0$. Chọn A.

Ta có ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}\frac{2x}{x(x+1)(\sqrt{2x+1}+1)}={\lim }_{x\to 0}\frac{2}{(x+1)(\sqrt{2x+1}+1)}=1$. Để hàm số liên tục tại $x=0$ thì $f(0)={\lim }_{x\to 0}f(x)=1$. Chọn đáp án D.