Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\cos 2x$ có tập giá trị $[-1;1]$, nên loại phương án C, D (chứa giá trị $\pm 2$). Tính giá trị tại các điểm: $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\cos (-\pi )=-1$; $f(0)=\cos 0=1$; $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \pi =-1$; $f(\pi )=\cos 2\pi =1$; $f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\cos 3\pi =-1$. Xét đạo hàm $y^{\prime }=-2\sin 2x$: trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ có $\sin 2x<0$ nên $y^{\prime }>0$ (đồng biến từ $-1$ lên $1$); trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ có $\sin 2x>0$ nên $y^{\prime }<0$ (nghịch biến từ $1$ xuống $-1$); trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ có $\sin 2x<0$ nên $y^{\prime }>0$ (tăng từ $-1$ lên $1$); trên $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ có $\sin 2x>0$ nên $y^{\prime }<0$ (giảm từ $1$ xuống $-1$). Vậy bảng biến thiên: $y$ từ $-1$ tăng lên $1$ tại $x=0$, giảm xuống $-1$ tại $x=\frac{\pi }{2}$, tăng lên $1$ tại $x=\pi$, giảm xuống $-1$ tại $x=\frac{3\pi }{2}$. Đây đúng là bảng ở phương án A (khớp với hình trong tài liệu).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tại $x=0$ hàm đạt giá trị lớn nhất $y=2$; tại $x=\pm \pi$ hàm đạt giá trị nhỏ nhất $y=0$; tại $x=\frac{\pi }{2}$ có $y=1$. Kiểm tra các phương án: $y=\cos x+1$ cho $y(0)=2$, $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$, $y(\pi )=0$ — khớp hoàn toàn. $y=2-\sin x$ cho $y(0)=2$ nhưng $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$, $y\left(-\frac{\pi }{2}\right)=3$ (không đối xứng như đồ thị, min tại $\frac{\pi }{2}$ chứ không tại $\pi$). $y=2\cos x$ có giá trị nhỏ nhất $-2$, không khớp. $y={\cos }^{2}x+1$ có giá trị nhỏ nhất $1$ (tại $x=\frac{\pi }{2}$), không khớp. Vậy hàm số là $y=\cos x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (Câu 60): đồ thị đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$, đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ tại $x=\pm \pi$, cắt trục hoành tại $x=\pm \frac{\pi }{2}$, chu kỳ $2\pi$. Kiểm tra $y=\cos x$: $\cos 0=1$, $\cos (\pm \pi )=-1$, $\cos \left(\pm \frac{\pi }{2}\right)=0$ — khớp hoàn toàn. Loại A vì $1+\sin 2x$ dao động quanh $y=1$ với chu kỳ $\pi$; loại C vì $-\sin x$ có $y(0)=0$; loại D vì $-\cos x$ có $y(0)=-1$. Vậy đồ thị là hàm số $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cot 2x$ xác định khi $\sin 2x\ne 0$, tức $2x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kiểm tra các phương án khác: $y=\cot x$ có TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$; $y=\tan x$ có TXĐ $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}$; $y=\tan 2x$ có TXĐ $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right\}$. Đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2\sin x+1}{1-\cos x}$ xác định khi mẫu số khác 0: $1-\cos x\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-\cos x}{\sin x-1}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $\sin x\ne 1$. Giải $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi \right\}$, tương ứng với phương án D. Lưu ý: $\sin x=1$ chỉ xảy ra tại $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (không phải $+k\pi$), nên loại phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $\left[\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right]$ ta có $2x\in \left[\frac{\pi }{3};\pi \right]$, do đó $\sin 2x$ đạt giá trị lớn nhất bằng $1$ khi $2x=\frac{\pi }{2}$, tức $x=\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right]$. Vậy $m=3+2\cdot 1=5$. Kiểm tra các đáp án: A: $3<5<6$ đúng; B: $m^2=25\ne 16$; C: $4<5<5$ sai; D: $5\ne 3+\sqrt{3}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\in \left(\frac{5\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\right)$, hàm $y=\sin x$ giảm từ $\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (không đạt) xuống $-1$ tại $x=\frac{3\pi }{2}$ (thuộc khoảng, nên đạt được), rồi tăng trở lại tới $\sin \frac{7\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (không đạt). Vậy tập giá trị là $\left[-1;-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 90: a) $g(x)=\sin x$ là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$, nên mệnh đề 'hàm chẵn' sai. b) Hai đồ thị cắt nhau khi $\cos x=\sin x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$; trong $(0;2\pi )$ có $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{5\pi }{4}$, đúng hai điểm → đúng. c) $y=f(x)+g(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ nên GTLN bằng $\sqrt{2}$, không phải $2$ → sai. d) $y=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ đạt GTNN $-\sqrt{2}$ khi $x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\sin x$ là hàm lẻ vì $g(-x)=\sin (-x)=-\sin x=-g(x)$, không phải hàm chẵn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=\sin x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$; trong $(0;2\pi )$ có hai nghiệm $x=\frac{\pi }{4},x=\frac{5\pi }{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ nên GTLN bằng $\sqrt{2}\approx 1,41$, không phải $2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ đạt GTNN khi $x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\cos x$.
a) Vì $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x$, hàm số là hàm chẵn → đúng.
b) Trên khoảng $\left(-\frac{3\pi }{2};-\pi \right)$, $y^{\prime }=-\sin x$; tại $x=-\frac{5\pi }{4}$, $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến (đúng theo đồ thị: $\cos \left(-\frac{3\pi }{2}\right)=0$ giảm xuống $\cos (-\pi )=-1$) → sai.
c) Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $1$ tại $x=0$ (thuộc khoảng), không phải $0$ → sai.
d) $3\cos x-2=0\iff \cos x=\frac{2}{3}\iff x=\pm \arccos \frac{2}{3}+k2\pi$. Với $\arccos \frac{2}{3}\approx 0,84$, các nghiệm trong $(-2\pi ;2\pi )$ là $\pm 0,84$ và $\pm (2\pi -0,84)\approx \pm 5,44$, tất cả đều thuộc khoảng → đúng 4 nghiệm phân biệt.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (-x)=\cos x$ nên hàm số chẵn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\pi \right)$, $y^{\prime }=-\sin x<0$ (ví dụ tại $x=-\frac{5\pi }{4}$), hàm số nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất trên khoảng là $1$ tại $x=0$, không phải $0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=\frac{2}{3}$ có 4 nghiệm phân biệt $\pm \arccos \frac{2}{3}$ và $\pm \left(2\pi -\arccos \frac{2}{3}\right)$ đều thuộc $(-2\pi ;2\pi )$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (A) Sai vì $y=\cot x$ nghịch biến trên $(0;\pi )$ (đạo hàm $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$). (B) Đúng vì $y=\sin x$ đồng biến trên các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$, với $k=1$ ta được $\left(\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$. (C) Sai vì $y=\sin x$ đồng biến trên $(\pi ;2\pi )$ (tương ứng $\left(-\pi ;0\right)$ dịch chuyển). (D) Sai vì $y=\cos x$ đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ (đạo hàm $y^{\prime }=-\sin x>0$ trên khoảng này). Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5: Xét từng khẳng định. A đúng: $\tan x$ chu kì $\pi$, $\sin x$ chu kì $2\pi$ nên tổng có chu kì $2\pi$ (và $\tan (x+2\pi )+\sin (x+2\pi )=\tan x+\sin x$). B đúng: $\cos (x+2\pi )=\cos x$. C đúng: $\cot (x+\pi )+\tan (x+\pi )=\cot x+\tan x$, nên hàm tuần hoàn với chu kì $\pi$. D sai: $\sin (x+\pi )=-\sin x\ne \sin x$ (với $\sin x\ne 0$), nên $y=\sin x$ có chu kì cơ bản $2\pi$ chứ không phải $\pi$. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6: Xét từng khẳng định. A) $y=\sin x$ đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, mà $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right)\subset \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên $y=\sin x$ đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right)$, A sai. B) $y=\cos x$ nghịch biến trên $(2k\pi ;(2k+1)\pi )$, đặc biệt trên $(0;\pi )$. Vì $\left(\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right)\subset (0;\pi )$ nên $y=\cos x$ nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right)$, B đúng. C) $y=\sin x$ đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên không thể nghịch biến trên $\left(0;\frac{2\pi }{3}\right)$, C sai. D) $y=\tan x$ đồng biến trên mọi khoảng xác định của nó nên không nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right)$, D sai. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ thì $2x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Trên $(0;\frac{\pi }{2})$, hàm $\sin t$ đồng biến nên $y=-\sin 2x$ nghịch biến; hàm $\cos t$ nghịch biến nên $y=-1+\cos 2x$ cũng nghịch biến. Vậy cả hai hàm số đều nghịch biến, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn của từng hàm số:
- A: $f(x)=x\sin x$, $f(-x)=(-x)\sin (-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x)$, nên hàm chẵn.
- B: $y=\tan x$ là hàm lẻ vì $\tan (-x)=-\tan x$.
- C: $f(-x)=1-\sin (-x)=1+\sin x\ne f(x)$ và $\ne -f(x)$, hàm không chẵn không lẻ.
- D: $y=\cos x\sin x$ là hàm lẻ vì $\cos (-x)\sin (-x)=-\cos x\sin x$.
Vậy hàm số chẵn là $y=x\sin x$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\tan x}{\sin x-1}$ xác định khi $\tan x$ xác định và mẫu khác 0. Điều kiện $\tan x$ xác định: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Điều kiện mẫu khác 0: $\sin x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi$, đây là tập con của các điểm $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ nên không làm thay đổi kết quả. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{1-\cos x}+\cot x$ xác định khi $1-\cos x\ge 0$ (luôn đúng vì $\cos x\le 1$) và $\cot x$ xác định, tức $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ;k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có $y^{\prime }=\cos x$. Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ thì $\cos x>0$ nên hàm số đồng biến; trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ thì $\cos x<0$ nên hàm số nghịch biến. Do đó mệnh đề đúng là phương án D. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ hàm số nghịch biến; B sai vì trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số nghịch biến; C sai vì trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ hàm số đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
a) tan x xác định khi cos x ≠ 0, tức x ≠ π/2 + kπ, nên D = ℝ\{π/2 + kπ | k ∈ ℤ}: đúng. b) f(π/3) = tan(π/3) − π/3 = √3 − π/3; f(−π/3) = −√3 + π/3. Hai giá trị trái dấu nhau nên f(π/3) ≠ f(−π/3): sai. c) f(−x) = tan(−x) − (−x) = −tan x + x = −(tan x − x) = −f(x): đúng, hàm số lẻ. d) Vì f(−x) = −f(x) nên hàm số là hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O chứ không đối xứng qua trục Oy: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
tan x xác định khi cos x ≠ 0 ⟺ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ, nên D = ℝ\{π/2 + kπ | k ∈ ℤ}.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(π/3) = √3 − π/3 ≈ 0,685; f(−π/3) = −√3 + π/3 ≈ −0,685. Hai giá trị trái dấu nên f(π/3) ≠ f(−π/3).
c) (AI giải đề cho tôi)
f(−x) = tan(−x) + x = −tan x + x = −(tan x − x) = −f(x), hàm số là hàm lẻ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì f(−x) = −f(x), hàm số lẻ nên đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O, không đối xứng qua trục Oy.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f(x)=2\cos x+1$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$: đúng. b) $f(x+2\pi )=2\cos (x+2\pi )+1=2\cos x+1=f(x)$ với mọi $x$, nên $f$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$: đúng. c) $g(x)=\sin x+\tan x$ cần $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Đề phát biểu $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{3}+k\pi \right\}$ là sai (ví dụ $x=\frac{\pi }{2}$ thuộc tập theo đề nhưng $\tan \frac{\pi }{2}$ không xác định). d) $g(x+2\pi )=\sin (x+2\pi )+\tan (x+2\pi )=\sin x+\tan x=g(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, nên $g$ là hàm tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$; khẳng định '$g$ không tuần hoàn' là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2\cos x+1$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x+2\pi )=2\cos (x+2\pi )+1=f(x)$ với mọi $x$, nên $f$ tuần hoàn chu kỳ $2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x$ yêu cầu $\cos x\ne 0$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, không phải $\frac{\pi }{3}+k\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x+2\pi )=\sin x+\tan x=g(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, nên $g$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$.