Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua gốc tọa độ O và tại đó hàm số đồng biến (đi lên từ trái qua phải), đồng thời đồ thị đối xứng qua gốc O. Với $y=\sin x$: $\sin 0=0$ và đạo hàm $\cos 0=1>0$ nên tại $x=0$ hàm đồng biến, đồ thị đi qua gốc và đi lên — khớp với hình vẽ. $y=-\sin x$ đi qua gốc nhưng nghịch biến tại đó; $y=\cos x$ và $y=-\cos x$ đi qua điểm $(0;\pm 1)$ chứ không qua gốc. Vậy đồ thị là của hàm số $y=\sin x$.

(AI giải đề cho tôi)
a) sin x và cos x đều tuần hoàn với chu kì cơ bản $T=2\pi$, nên ý a đúng. b) $g\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x=f(x)\ne -f(x)$, nên ý b sai. c) $\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, ý c đúng. d) $f(x)-g(x)=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ có giá trị lớn nhất bằng $\sqrt{2}<\sqrt{3}$, nên phương trình vô nghiệm, ý d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ và $\cos x$ đều tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x=f(x)$, không phải $-f(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$, không đạt giá trị $\sqrt{3}$ nên vô nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu II/Câu 2: a) Sai vì sin x và cos x có chu kì cơ bản T=2π, không phải π. b) Đúng vì cos(π/2 − x)=sin x=f(x). c) Đúng vì sin x=cos x ⇔ tan x=1 ⇔ x=π/4+kπ, k∈Z. d) Đúng vì f(x)−g(x)=sin x−cos x=√2·sin(x−π/4) có giá trị lớn nhất bằng √2, nên phương trình √2·sin(x−π/4)=√2 có nghiệm (x=π/2+kπ).
a) (AI giải đề cho tôi)
sin x và cos x tuần hoàn với chu kì cơ bản T=2π, không phải T=π.
b) (AI giải đề cho tôi)
g(π/2−x)=cos(π/2−x)=sin x=f(x).
c) (AI giải đề cho tôi)
sin x=cos x ⇔ tan x=1 ⇔ x=π/4+kπ, k∈Z.
d) (AI giải đề cho tôi)
sin x−cos x=√2 sin(x−π/4) có giá trị lớn nhất √2, nên phương trình luôn có nghiệm x=π/2+kπ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{4\cos x+5}{\sqrt{2}\sin 3x+1}$ xác định khi mẫu số khác 0: $\sqrt{2}\sin 3x+1\ne 0\iff \sin 3x\ne -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ta có $\sin 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\iff 3x=-\frac{\pi }{4}+2k\pi$ hoặc $3x=\frac{5\pi }{4}+2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$), tức $x=-\frac{\pi }{12}+\frac{2k\pi }{3}$ hoặc $x=\frac{5\pi }{12}+\frac{2k\pi }{3}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{12}+\frac{2k\pi }{3},\frac{5\pi }{12}+\frac{2k\pi }{3}|k\in \mathbb{Z}\right\}$. (Tử số $4\cos x+5$ luôn dương vì $4\cos x+5\ge -4+5=1>0$, không gây thêm điều kiện.)

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát đồ thị: tại $x=0$ hàm số đạt giá trị $-1$ (điểm thấp nhất), tại $x=\pm \pi$ đạt giá trị $1$ (đỉnh). Kiểm tra các phương án: $y=\cos x$ có $\cos 0=1$ (loại D); $y=|\cos x|\ge 0$ với mọi $x$ (loại B); $y=\cos |x|=\cos x$ vì $\cos$ là hàm chẵn nên trùng đồ thị của D (loại C). Hàm $y=-\cos x$ có $-\cos 0=-1$, $-\cos (\pm \pi )=1$, khớp hoàn toàn với đồ thị. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$, đạt giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x=-\pi$ và $x=\pi$, đạt giá trị lớn nhất $1$ tại $x=2\pi$, dao động trong $[-1;1]$ với chu kì $2\pi$. Kiểm tra $y=\cos x$: $\cos 0=1$, $\cos (-\pi )=\cos \pi =-1$, $\cos 2\pi =1$ — khớp hoàn toàn. Các hàm còn lại: $y=\sin x$ có $\sin 0=0$; $y=1-\sin x$ và $y=1+\sin x$ có giá trị tại $x=\pi$ bằng $1$ hoặc $2$ và dao động trong $[0;2]$ — không khớp. Vậy đáp án là $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2{\sin }^{2}x-5=1-\cos 2x-5=-\cos 2x-4$. a) Chu kì của $-\cos 2x$ là $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$, nên hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$ chứ không phải $2\pi$ → Sai. b) $f(-x)=2{\sin }^2(-x)-5=2{\sin }^{2}x-5=f(x)$ với mọi $x$, nên hàm số chẵn → Đúng. c) $f(x)=-\cos 2x-4$ đạt giá trị lớn nhất bằng $-3$ khi $\cos 2x=-1\iff 2x=\pi +2k\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ → Đúng. d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-4-1=-5$ (khi $\cos 2x=1$), không phải $-3$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)=-\cos 2x-4$ nên chu kì cơ bản là $T=\pi$, không phải $2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=2{\sin }^2(-x)-5=2{\sin }^{2}x-5=f(x)$, nên hàm số chẵn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-\cos 2x-4$ lớn nhất bằng $-3$ khi $\cos 2x=-1\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất là $-4-1=-5$, không phải $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $p(t)=120+15\cos 150\pi t$ có $\omega =150\pi$, chu kì $T=\frac{2\pi }{150\pi }=\frac{1}{75}$ phút, nên khẳng định a (chu kì $\frac{\pi }{75}$) sai. Tại $t=0$: $p(0)=120+15\cos 0=135$ mmHg, nên khẳng định b sai. Giá trị lớn nhất $p_{\max }=120+15=135$ mmHg (đúng), giá trị nhỏ nhất $p_{\min }=120-15=105$ mmHg (đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì $T=\frac{2\pi }{150\pi }=\frac{1}{75}$ phút, không phải $\frac{\pi }{75}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$p(0)=120+15\cos 0=135$ mmHg, không phải 120 mmHg.
c) (AI giải đề cho tôi)
Huyết áp cao nhất $=120+15=135$ mmHg.
d) (AI giải đề cho tôi)
Huyết áp thấp nhất $=120-15=105$ mmHg.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất $h_{max}=m+a=12$ (khi $\cos \frac{\pi t}{12}=1$, tức $t=0$ hoặc $t=24$, phù hợp đồ thị). Mực nước thấp nhất $h_{min}=m-a=8$ (khi $t=12$). Vậy $T=m+a=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ xác định khi $2x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $2x\ne \frac{\pi }{6}+k\pi$, suy ra $x\ne \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot \left(3x+\frac{\pi }{2}\right)$ xác định khi $3x+\frac{\pi }{2}\ne k\pi$, tức $3x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi$, suy ra $x\ne -\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x-1}{\tan x}$ xác định khi và chỉ khi $\tan x$ xác định, tức $\cos x\ne 0$, suy ra $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Chọn A.

Chọn D. Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;1)$, nhận trục tung làm trục đối xứng và có chu kỳ $2\pi$, đây là đồ thị hàm số $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2}{\cos x+1}$ xác định khi $\cos x+1\ne 0$, tức $\cos x\ne -1$. Điều này xảy ra khi $x=\pi +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=f(x)=\cos x+{\sin }^{2}x$, tập xác định $\mathbb{R}$. Ta có $f(-x)=\cos (-x)+{\sin }^2(-x)=\cos x+{\sin }^{2}x=f(x)$, nên hàm số chẵn. Chu kỳ: $\cos x$ có chu kỳ $2\pi$, ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ có chu kỳ $\pi$, nên chu kỳ chung là $T=2\pi$ (vì với $T=\pi$, $\cos (x+\pi )=-\cos x\ne \cos x$ nói chung). Vậy hàm số chẵn, chu kỳ $T=2\pi$.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số $y=\cos x$ là $\mathbb{R}$.

b) Sai. Tập giá trị của hàm số là đoạn $[-1;1]$, không phải khoảng $(-1;1)$.

c) Sai. Phương trình $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ có hai họ nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$, mệnh đề thiếu họ nghiệm $-\frac{\pi }{4}+k2\pi$.

d) Đúng. Với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ (góc phần tư thứ nhất), ta luôn có $\cos x>0$.
a) Đúng. Tập xác định của hàm số $y=\cos x$ là $\mathbb{R}$.
b) Sai. Tập giá trị của hàm số là đoạn $[-1;1]$, không phải khoảng $(-1;1)$.
c) Sai. Phương trình $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ có hai họ nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$, mệnh đề thiếu họ nghiệm $-\frac{\pi }{4}+k2\pi$.
d) Đúng. Với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ (góc phần tư thứ nhất), ta luôn có $\cos x>0$.

Ta có $\sin \left(\frac{\pi }{12}(t-8)\right)\ge -1\Rightarrow h(t)\ge 30-4=26$.

Tại $t=2$, thuộc đoạn $[0;24]$, ta có:
$$h(2)=30+4\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=26.$$

Vậy nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 26 độ.

a) Đúng.

b) Sai.

c) Sai. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ là $-2$.

d) Đúng: $2\cos x=0\iff \cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pm 2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trên khoảng $(0;2\pi )$ phương trình có đúng 2 nghiệm $x=\frac{2\pi }{3},x=\frac{4\pi }{3}$. (Lưu ý: nguồn in '2$\cos$ x = 0' không nhất quán với phương trình $f(x)=-1$; giữ nguyên theo nguồn.)
a) Đúng.
b) Sai.
c) Sai. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ là $-2$.
d) Đúng: $2\cos x=0\iff \cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pm 2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trên khoảng $(0;2\pi )$ phương trình có đúng 2 nghiệm $x=\frac{2\pi }{3},x=\frac{4\pi }{3}$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;2)$, nhận giá trị lớn nhất bằng $2$, giá trị nhỏ nhất bằng $-2$ và tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$. Đây là đồ thị của hàm số $y=2\cos x$.
Chọn đáp án C.

Điều kiện xác định của hàm số là $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$.
Chọn đáp án D.