Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$ (với $a\ne 1$, $c\ne 1$, $a,c>0$, $b>0$). Suy ra ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{c}a={\log }_{c}b$, tức khẳng định A đúng. Kiểm tra các phương án khác: B sai vì thiếu dấu trừ (${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$, không phải $-\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$); C sai vì $\frac{{\log }_{b}c}{{\log }_{a}c}=\frac{1/{\log }_{c}b}{1/{\log }_{c}a}=\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}={\log }_{b}a\ne {\log }_{a}b$ nói chung; D sai vì ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{c}b={\log }_{c}a$ không phải đẳng thức logarit đúng nói chung (ví dụ $a=2,b=4,c=10$: ${\log }_{2}4\cdot {\log }_{10}4=2\cdot {\log }_{10}4\ne {\log }_{10}2$).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình chỉ nằm với $x>0$, đi qua điểm $(1;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty )$, nên đó là đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$. Thật vậy, ${\log }_{\frac{1}{2}}1=0$ (đi qua $(1;0)$) và hàm số nghịch biến vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$. Các phương án khác: $y=x^2$ xác định trên toàn trục thực; $y={\log }_{2}x$ đồng biến; $y=2^x$ không đi qua $(1;0)$ và nhận giá trị dương.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $t=1$ vào công thức: $P(1)=40\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{1/3}=\frac{40}{2^{1/3}}\approx \frac{40}{1,2599}\approx 31,75$ triệu đồng. Làm tròn đến hàng phần chục ta được $31,7$ triệu đồng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đồ thị hàm số $y=a^x$ đi qua điểm $(1;3)$ và tăng, nên $a=3>1$, hàm số đồng biến trên $(0;1)$. Đúng.
b) Theo tính chất logarit: với $b,c>0$, $\log (bc)=\log b+\log c$ (đúng với mọi cơ số). Đúng.
c) $\sqrt{3}-1\approx 0,732<1$ nên hàm số $y=(\sqrt{3}-1{)}^x$ nghịch biến; vì $2025>2024$ nên $(\sqrt{3}-1{)}^{2025}<(\sqrt{3}-1{)}^{2024}$. Sai.
d) Hàm số $y={\log }_2(x^2-2x)$ xác định khi $x^2-2x>0\iff x<0$ hoặc $x>2$, tức $D=\mathbb{R}\setminus [0;2]$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0;2\}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cho thấy $a>1$ (hàm tăng, đi qua $(1;3)$), nên hàm số đồng biến trên $(0;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất logarit của một tích: $\log (bc)=\log b+\log c$ với mọi $b,c>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\sqrt{3}-1<1$, hàm mũ với cơ số nhỏ hơn 1 nghịch biến, nên $(\sqrt{3}-1{)}^{2025}<(\sqrt{3}-1{)}^{2024}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x^2-2x>0\iff x\in (-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$, nên $D=\mathbb{R}\setminus [0;2]$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0;2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: vì $0<\sqrt{3}-1<1$ nên hàm mũ với cơ số nhỏ hơn 1 nghịch biến trên $\mathbb{R}$, do đó ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^{2025}<{\left(\sqrt{3}-1\right)}^{2024}$, mệnh đề sai.
b) Sai: hàm số $y={\log }_2(x^2-2x)$ xác định khi $x^2-2x>0\iff x<0$ hoặc $x>2$, vậy $D=\mathbb{R}\setminus [0;2]$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0;2\}$, mệnh đề sai.
c) Đúng: với $b,c>0$, theo tính chất logarit của một tích, $\log (bc)=\log b+\log c$ (đúng với mọi cơ số), mệnh đề đúng.
d) Đúng: đồ thị $y=a^x$ ở trang 13 đi lên và đi qua điểm $(1;3)$ với $3>1$ nên $a>1$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó đồng biến trên khoảng $(0;1)$, mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\sqrt{3}-1<1$ nên hàm mũ cơ số nhỏ hơn 1 nghịch biến, suy ra ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^{2025}<{\left(\sqrt{3}-1\right)}^{2024}$, mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định khi $x^2-2x>0\iff x<0$ hoặc $x>2$, vậy $D=\mathbb{R}\setminus [0;2]$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0;2\}$, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $b,c$ dương, tính chất logarit của tích cho $\log (bc)=\log b+\log c$, mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=a^x$ (trang 13) đi lên và đi qua điểm $(1;3)$ với $3>1$ nên $a>1$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó đồng biến trên $(0;1)$, mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Năm 2030 cách năm 2020 là $t=2030-2020=10$ năm. Thay vào công thức: $P(10)=7,795\cdot (1,0105{)}^{10}$. Tính $(1,0105{)}^{10}\approx 1,11009$, nên $P(10)\approx 7,795\times 1,11009\approx 8,6532$ tỉ người. Làm tròn đến hàng phần trăm: $8,65$ tỉ người.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở trang 11 là đường cong tăng liên tục trên ℝ, đi qua điểm $(1;3)$ (đường đứt nét chỉ $x=1$, $y=3$) và có tiệm cận ngang $y=0$ khi $x\to -\infty$. Đó là đồ thị hàm số mũ $y=a^x$ với $a>1$. Vì $y(1)=a=3$ nên $a=3$, tức $y=3^x$. Loại B, C vì hàm logarit chỉ xác định với $x>0$ và có tiệm cận đứng $x=0$; loại A vì $2^1=2\ne 3$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề sai là C. Logarit không có tính chất ${\log }_a(b+c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$; tính chất đúng là ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$. Phản ví dụ: với $a=2,b=c=1$ thì ${\log }_{2}2=1$ còn ${\log }_{2}1+{\log }_{2}1=0$. Các mệnh đề A, B, D đều đúng theo tính chất cơ bản của logarit: đổi cơ số ${\log }_{a^{\alpha }}a=\frac{1}{\alpha }$, hiệu của logarit, và lũy thừa ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 14 có tập xác định $(0;+\infty )$, đi qua điểm $(1;0)$ và đồng biến, nên là đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ với $a>1$. Trong các đáp án, chỉ có $y={\log }_{2}x$ (cơ số $2>1$) thỏa mãn; $y={\log }_{1/2}x$ nghịch biến, còn $y=2^x$ và $y=1/2^x$ là hàm số mũ có tập xác định $\mathbb{R}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là một đường cong nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ và giảm dần từ trái sang phải, tiến gần trục hoành khi $x\to +\infty$. Đây là đặc điểm của hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a<1$. Loại A và C vì đó là hàm logarit (chỉ xác định khi $x>0$, có tiệm cận đứng). Loại D vì $y=(\sqrt{2}{)}^x$ với cơ số $\sqrt{2}>1$ là hàm đồng biến. Vậy đồ thị là của $y=(0,8{)}^x$ với $0<0,8<1$ (hàm nghịch biến).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định: hàm mũ $y=a^x$ đồng biến khi $a>1$; hàm logarit $y={\log }_{a}x$ đồng biến khi $a>1$. Xét các phương án: A. $y=(0,3{)}^x$ với $0<0,3<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B. $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ với cơ số $\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. C. $y={\log }_{\frac{3}{2}}x$ với cơ số $\frac{3}{2}>1$ nên đồng biến trên tập xác định $(0;+\infty )$. D. $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ với $0<\frac{2}{3}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình: hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ (nên loại hai hàm logarit ở A và C vì chúng chỉ xác định khi $x>0$), đi qua điểm $(0;1)$ và nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (đường cong đi xuống từ trái sang phải, tiệm cận ngang là trục hoành). Đó là đặc điểm của hàm số mũ $y=a^x$ với cơ số $0<a<1$. Trong hai hàm mũ: $y=(\sqrt{2}{)}^x$ có cơ số $\sqrt{2}>1$ nên đồng biến (loại D); $y=(0,8{)}^x$ có cơ số $0<0,8<1$ nên nghịch biến, phù hợp với đồ thị. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $e^x$ và $\ln x$ là hai hàm số ngược nhau nên đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$.
b) Sai: $f(x)=\ln x$ chỉ xác định khi $x>0$ nên tập xác định là $(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
c) Đúng: $f(e^2)=\ln (e^2)=2$ nên đồ thị $y=\ln x$ đi qua điểm $(e^2;2)$.
d) Sai: $e^x>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên đồ thị $y=e^x$ không cắt trục hoành (chỉ tiệm cận nó).
Tóm lại: a đúng, b sai, c đúng, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $e^x$ và $\ln x$ là hai hàm số ngược nhau nên đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f(x)=\ln x$ chỉ xác định khi $x>0$ nên tập xác định là $(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f(e^2)=\ln (e^2)=2$ nên đồ thị $y=\ln x$ đi qua điểm $(e^2;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $e^x>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên đồ thị $y=e^x$ không cắt trục hoành (chỉ tiệm cận nó).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>1$. Xét các phương án: A. $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ có cơ số $\frac{1}{5}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B. $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ có cơ số $\sqrt{2}>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$ (tập xác định $\mathbb{R}$). C. $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có cơ số $\frac{1}{2}<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. D. $y=2^{-x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ có cơ số $\frac{1}{2}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số luôn đồng biến trên tập xác định là $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $S={\log }_{\sqrt{a}}\sqrt[3]{b}=\frac{\frac{1}{3}{\log }_{a}b}{\frac{1}{2}{\log }_{a}a}=\frac{2}{3}{\log }_{a}b=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $2^x>0$ với mọi $x$ và $2^x$ nhận mọi giá trị dương nên tập giá trị là $(0;+\infty )$. b) Sai: đồ thị $y=2^x$ nằm phía bên trái trục tung (tiệm cận $x\to -\infty$), không phải bên phải. c) Đúng: khi $x\to -\infty$ thì $2^x\to 0^{+}$. d) Sai: phương trình $2^x=3^{x+1}$ cho $x\ln 2=(x+1)\ln 3\Rightarrow x=\frac{\ln 3}{\ln 2-\ln 3}<0$, nên giao điểm có hoành độ âm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $2^x>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và hàm số liên tục, đơn điệu tăng nhận mọi giá trị dương nên tập giá trị là $T=(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=2^x$ có tiệm cận ngang $y=0$ khi $x\to -\infty$, nên đồ thị nằm phía bên trái trục tung, không phải bên phải.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $2>1$ nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }{2}^x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $2^x=3^{x+1}$: $x\ln 2=(x+1)\ln 3\Rightarrow x(\ln 2-\ln 3)=\ln 3\Rightarrow x=\frac{\ln 3}{\ln 2-\ln 3}<0$. Vậy giao điểm có hoành độ âm, khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 90 năm, chất phóng xạ đã trải qua $90:18=5$ chu kì bán rã. Khối lượng còn lại là $m=20\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{20}{32}=0,625\approx 0,63$ gam.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{\sqrt{a}}{a}^2{b}^4=\frac{{\log }_a(a^2{b}^4)}{{\log }_a\sqrt{a}}=\frac{2+4{\log }_{a}b}{\frac{1}{2}}=\frac{2+4m}{\frac{1}{2}}=4+8m$. Vậy đáp án D. Lưu ý: phương án B $\frac{2+4m}{2}$ là bẫy do quên chia cho $\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $a,b,x,y>0$, $a,b,x\ne 1$:
- A: Đúng, theo công thức đổi cơ số ${\log }_{a}x=\frac{1}{{\log }_{x}a}$.
- B: Đúng, theo tính chất hiệu hai lôgarit cùng cơ số ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$.
- C: Sai. Theo công thức đổi cơ số, ${\log }_{b}x=\frac{{\log }_{a}x}{{\log }_{a}b}$, tức ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}x={\log }_{a}x$, chứ không phải ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{a}x={\log }_{b}x$. Ví dụ với $a=2,b=4,x=8$: ${\log }_{2}4\cdot {\log }_{2}8=2\cdot 3=6\ne {\log }_{4}8=\frac{3}{2}$.
- D: Đúng, theo tính chất tổng hai lôgarit cùng cơ số ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$.
Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
$P(0)=400{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=400$ triệu đồng nên ý a đúng. $P(3)=400{\left(\frac{1}{2}\right)}^1=200$ triệu đồng, tức giảm 2 lần sau 3 năm nên ý b đúng, ý d sai (200 chứ không phải 50 triệu đồng). $P(2)=400{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2/3}\approx 400\cdot 0,62996\approx 252$ triệu đồng, giảm khoảng $400-252=148$ triệu, tương đương $148/400\approx 37\%$ nên ý c đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(0)=400{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=400$ triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(3)=400{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3/3}=200$ triệu đồng, bằng nửa giá trị ban đầu nên giảm 2 lần.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(2)=400{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2/3}\approx 252$ triệu đồng, giảm khoảng $\frac{400-252}{400}\approx 37\%$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(3)=200$ triệu đồng, không phải 50 triệu đồng.